第3章+++离散系统的时域分析.ppt

第3章离散系统的时域分析,3.1连续时间信号的取样3.2离散时间信号的表示3.3离散时间系统的描述和响应3.4卷积和3.5卷积和的计算机模拟3.6离散时间系统与连续时间系统时域分析法的比较,3.1连续时间信号的取样,3.1.1离散时间信号连续系统的激励和响应都是连续时间信号，它们是连续变量t的函数，离散系统的激励与响应都是离散时间信号，表示这种信号的函数，只在一系列互相分离的时间点上才有定义，而在其它点上则未定义，所以它们是离散变量tk的函数（或称序列）。,离散的函数值也常常画成一条条的垂直线，如图3.1(a)所示，其中每条直线的端点才是实际的函数值。在数字技术中函数的取样值并不是任意取值的，而必须将幅度加以量化，也就是幅度的数值，只能在一组预定的数据中取值，如图3.1(b)所示。,图3.1离散时间信号(a)离散时间信号；(b)数字信号,3.1.2信号的取样对连续时间信号进行数字处理，必须首先对信号进行取样。进行取样的取样器一般由电子开关组成。其工作原理如图3.2所示。,图3.2取样原理图,图3.3信号的取样(a)连续信号x(t)波形；(b)取样脉冲p(t)波形；(c)取样信号y(t)波形,上面实际取样所得出的取样信号在趋于零的极限情况下，将成为一冲激函数序列。这些冲激函数准确的出现在取样瞬间,而它们的强度则准确地等于在取样瞬间的幅度，如图3.4所示。这就是理想取样信号。,图3.4理想冲激取样信号波形,理想取样同样可以看作是连续时间信号对脉冲载波的调幅过程，因而理想冲激取样信号y*(t)可以表示为(t-nT)只有在t=nT时非零。因此，上式中x(t)值只有当t=nT时才有意义，故有,(31),（32）,3.1.3取样定理是不是所有时间间隔的理想取样都能反映原连续信号的基本特征呢？答案是否定的，例如，有一个连续信号y(t)=sin(t)信号图如图3.5（a）所示。当取样间隔T=秒时所得的理想取样序列为y(nT)=sin(n)=0，其信号图如图3.5(b)所示。,图3.5y(t)=sin(t)的信号图,把连续的模拟信号经过取样、量化、编码、转变成离散的数字信号的过程称为模拟数字转换（A/D转换）；相反，由数字信号转变成模拟信号的过程称为数字模拟转换（D/A转换）。利用这样的转换，可以把模拟信号转换成数字信号，如图3.6所示。,图3.6模拟信号转换成数字信号进行处理,3.2离散时间信号的表示,3.2.1序列的表示方法序列本来就是离散时间信号或是从数字处理过程中得到的，所以序列不必以kT作为变量，而直接以x(k)表示一数字序列x的第k个数字，k表示xk在数字序列x前后变量的序号，则x可以用公式表示为x=x(k)k(-,)（33）,时域离散信号也常用图形描述，如图3.7所示，用有限长线段表示数值大小。虽然横坐标画成一条连续的直线，但xk仅对于整数值的k才有定义，而对于非整数值k没有定义，此时认为xk为零是不正确的。,图3.7离散信号的图形描述,3.2.2序列间的运算规则及符号表示在数字信号处理中常常要在多个序列之间进行适当的运算，以得到一个新的序列。最基本的运算是序列相加、相乘以及延时。(1)两序列的积：xy=x(n)y(n)=w(n)(2)两序列同一时刻的取值逐个对应相乘所形成的新序列，其运算符号如图3.8(a)所示。(3)序列的加减：xy=x(n)y(n)=w(n)表示两序列对应的同一时刻取值逐一相加（或相减）所形成的新序列，其运算符号如图3.8(b)所示。,(4)序列的标乘：Ax=Ax(n)=y(n)表示序列x的每个取样值同乘以常数A所形成的新序列，其运算符号如图3.8(c)所示。(5)序列的延时：若序列y(n)满足取值y(n)=x(n-n0)，则称序列y(n)是序列x(n)延时n0个取样间隔的复现，式中n0为整数。