山东郓城实验中学高中数学一绝对值不等式学案新人教A必修4

学案76不等式选讲绝对值不等式导学目标：1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|ab|a|b|，(2)|ab|ac|cb|.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.自主梳理1含_的不等式叫做绝对值不等式2解含有绝对值的不等式的方法关键是去掉绝对值符号，基本方法有如下几种：(1)分段讨论：根据|f(x)|去掉绝对值符号(2)利用等价不等式：|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)；|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(3)两端同时平方：即运用移项法则，使不等式两边都变为非负数，再平方，从而去掉绝对值符号3形如|xa|xb|c (ab)与|xa|xb|c (ab)的绝对值不等式的解法主要有三种：(1)运用绝对值的几何意义；(2)_；(3)构造分段函数，结合函数图象求解4(1)定理：如果a，b，c是实数，则|ac|ab|bc|，当且仅当_时，等号成立(2)重要绝对值不等式|a|b|ab|a|b|.使用时(特别是求最值时)要注意等号成立的条件，即|ab|a|b|ab0；|ab|a|b|ab0；|a|b|ab|b(ab)0；|a|b|ab|b(ab)0；注：|a|b|ab|a|ab|b|(ab)b|ab|b|b(ab)0.同理可得|a|b|ab|b(ab)0.自我检测1(2010江西)不等式的解集是()A(0,2) B(，0)C(2，) D(，0)(0，)2(2011天津)已知集合AxR|x3|x4|9，BxR|x4t6，t(0，)，则集合AB_.3(2011潍坊模拟)已知不等式|x2|x3|a的解集不是空集，则实数a的取值范围是()Aa5 Da54若不等式|x1|x2|a无实数解，则a的取值范围是_5(2009福建)解不等式|2x1|x|1.探究点一解绝对值不等式例1 解下列不等式：(1)17x；(3)|x1|2x1|2.变式迁移1 (2011江苏)解不等式x|2x1|m.(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为.分别求出实数m的取值范围变式迁移2设函数f(x)|x1|x2|，若f(x)a对xR恒成立，求实数a的取值范围探究点三绝对值三角不等式定理的应用例3“|xA|，且|yA|”是“|xy|”(x，y，A，R)的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件变式迁移3(1)求函数y|x2|x2|的最大值；(2)求函数y|x3|x2|的最小值转化与化归思想的应用例(10分)设aR，函数f(x)ax2xa (1x1)，(1)若|a|1，求证：|f(x)|；(2)求a的值，使函数f(x)有最大值.多角度审题第(1)问|f(x)|f(x)，因此证明方法有两种，一是利用放缩法直接证出|f(x)|；二是证明f(x)亦可第(2)问实质上是已知f(x)的最大值为，求a的值由于x1,1，f(x)是关于x的二次函数，那么就需判断对称轴对应的x值在不在区间1,1上【答题模板】证明(1)方法一1x1，|x|1.又|a|1，|f(x)|a(x21)x|a(x21)|x|x21|x|1|x|2|x|2.3分若|a|1，则|f(x)|.5分方法二设g(a)f(x)ax2xa(x21)ax.1x1，当x1，即x210时，|f(x)|g(a)|1；1分当1x1即x210时，g(a)(x21)ax是单调递减函数2分|a|1，1a1，g(a)maxg(1)x2x12；3分g(a)ming(1)x2x12.4分|f(x)|g(a)|.5分(2)当a0时，f(x)x，当1x1时，f(x)的最大值为f(1)1，不满足题设条件，a0.6分又f(1)a1a1，f(1)a1a1.故f(1)和f(1)均不是最大值，7分f(x)的最大值应在其对称轴上的顶点位置取得，命题等价于，9分解得，a2.即当a2时，函数f(x)有最大值.10分【突破思维障碍】由于|a|1，f(x)的表达式中有两项含有a，要想利用条件|a|1，必须合并含a的项，从而找到解题思路；另外，由于x的最高次数为2，而a的最高次数为1，把ax2xa看作关于a的函数更简单，这两种方法中，对a的合并都是很关键的一步【易错点剖析】在第(1)问中的方法一中，如果不合并含a的项，就无法正确应用条件|a|1，从而导致出错或证不出；方法二也需要先合并含a的项后，才容易把f(x)看作g(a)解含有绝对值不等式时，去掉绝对值符号的方法主要有：公式法、分段讨论法、平方法、几何法等这几种方法应用时各有利弊，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但是若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能运用因此，在去绝对值符号时，用何种方法需视具体情况而定(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1不等式|x2x|2的解集为()A(1,2) B(1,1)C(2,1) D(2,2)2(2011郑州期末)设|a|1，|b|2 B|ab|ab|2C|ab|ab|2 D不能比较大小3不等式|x3|x1|a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A(，14，) B(，25，)C1,2 D(，12，)4若不等式|8x9|2的解集相等，则实数a、b的值分别为()Aa8，b10 Ba4，b9Ca1，b9 Da1，b25若关于x的不等式|x1|x3|a22a1在R上的解集为，则实数a的取值范围是()Aa3 B1a3C1a2 D1a3二、填空题(每小题4分，共12分)6给出以下三个命题：若|ab|1，则|a|b|1；若a、bR，则|ab|2|a|ab|；若|x|3，则.