第9章--常微分方程初值问题数值解法《数值分析》

2020年5月30日,1,例如：时，,第9章常微分方程初值问题数值解法,9.1引言,微分方程：包含自变量、未知函数和未知函数导数或微分的方程。,例如：，求,定解条件：求解微分方程时，所附加的条件定解问题。,初始条件：给出积分曲线在初始时刻的值初值问题。,例如：时，,边界条件：给出积分曲线在首末两端的值边值问题。,常微分方程：未知函数为一元函数。,偏微分方程：未知函数为多元函数。,2020年5月30日,2,一阶常微分方程的初值问题：,求解,注意：,解函数、积分曲线；,微分函数。,确定初值问题的解存在而且唯一：李普希兹条件。,，,2020年5月30日,3,如果存在实数，使得,称关于满足利普希茨条件，为的利普希茨常数。,说明：条件可理解为解函数无限接近时，微分函数也无限接近。,定理1设在区域上连续，,且关于满足利普希茨条件，则对任意,常微分方程初值问题当时存在唯一的连续可微解。,2020年5月30日,4,关于方程的解对扰动的敏感性，有结论：,定理2设在区域上连续，且关于满足利普希茨条件，,设初值问题，,其解为，则,说明：定理表明解对初值的敏感性，即初值不同，解也有差异；,解得敏感性与微分函数有关：,当的利普希茨常数较小时，解对初值相对不敏感；,当较大时，初值的扰动会引起解剧烈变化病态问题；,2020年5月30日,5,数值解法：在一系列离散点上，,求解近似值。,“步进式”：顺着节点排列顺序，一步一步地向前推进。,步长：常用等步长，节点为,单步法：计算时，只用到前一点的值,步法：计算时，用到前面点的值,2020年5月30日,6,9.2简单的数值方法,9.2.1欧拉法与后退欧拉法,初值问题：,解的形式：是通过点的一条曲线,积分曲线。,特点：积分曲线上每一点的切线斜率为,2020年5月30日,7,尤拉方法：,将解区间离散化，选择步长，,得到离散点：；,由切线，,切线与交点：的近似值；,再由向前推进到，,得到折线，近似。,2020年5月30日,8,任意折线：,过点作直线，,斜率，,欧拉方法,若初值已知，由此可逐次算出：,2020年5月30日,9,P281例1求解初值问题,解：欧拉公式为,，,2020年5月30日,10,局部截断误差：设前一步值准确，算下一步出现的误差,假设：,泰勒展开函数：,局部截断误差：,2020年5月30日,11,后退的欧拉法：,离散化：求解微分方程的关键，消除导数项，基本方法之一是用差商替代导数项。,例如：,向前的欧拉公式（显式）,2020年5月30日,12,同理：,后退的欧拉公式（隐式）,注意：显式计算方便，隐式稳定性较好；,上式隐含，采用迭代法求解。,2020年5月30日,13,欧拉公式的另一种理解：,将常微分方程改写,对微分方程从到积分,由积分左矩形公式得,再以代替，以代替,向前的欧拉公式,2020年5月30日,14,对微分方程从到积分,由积分右矩形公式得,再以代替，以代替,后退的欧拉公式,同理：,2020年5月30日,15,迭代法求解：后退的欧拉公式逐步显示,先用尤拉格式，求出初值：,再将结果代入微分函数：,反复迭代，直到收敛：,2020年5月30日,16,讨论迭代的收敛性：,因函数对满足利普希茨条件,比较欧拉的后退公式和其次迭代结果,两式相减得,由此可知：只要迭代法就收敛到解。,2020年5月30日,17,可以证明：局部截断误差,后退的欧拉公式,向前的欧拉公式,因此：平均可减少误差梯形格式。,（注意：误差不可能消除，两公式不同。）,2020年5月30日,18,9.2.2梯形方法,向前欧拉方法：,后退欧拉方法：,梯形方法：两者平均,注意：梯形公式可有效减小误差，计算结果更接近实际值。,（图示表示梯形法计算结果）,2020年5月30日,19,用迭代法求解：梯形法,（用向前公式求初值）,（即将上次结果代入）,反复迭代，直到两次迭代结果达到误差要求。,问题：每个节点，都需迭代计算，计算量太大。