当n0=1时，称为单位延时，其运算符号如图3.8(d)所示。(6)分支运算：一个信号加到系统中两点或更多点的过程称为分支运算，其运算表示符号如图3.9（e）所示。,图3.8离散时间序列的运算(a)序列相乘；(b)序列相加减；(c)序列标乘；(d)单位延时；(e)分支运算,图3.9(a)(N)波形；(b)(n-m)波形,3.2.3常用的典型序列下面介绍几种常用的典型序列,它们在分析和表示更复杂的序列时起重要作用。1.单位序列,2.单位跃迁序列当n0时，其序列的值为0，而当n0时，序列的值都为1，其波形图如图3.10(a)所示，而u(-n)的波形图如图3.10(b)所示。,图3.10u(n)Tu(-n)波形图(a)u(n)波形图；(b)u(-n)波形图,例31试用单位跃迁序列表示单位序列。解由,可知,即,而,故,例32试用单位序列表示单位跃迁序列。解因为,显然我们可以把u(n)看作是无穷多个单位取样序列叠加而成的，故,例33试用单位序列表示矩形序列解由图3.11所示的矩形序列图明显可见R(n)=u(n)-u(n-N),图3.11矩形序列图,例34试用单位取样序列表示如图3.12(a)所示序列。解我们把(a)图看成(b)、(c)、(d)三个图幅度的叠加而成，则所求序列为x(n)=x(1)(n-1)+x(2)(n-2)+x(-1)(n+1)由以上几个例子我们不难归纳出如下结论：任意序列都可以表示成多个甚至无穷多个经标乘的延时的单位序列之和。一般情况下，序列x(n)可表示为,图3.12例34图,例35试证x(n)=sin(n0)是一个周期序列。证与周期信号的定义相类似，所谓周期序列，是指如果对于所有整数n，关系式x(n)=x(n+N)都成立，则称序列x(n)是周期为N的周期序列。因为sin(n0)=sin(n02k)令N0=2k即N=2k/0时，x(n+N)=sin(n+N)0=sinn0+（2k/0）0=sin(n02k)=sin(n0)=x(n)所以，x(n)=sin(n0)是一个周期序列。,3.3离散时间系统的描述和响应,3.3.1离散时间系统的描述离散时间系统的输入和输出信号都是离散时间函数（序列）。这种系统的工作情况，不能用连续时间系统的微分方程来描述，而必须采用差分方程来描述。,例36假定每对兔子每月可以生育一对小兔，新生的小兔要过一个月才具有生育能力，若第一个月只有一对新生小兔，求第n个月兔子对的数目是多少？并画出系统的模拟图。解令y(n)表示第n个月兔子对的数目。已知y(0)=0,y(1)=1,显然，y(2)=1,y(3)=2,y(4)=3,y(5)=5,在第n个月时，应有y(n-2)对兔子具有生育能力，因而这批兔子要从y(n-2)对变成2y(n-2)对；此外，还有y(n-1)-y(n-2)对兔子没有生育能力（它们是在第n-1月新生的），仍按原来数目保留下来，于是可以写出y(n)=2y(n-2)+y(n-1)-y(n-2)=y(n-1)+y(n-2)或y(n+2)=y(n+1)+y(n)（35）系统的模拟图如图3.13所示。,图3.13例36的系统模拟图,例37一空运控制系统，用一台计算机每隔一秒钟计算一次某一飞机应有的高度x(n)，另外用一台雷达在以上计算的同时对此飞机实测一次高度y(n)，把应有高度x(n)与前一秒实测高度y(n-1)相比较得到一个差值，飞机的高度将根据此差值为正或负来改变。设飞机改变高度的垂直速度正比于此差值，即v=kx(n)-y(n-1)米/秒。求计算第n秒飞机应有的高度的关系式。并画出系统的模拟图。,图3.14例37的系统模拟图,解由题意可知，在飞机从第n-1秒到第n秒这1秒钟内飞机升高为kx(n)-y(n-1)=y(n)-y(n-1)经整理得y(n)+(k-1)y(n-1)=kx(n)（36）,例38一离散系统由延时单元，加法器和数乘器组成，如图3.15所示。