高中数学 3.2 均值不等式例题与探究素材 新人教B版必修5（通用）

3.2 均值不等式典题精讲例1 已知a、b、c是正实数，求证：a+b+c.思路分析：由于要证的不等式两边都是三项,而我们掌握的均值不等式只有两项,所以可以考虑多次使用均值不等式.证明：a、b、c是正实数，=2c（当且仅当，即a=b时，取等号），（当且仅当，即b=c时，取等号），=2b（当且仅当，即a=c时，取等号）.上面3个不等式相加,得2a+2b+2c（当且仅当a=b=c时，取等号）.a+b+c.绿色通道：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，直接推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，其逻辑关系是AB1B2B3Bn-1BnB.（条件）（结论）其思路是“由因导果”，即从“已知”，推向已知的“性质”，从而逐步推向“未知”.变式训练 已知a,b,c都是正实数，且a+b+c=1.求证：.思路分析：本题可看成求左边式子的最大值，把左边配成积的形式，同时对等号成立的条件进行估计.证明:,同理,三个不等式相加，得.整理，得（当且仅当a=b=c=时,等号成立）.例2 x时，求函数y=x+的最大值.思路分析：本题是求两个式子和的最大值,但是x并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧进行变形.可以变为y=（2x-3）+,再求最值.解：y=（2x-3）+=-（）+，当x时，3-2x0，=4，当且仅当，即x=-时,取等号.于是y-4+=，故函数有最大值.绿色通道：本题的关键是根据分母,对整式变形，从而凑出定值，同时要兼顾到正数的前提，当然本题也可作一个代换，如令3-2x=t，则t0，把y转化为关于t的函数，再求最值就显得简洁明了.变式训练1 已知x0，y0且5x+7y=20，求xy的最大值.思路分析：要注意均值不等式的正用和逆用，利用均值不等式求最值需三个条件：正；定；相等.解：xy=5x7y.当且仅当5x=7y，即x=2，y=时取等号.xy的最大值为.变式训练2 若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_.思路分析：本题的条件中同时存在和与积的形式,而所求的为积的范围，所以保留积的式子，把积放在不等式中去考察，方法是均值不等式放缩.或者利用函数法来解决.方法一：由ab=a+b+3+3（等号成立条件为a=b），整理,得ab-30，（-3）（+1）0.3，ab9.方法二：由ab=a+b+3，可得b=（a0，b0），a1，又ab=a=（a-1）+1=（a+3）+=a-1+4+,等号成立条件为a-1=，即a=3.答案：9，+)例3 求y=（0x）的最小值.思路分析：在运用基本不等式求最值时，经常会出现不满足“正数、定值、等号”的情形，这就要求通过分类、换元、凑配等方法与技巧，使问题转化为符合基本不等式的模型，对于等号取不到的情形，常要讨论函数的单调性，再作出判断.本题的关键是等号取不到时，通过代换，转化为研究新的函数的单调性，再求得原来函数的最值.解：0x，0sinx1.设t=，t（0，则sinx=2t，y=t+（0t）.可证明函数y=t+,当t（0，时为减函数.当t=，即=，sinx=1，x=时，y有最小值2+=.ymin=.黑色陷阱：本题易忽略等号成立的条件,而得出错误的解法和答案:0x，0sinx1.y=2.ymin=2.变式训练 已知函数f（x）=，x1，+).（1）当a=时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x1，+)，f（x）0恒成立，试求实数a的取值范围.思路分析：把均值不等式与函数结合，是求函数最值的有效途径，（1）中当等号不成立时，通过研究函数的单调性求最小值.（2）中恒成立问题可转化为函数的最值问题，注意合理转化.（1）解：当a=时，f（x）=，f（x）在区间1，+）上为增函数，f（x）在区间1，+）上的最小值为f（1）=.（2）解法一：在区间1，+）上，f（x）=0恒成立x2+2x+a0恒成立.设y=x2+2x+a，则y=x2+2x+a=（x+1）2+a-1在x1，+）上递增，当x=1时，ymin=3+a.于是只需3+a0时，函数f（x）恒成立，故a-3.解法二：f（x）=，x1，+），当a0时，函数f（x）的值恒为正，当a0时，函数f（x）递增，故当x=1时，f（x）min=3+a，于是只需3+a0时，函数f（x）0恒成立，故a-3.解法三：在区间1，+)上,f（x）=0恒成立x2+2x+a0恒成立a-x2-2x恒成立.又x1，+),a应大于u=-x2-2x，x1，+)的最大值,a-（x+1）2+1，x=1时u取得最大值-3，a-3.例4 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元?思路分析：利用均值不等式解决有关的应用题主要是建立数学模型,构造函数及定值,然后求最值,这里主要是建立造价的函数表达式.解：设水池底面一边的长度为x m，另一边的长度为d m，则d=.又设水池总造价为y元.根据题意，得y=150+120（23x+23）=240 000+720（x+）240 000+7202x=297 600，当且仅当x=，即x=40时，y取得最小值297 600.答:水池底面一边长40 m时,总造价最低为297 600元.绿色通道：实际应用问题的求解方法：建立目标函数；求目标函数的最值.注意根据条件和要求的结论设变量.还要注意求最值时的三个条件.如果等号成立的条件不成立，则应该从函数的性质入手，考虑函数的单调性.变式训练 设计一幅宣传画，要求画面面积为4 840 cm2,画面的宽与高的比为(1),画面的上、下各留8 cm的空白，左、右各留5 cm的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求,，那么为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？思路分析：建立数学模型，把问题转化为函数的最值问题来解决，主要是用均值不等式及函数的性质相结合求函数最小值.解：设画面高为x cm,宽为x cm,则x2=4 840,设纸张面积为S cm2,则S=(x+16)(x+10)=x2+(16+10)x+160,将x=代入上式,得S=5 000+,当,即=(1)时,S取得最小值.此时高x= =88 cm,宽x=88=55 cm.如果,可设12,则由S的表达式,得S(1)-S(2)=.又,故0.S(1)-S(2)0.S()在区间,内单调递增.从而对于,当=时，S()取得最小值.答：画面高为88 cm,宽为55 cm时，所用纸张面积最小.如果要求,当=时，所用纸张面积最小.问题探究问题 某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高.当住第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为