其中所有正确命题的序号是_7(2010陕西)不等式|x3|x2|3的解集为_8(2011深圳模拟)若不等式|x1|x3|a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是_三、解答题(共38分)9(12分)(2010福建)已知函数f(x)|xa|.(1)若不等式f(x)3的解集为x|1x5，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)f(x5)m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围10(12分)(2009辽宁)设函数f(x)|x1|xa|.(1)若a1，解不等式f(x)3；(2)如果xR，f(x)2，求a的取值范围11(14分)对于任意实数a(a0)和b，不等式|ab|ab|a|(|x1|x2|)恒成立，试求实数x的取值范围学案76不等式选讲(一)绝对值不等式自主梳理1绝对值符号3.(2)零点分区间讨论法4(1)(ab)(bc)0自我检测1A，0，0x2.2x|2x5解析|x3|x4|9，当x3时，x3(x4)9，即4x4时，x3x49，即4x5.综上所述，Ax|4x5又x4t6，t(0，)，x262，当t时取等号Bx|x2，ABx|2x53D由绝对值的几何意义知|x2|x3|5，)，因此要使|x2|x3|a有解集，需a5.4a3解析由绝对值的几何意义知|x1|x2|的最小值为3，而|x1|x2|a无解，知a3.5解当x0时，原不等式可化为2x10，又x0，x不存在；当0x时，原不等式可化为2x10，又0x，0x；当x时，原不等式可化为2x1x1，解得x2，又x，x2.综上，原不等式的解集为x|0x2课堂活动区例1 解题导引(1)绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号其方法主要有：利用绝对值的意义；利用公式；平方、分区间讨论等(2)利用平方法去绝对值符号时，应注意不等式两边非负才可进行(3)零点分段法解绝对值不等式的步骤：求零点；划区间、去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值解(1)原不等式等价于不等式组，即，解得1x1或3x5，所以原不等式的解集为x|1x1，或37x，可得2x57x或2x52，或x4.原不等式的解集是x|x2(3)由题意x1时，|x1|0，x时，2x10(以下分类讨论)所以当x时，原不等式等价于得x.当x1时，原不等式等价于得x1时，原不等式等价于得x无解由得原不等式的解集为x|x0变式迁移1 解原不等式可化为或解得x或2x.所以原不等式的解集是x|2x例2解题导引恒成立问题的解决方法(1)f(x)m恒成立，须有f(x)maxm恒成立，须有f(x)minm；(3)不等式的解集为R，即不等式恒成立；(4)不等式的解集为，即不等式无解解因为|x2|x3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(2)、B(3)距离的差即|x2|x3|PA|PB|.易知(|PA|PB|)max1，(|PA|PB|)min1.即|x2|x3|1,1(1)若不等式有解，m只要比|x2|x3|的最大值小即可，即m1.(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m小于|x2|x3|的最小值即可，所以ma恒成立，只须1a.即实数a的取值范围为(，1)例3解题导引对绝对值三角不等式|a|b|ab|a|b|.(1)当ab0时，|ab|a|b|；当ab0时，|ab|a|b|.(2)该定理可以推广为|abc|a|b|c|，也可强化为|a|b|ab|a|b|，它们经常用于含绝对值的不等式的推证(3)利用“”成立的条件可求函数的最值A|xy|xA(yA)|，由三角不等式定理|a|b|ab|a|b|得：|xy|xA|yA|.反过来由|xy|，得不出|xA|且|yA|2时，“”成立故函数y|x2|x2|的最大值为4.(2)|x3|x2|(x3)(x2)|5.当2x3时，取“”故y|x3|x2|的最小值为5.课后练习区1A|x2x|2，2x2x2，即，.1x0 (b0时同理)(1)当1ab时，|ab|ab|abab2a2，(2)当bab时，|ab|ab|abab2b2，(3)当ba1时，|ab|ab|abab2a2.综上可知|ab|ab|2.方法二(|ab|ab|)22a22b22|a2b2|ab|ab|2.3A由|x3|x1|的几何意义知，|x3|x1|4,4，即|x3|x1|的最大值是4，要使|x3|x1|a23a对任意实数x恒成立，只需a23a4恒成立即可所以a(，14，)4B由|8x9|7，得78x97，即168x2，2x.由题意知2，为方程ax2bx20的两根，.5B由|x1|x3|的几何意义知|x1|x3|2，即|x1|x3|的最小值为2.当a22a12时满足题意，a22a30，即(a1)(a3)0，1a3.6解析|a|b|ab|1，|a|3，即|.故、都正确7x|x1解析原不等式可化为：或或x或1x0时，a4，当且仅当a2时，取等号，当a0，显然符合题意9解方法一(1)由f(x)3得|xa|3，解得a3xa3.(3分)又已知不等式f(x)3的解集为x|1x5，所以解得a2.(6分)(2)当a2时，f(x)|x2|，设g(x)f(x)f(x5)，于是g(x)|x2|x3|(8分)所以当x5；当3x2时，g(x)5；当x2时，g(x)5.综上可得，g(x)的最小值为5.(10分)从而若f(x)f(x5)m，即g(x)minm对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(，5(12分)方法二(1)同方法一(6分)(2)当a2时，f(x)|x2|.设g(x)f(x)f(x5)|x2|x3|.由|x2|x3|(x2)(x3)|5(当且仅当3x2时等号成立)得，g(x)的最小值为5.(10分)从而，若f(x)f(x5)m，即g(x)minm对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(，5(12分)10解(1)当a1时，f(x)|x1|x1|.由f(x)3得|x1|x1|3.当x1时，不等式化为1x1x3，即2x3.不等式组的解集为.(2分)当1