其中激励信号为x(n)，响应信号为y(n)，试列出描述该系统的差分方程。解信号y(n)经延时单元输出为y(n-1)，围绕加法器可以写出y(n)=x(n)-a1y(n-1)即y(n)+a1y(n-1)=x(n)或y(n+1)+a1y(n)=x(n+1)（37）,图3.15例38的系统模拟图,例39图3.16表示电阻梯形网络，其各支路的电阻都是R，每个节点对地的电压为U(n),n=0,1,2,3,4，N。已知两节点的电压U(0)=E,U(N)=0。试写出第n个节点的电压U(n)的关系式。解对于任一节点n-1，运用节点电流定律不难写出,经整理后得出U(n)=3U(n-1)-U(n-2)或U(n)-3U(n-1)+U(n-2)=0（38）,图3.16电阻梯形网络,图3.17例39的系统模拟图,在上面几个例子中的式（35）、（36）和（37）、（3）具有共同形式a0y(n)+a1y(n-1)+aN-1y(n-N+1)+aNy(n-N)=b0 x(n)+b1x(n-1)+bM-1x(n-M+1)+bx(n-M)（39）a0y(n)+a1y(n+1)+aN-1y(n+N-1)+aNy(n+N)=b0 x(n)+b1x(n+1)+bM-1x(n+M-1)+bMx(n+M（310）利用求和符号可将式（39）和（310）缩写为,(311),3.3.2常系数线性差分方程的求解方法求解常系数线性差分方程的常用方法有以下几种。1.迭代法迭代法是采用代入初始值逐次求解的方法。2.时域经典法时域经典法与微分方程的时域经典解法类似，先分别求齐次解与特解，然后代入边界条件求待定系数。,3.分别求零输入响应与零状态响应与连续时间系统的情况相类似，可以先利用求齐次解的方法得到零输入响应，再利用卷积和（简称卷积）的方法求零状态响应。4.变换域方法利用Z变换求解差分方程有许多优点，它是在实际应用中最简便而有效的方法。我们在第六章将详细讨论它。,3.3.3常系数线性差分方程的经典解1.齐次解当一般差分方程(311)中的x(n)及其移位项的系数br均为零时，那么该差分方程就成为齐次方程，其形式为,（312）,1)特征根均为单根如果N个特征根0，1，2，,N-2，N-1都互不相同，则差分方程的齐次解（余函数）为,（313）,)特征根有重根如果1是特征方程的r重根，即有1=2=3=r，而其余N-r个根是单根，则差分方程的齐次解为,（314）,例310已知差分方程y(n)+5y(n-1)+6y(n-2)=0，y(0)=3,y(1)=1试求它的齐次解。解该差分方程为齐次方程，其特征方程为2+5+6=0，可求得其解为1=-2，2=-3，它们都是单根代入（313）式，得该方程的通解,即yc(n)=c1(-2)n+c2(-3)ny(0)=yc(0)=c1+c2=3y(1)=yc(1)=-2c1-3c2=1所以，c1=10,c2=-7，于是方程的齐次解为yc(n)=10(-2)n-7(-3)n（n0）,例311已知差分方程y(k)-6y(k-1)+9y(k-2)=0，y(0)=3,y(1)=3试求它的齐次解。解方程的特征方程为：2-6+9=0，解之得1=2=3；其特征根为二重根，于是由（314）式可得该方程的通解,y(0)=yc(0)=c2=3y(1)=yc(1)=(c1+c2)31=3所以c1=-2,c2=3，于是方程的齐次解为yc(k)=(3-2k)3k（k0）当特征方程有共轭复根时，齐次解的形式可以是增幅、等幅或衰减形式的正弦或余弦序列。,2.特解与常系数微分方程特解的求法相类似，差分方程特解的形式也与激励函数的形式有关。表31列出了几种典型的激励所对应的特解。选定特解后，把它代入到原差分方程，求出其待定系数，就得出方程的特解。,表31几种典型激励所对应的特解,3.