基本不等式求最值的策略

例谈用基本不等式求最值的四大策略摘要基本不等式（当且仅当时等号成立）是高中必修五不等式一章的重要内容之一，也是高考常考的重要知识点。从本质上看，基本不等式反映了两个正数和与积之间的不等关系，所以在求取积的最值、和的最值当中，基本不等式将会焕发出强大的生命力，它将会是解决最值问题的强有力工具。本文将结合几个实例谈谈运用基本不等式求最值的三大策略。关键字：基本不等式 求和与积的最值 策略 一、 基本不等式的基础知识1基本不等式：如果，则，当且仅当时等号成立。在基本不等式的应用中，我们需要注意以下三点：“一正”：、b是正数，这是利用基本不等式求最值的前提条件。“二定”：当两正数的和是定值时，积有最大值；当两正数的积是定值时，和有最小值。“三相等”： 是的充要条件，所以多次使用基本不等式时，要注意等号成立的条件是否一致。二、 利用基本不等式求最值的四大策略策略一 利用配凑法，构造可用基本不等式求最值的结构通过简单的配凑（凑系数或凑项）后，使原本与基本不等式结构不一致的式子，变为结构一致，再利用均值不等式求解最值。题型一 配凑系数例1 设，求函数的最大值。分析：因为不是个定值，所以本题无法直接运用基本不等式求解。但凑系数将4拆为后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求其最大值。解：因为 ，所以 故当且仅当即时等号成立.所以原式的最大值为.题型二 配凑项1 配凑常数项例2 已知，求函数的最大值。2分析：因，所以首先要“调整”符号。另外，又不是常数，所以对要进行拆、凑项。解：因为，所以 所以 所以当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，y取最大值1.2 配凑一般项例3 （2010年高考四川文科卷第11题）设，则的最小值是（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4分析：如果要利用基本不等式来求和的最小值，就必须出现积的定值。考虑到， 即，所以配凑这两项。解：因为，所以，故而，所以故w224当且仅当ab1，a(ab)1时等号成立，如取a,b，式子取得最小值4.故选择答案D策略二 遇到分式，可尝试分离后再用基本不等式题型一：配凑分子，分离分式对于分子次数比分母高的分式不等式，可尝试先对分子进行配凑，使之出现与分母相同的项，然后分离得到可用基本不等式求解的结构。例4 求的最小值。2分析：可先将分子配凑出含有的项，再将其分离。解：因为，所以所以当且仅当所以的最小值为2.题型二：同除分子，分离分母对于分母次数比分子高的分式不等式，可尝试上下同除以分子，使分母出现互倒的结构，再用基本不等式求最值。例5 求的值域.分析：题目没有交代的取值范围，此题需要分类讨论。解：当时，分子分母同除以,则（1） 当，所以, 当且仅当（2） 当，故，当且仅当当，=0综上可知，y的取值范围是策略三 遇到根式，可尝试平方后再用基本不等式例6 求函数的最大值.分析：观察式子的结构，可以看到，所以将式子平方后，便可构造出可用基本不等式的结构。解：将两边平方，得又因为y0，所以当且仅当2，即所以y的最大值是.策略四 利用1的性质，合理代换后再用基本不等式“1”是一个特殊的数，任何式子乘以1，式子仍不变。所以如果题目条件给出某个式子的值为1，则可在要求最值的式子上乘以这个式子，从而构造出可用基本不等式的形式。例7 设，且，求的最小值.分析：由于，所以=，故可用基本不等式求最值.解：由于，所以=又由于，故所以=，当且仅当所以，原式的最小值为2.总结以上四种策略，是用基本不等式解决最值问题的常用方法。无论是配凑系数与项、分离分子与分母、平方去根号，还是利用“1”整体代换，其目的只有一个，那就是构造出和为定值或者是积为定值的两项，然后才可用基本不等式。构造可用基本不等式的结构，是解决此类最值问题的根本所在。参考文献1人民教育出版社 普通高中课程标准实验教科书 数学必修5A版 2004.5第一版