,2020年5月30日,20,分析迭代过程的收敛性：,比较梯形公式和其迭代公式，并相减两式,由利普希茨条件，有,若选取充分小，使得，则时有,2020年5月30日,21,9.2.3改进欧拉公式,先用向前欧拉公式，求得一个初步的近似值,预测：,再用梯形公式，将结果校正一次,校正：,平均化形式：,2020年5月30日,22,P284例2用改进的欧拉方法求解初值问题：,解：,2020年5月30日,23,9.2.4单步法的局部截断误差与阶,初值问题单步法求解的一般形式为,（其中多元函数与有关）,当含有时，方法是隐式的，否则为显式方法。,显式单步法可表示为,称为增量函数，例如对欧拉法有,2020年5月30日,24,定义1设是初值问题的准确解，称,为显式单步法的局部截断误差。,注意：上述中假设在前各步没有误差，故误差是局部的。,当时，计算一步，则有,局部截断误差：是计算一步的误差，也是公式误差。,2020年5月30日,25,如果将函数在处泰勒展开,欧拉法的局部截断误差为,这里称为局部截断误差主项。显然,2020年5月30日,26,定义2设是初值问题的准确解，,若存在最大整数使显式单步法的局部截断误差满足,则称该方法具有阶精度。,若将局部截断误差展开，写成,则称为局部截断误差主项。,2020年5月30日,27,以上定义对隐式单步法也适用。,同样将函数在处泰勒展开,后退欧拉法的局部截断误差为,这里是一阶方法，局部截断误差主项为,2020年5月30日,28,同样对梯形公式,局部截断误差为,故梯形法是二阶方法，局部截断误差主项为,2020年5月30日,29,9.3龙格-库塔方法,9.3.1显式龙格-库塔法的一般形式,对欧拉法,欧拉法为阶，其增量函数为,对改进的欧拉法,其增量函数为,比起欧拉法，增加了计算一个右函数的值，有阶精度。,2020年5月30日,30,提高公式阶数：增加增量函数中的值,对于一阶常微分方程，等价的积分形式,提高公式阶数：必须提高数值求积精度，需增加求积节点,说明：求积节点越多，积分精度越高，求解公式阶数越大,增量函数,注意：级数，阶数，两者不同,2020年5月30日,31,对于二级显式龙格-库塔法：考察区间内一点,用、两点的函数值、：构造增量函数,2020年5月30日,32,对于可用欧拉公式预测：,因此有二级显式龙格-库塔法：,2020年5月30日,33,同理，三级显式龙格-库塔法：,注意：需用、的线性组合计算,2020年5月30日,34,级显式龙格-库塔法：R-K方法,这里均为常数,时为欧拉法，阶数,2020年5月30日,35,9.3.2二阶显式R-K法,时，R-K方法计算公式：,这里均为待定常数,期望：适当选取系数，使公式阶数尽量提高,2020年5月30日,36,局部截断误差为,这里,将函数在处泰勒展开,注意是二元函数，其导数应为全导数。,2020年5月30日,37,2020年5月30日,38,将结果代入局部截断误差：,2020年5月30日,39,要使公式具有阶，必有,即,非线性方程组的解不是唯一的。可令,2020年5月30日,40,若取：，改进的欧拉法,若取：，,中点公式：相当于数值积分的中矩形公式,2020年5月30日,41,9.3.3三阶与四阶显式R-K方法,要得到三阶显式R-K方法，必须取,均为待定参数,2020年5月30日,42,公式的局部截断误差为,将按二元函数泰勒展开，使,这是8个未知量、6个方程的非线性方程组，解不是唯一的。,2020年5月30日,43,常见的公式之一：库塔三阶方法,2020年5月30日,44,经典公式之一：四阶龙格-库塔方法,可以证明：四阶龙格-库塔方法的截断误差为,2020年5月30日,45,P289例3设取步长，从到用四阶龙格-库塔方法求解初值问题：,解：公式为,2020年5月30日,46,计算结果：,注意：这里步长增大为，计算精度比改进的欧拉法要高。,2020年5月30日,47,9.3.4变步长的龙格-库塔方法,步长减小，局部截断误差减小，但：,求解范围内的计算步数增加，计算量增大；,步数增加会导致舍入误差的严重积累。,选择步长时，需要考虑的两个问题：,怎样衡量和检验计算结果的精度？,如何依据所获得的精度处理步长？,2020年5月30日,48,考察经典的四阶龙格-库塔公式：,从节点出发，先以为步长求出