全解要求如式（311）的线性差分方程的完全解，一般步骤如下：()写出与该方程相对应的特征方程；()求出特征根，并写出其齐次解通式；()根据原方程的激励函数的形式，写出其特解的通式；()将特解通式代入原方程求出待定系数，确定特解形式；()写出原方程的全解的一般形式（即齐次解+特解）；()把初始条件代入，求出齐次解的待定系数值；()写出通解的最终表达式。,例313解差分方程解原差分方程的特征方程为2+2+2=0，因而其特征根为齐次解为,所以原差分方程的全解为,把初始值y(0)=1,y(-1)=0代入上式，求得待定系数为,例314解差分方程y(n)+3y(n-1)+2y(n-2)=x(n)+x(n-1)其中x(n)=(-2)nu(n),y(0)=y(1)=0分析由于不同区间的激励信号不同，因而需要分区间讨论。解(1)当n0时，u(n)=0,x(n)=0,x(n-1)=0,原差分方程变为y(n)+3y(n-1)+2y(n-2)=0先解特征方程2+3+2=0，得1=-1,2=-2。所以yc(n)=c1(-1)n+c2(-2)n，n0(A),考虑到已知初始条件y(0),y(1)不满足上式，由差分方程y(n)+3y(n-1)+2y(n-2)=x(n)+x(n-1)可推出y(1)+3y(0)+2y(-1)=x(1)+x(0)=-2+1=-1y(0)+3y(-1)+2y(-2)=x(0)+x(-1)=1解之得c1=2，c2=-3，代入（A）式得y(n)=2(-1)n-3(-2)n,n0（B）,(2)当n=0时，y(0)=0。(3)当n1时，x(n)=(-2)n,x(n-1)=(-2)n-1，原差分方程变为y(n)+3y(n-1)+2y(n-2)=(-2)n+(-2)n-1先求齐次方程y(n)+3y(n-1)+2y(n-2)=0的齐次解yc(n)=c1(-1)n+c2(-2)n再根据表3.1得出其特解y*(n)。,3.3.4零输入响应和零状态响应与连续信号的时域分析相类似，线性非时变离散系统的完全响应除了可以分为自由响应和强迫响应外，还可以分为零输入响应和零状态响应。线性非时变系统的全响应将是零输入响应与零状态响应之和，即在零输入情况下，式（311）等号右边的各项均为零，把差分方程化为齐次方程,若其特征根均为单根，则其零状态响应,例315若描述某离散系统的差分方程为y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=f(k),f(k)=2k,k0初始状态y(-1)=0，y(-2)=0.5，试用两种方法求解系统的全响应。方法1该方程的特征方程为2+3+2=0，解之得1=-1,2=-2，则方程的齐次解为yc(k)=a(-1)k+b(-2)k根据激励信号f(k)的形式查表后得到特解y*(k)=D(2)k，把它带回原方程得,D(2)k+3D(2)k-1+2D(2)k-2=2k消去2k项后得到D+1.5D+0.5D=1,3.4卷积和,3.4.1卷积和的概念我们已经知道，即线性非时变系统对任意离散信号x(n)，都可以表示成多个甚至无穷多个经标乘的延时的单位序列之和。,（316）,3.4.2单位响应1.经典解法描述一阶系统的差分方程比较简单，而单位响应是零状态响应，对于因果系统当n0时，有h(n)=0,故可以用迭代法求出h(0)，h(1)，,h(n)。例316已知描述离散系统的差分方程为y(n)-0.5y(n-1)=f(n)，试求其单位响应h(n)。,解根据单位响应的定义f(n)=(n)，单位响应h(n)满足方程h(n)-0.5h(n-1)=(n)对于因果系统，n0时该系统的齐次解为,所以A=1，B=1则图3.18所示的系统的单位响应,例318如图3.19所示的离散系统，试求其单位,图3.19例318图,2.利用系统转移算子求法,表32系统的转移算子及其对应的单位响应,例319已知描述离散系统的差分方程为y(n)-0.5y(n-1)=f(n)，试求其单位响应h(n)。解原差分方程即得y(n+1)-0.5y(n)=f(n+1)先求系统的转移算子，由表32的第4号公式可以得到单位响应。,例320利用系统转移算子求解图3.19离散系统的解根据图3.19可以列出描述该系统的差分方程,所以,由表3-2可知,例321一离散时间系统用以下差分方程描述：y(n+2)-5y(n+1)+6y(n)=f(n+2)-3f(n)试求系统的单位响应。解系统的的转移算子为根据表32中的第1、5号公式可得系统的单位响应为h(n)=(n)+63n-1u(n-1)-2n-1u(n-1)=(n)+(23n-2n-1)u(n-1),3.4.3卷积和的计算由卷积和的定义式,(317),例322已知x(n)和h(n)如图3.20所示，求它们的卷积和。解根据图3.14所示，h(0)=1,h(1)=2,h(2)=1,h(n)=0(n=3,4,5)我们按照卷积计算的一般方法，如图3.21所示先将n换为k，即得xk和hk，再将hk反转为h-k；把h-k沿k轴平移n得到hn-k，分别对不同的n计算,其过程如图3.21所示，不难看出，当n2时，y(n)=8。以上结果可表示为y(n)=x(n)*h(n)=(n)+5(n-1)+8u(n-2),图3.20例322图,图3.21例322的图解说明,图3.21例322的图解说明,表33常用函数的卷积和运算,例323已知x(n)=anu(n)(0a1),h(n)=u(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。解由卷积的定义式(317)可知：,式中，k为求和变量。由于当kn时，un-k=0,当0kn时，ukun-k=1，所以求和区间应是0kn，故有,3.4.4卷积运算的基本规律1.卷积的交换律u(n)=x(n)*h(n)=h(n)*x(n)证明由于设l=n-k，则k=n-l,所以,2.卷积的结合律y(n)=x(n)*h1(n)*h2(n)=x(n)*h2(n)*h1(n)=x(n)*h1(n)*h2(n)式中的方括号表示在其中的两个序列优先作卷积运算。证明由图3.22可见y(n)=x1(n)*h2(n)=x(n)*h1(n)*h2(n)=x(n)*h1(n)*h2(n)=x(n)*h(n),上式中h(n)=h1(n)*h2(n)，又根据卷积的交换律h(n)=h2(n)*h1(n)，故又可得y(n)=x(n)*h2(n)*h1(n)卷积的结合律即得证。,图3.22三个LTI系统响应相同,上式中h(n)=h1(n)*h2(n)，又根据卷积的交换律h(n)=h2(n)*h1(n)，故又可得y(n)=x(n)*h2(n)*h1(n)卷积的结合律即得证。,3.卷积的分配律y(n)=x(n)*h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n),证明,卷积的分配律表明两个并联系统的总单位响应h(n)为两个系统的单位响应的代数和，如图3.23所示。,图3.23卷积的分配律,例325对图3.24所示的两个线性非时变系统的级联，已知h1(n)=sin8n，h2(n)=anu(n)，|a|M时,其中n，M-1,其中nM,N-1,其中nN,N+M-2,n为其它值(318),当N100)|(M100);/*确保项数在100以内*/if(NM-1)/*把项数大的序列存入x(N);把项数小的序列存入h(N)*/for(i=0;iN;i+)xi=0;printf(pleaseinputx(%d)=,i);scanf(%d,i+)/*显示项数多的输入序列*/,printf(x(%d)=