数字电路第2章 逻辑代数

.,第2章逻辑代数,.,一、逻辑函数的相等,1、定义：设有两个逻辑函数F=f(x1,x2,xn)G=g(x1,x2,xn)其变量都为x1,x2,xn，如果对应于变量x1,x2,xn的任何一组变量取值，F，G的值都相等，则称这两个函数相等，记为F=G。2、判断逻辑函数是否相等的方法（1）列出输入变量的所有可能的取值组合，并按逻辑运算规则计算出在各种输入取值下两个函数的相应值，并进行比较。（2）利用逻辑代数的定理、定律和规则进行证明。,.,一、逻辑函数的相等,它们的真值表完全相同，所以F和G是相等的。,二、关于逻辑函数的书写,.,乘运算规则:,加运算规则:,三、逻辑代数的基本定律和恒等式,非运算规则:,0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1,00=001=010=011=1,1、基本关系,.,交换律:A+B=B+AAB=BA,结合律:A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)ABC=(AB)C=A(BC),2.逻辑代数运算规律,三、逻辑代数的基本定律和恒等式,.,分配律:A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C),证明:,右边=(A+B)(A+C),=AA+AB+AC+BC;分配律,=A+AB+AC+BC;结合律,AA=A,=A(1+B+C)+BC;结合律,=A1+BC;1+B+C=1,=A+BC;A1=1,=左边,2.逻辑代数运算规律,三、逻辑代数的基本定律和恒等式,.,吸收律：,原变量吸收规则:,反变量吸收规则:,注:红色变量被吸收掉！,A+AB=A,证明:,2.逻辑代数运算规律,三、逻辑代数的基本定律和恒等式,.,吸收律:,证明:,2.逻辑代数运算规律,三、逻辑代数的基本定律和恒等式,.,反演律（摩根定理）,用真值表证明,1110,00011011,1110,证明:,2.逻辑代数运算规律,三、逻辑代数的基本定律和恒等式,.,3.关于“异或”运算的一些公式,三、逻辑代数的基本定律和恒等式,.,1、代入规则对逻辑等式中的任意变量A，若将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数，则等式仍然成立。例：若：A(B+C)=AB+ACCC+D则：AB+(C+D)=AB+A(C+D)意义：利用这条规则和现有的等式，可以推出更多的等式，而无需证明。,四、逻辑代数的基本规则,.,2、反演规则对于任何一个逻辑函数F，若将F表达式中所有的“”和“+”互换，“0”和“1”互换，原变量和反变量互换，并保持运算优先顺序不变，则可得到F的反函数。,注意：反演规则的意义在于利用它求一个函数的反函数。运用反演规则时，不是一个变量上的反号应该保留。变换时，应注意先“与”后“或”，先括号内后括号外的顺序。,四、逻辑代数的基本规则,.,3、对偶规则对于任何一个逻辑函数F，若将F表达式中所有的“”和“+”互换，原变量和反变量不变，并保持运算优先顺序不变，则所得到新的函数称为函数F的对偶函数F。,例：,四、逻辑代数的基本规则,.,若称函数为自对偶函数,例：,3、对偶规则,注意：转换时应先“与”后“或”，先括号内后括号外的顺序。,对偶规则：当某逻辑恒等式成立时，其对偶式的等式也成立。互为对偶原理：(Z)=Z,四、逻辑代数的基本规则,.,五、逻辑函数的代数化简法,1、逻辑函数的基本形式（1）“与或”表达式（积之和）单个逻辑变量进行“与”运算构成的项称为“与项”，由“与项”进行“或”运算构成的表达式称为“与或”表达式。例：,（2）“或与”表达式（和之积）单个逻辑变量进行“或”运算构成的项称为“或项”，由“或项”进行“与”运算构成的表达式称为“或与”表达式。例：,.,2、化简的意义（1）节省器材；（2）提高了工作的可靠性；3、最简的概念,（1）“与或”表达式化简的意义任何一个表达式都不难展开成“与或”表达式；从一个最简的“与或”表达式可以比较容易地得到其他类型的最简式。（2）最简“与或”表达式“与”项的个数最少；每个“与”项中的因子数最少；,五、逻辑函数的代数化简法,.,3、最简的概念,（3）举例：试证明下面两式具有相同的逻辑功能，并比较它们的逻辑图。,即Z1、Z2具有相同的逻辑功能,五、逻辑函数的代数化简法,.,例1：,五、逻辑函数的代数化简法,.,结论:异或门可以用4个与非门实现,例2:证明,五、逻辑函数的代数化简法,.,异或门可以用4个与非门实现,五、逻辑函数的代数化简法,.,例3,五、逻辑函数的代数化简法,.,例4,五、逻辑函数的代数化简法,.,（1）并项法,（2）吸收法利用A+AB=A消去多余的项,4、逻辑函数的化简方法,.,（3）消去法,利用消去多余的因子,4、逻辑函数的化简方法,.,（4）配项法,4、逻辑函数的化简方法,.,小结：用代数法化简，一开始不可能知道它的最简式，只能在简化的过程中方能够逐渐清楚。化简步骤：首先把表达式转换成“与或”表达式，然后用较易的并项法，吸收法和消去法化简函数式，最后再考虑能否用配项法给予展开化简。具体应用中要特别注意一个函数式作为一个变量看待时的具体变换。,五、逻辑函数的代数化简法,综合运用看：书44例2.1.7、2.1.8、2.1.9,.,1、最小项（1）定义：若n个变量组成的与项中，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次且仅出现一次，则称该“与项”为n个变量的最小项。例：设A，B，C是三个逻辑变量，其最小项为,不是最小项的与项：AB，AC，A(B+C)，（2）最小项的编号：把使该最小项为1的取值组合视作二进制数，则相应的十进制数作为最小项的编号。用(m)(N)10表示。,六、卡诺图化简法,.,（3）性质：n变量的函数，最多可构成2n个最小项；对于任意一个最小项，只有一组变量取值组合使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值均为0；不同的最小项，使它为1的变量取值组合不同；任意两个最小项mi和mj(ij)的乘积必为零，即mimj=0；对于变量的任意一组取值，全体最小项之和为1，即：,n变量的每一个最小项，都有n个相邻的最小项。当两个最小项中只有一个变量不同，且这个变量分别为同一变量的原变量和反变量时，称这两个最小项为相邻的最小项。,1、最小项,六、卡诺图化简法,.,2）一个逻辑函数的标准“与或”式是唯一的。3）任何一个逻辑函数都可表示成为标准“与或”式。其方法如下：代数法：将函数表示成为一般的“与或”式；,2、逻辑函数的标准形式（1）标准“与或”式1）由最小项相“或”构成的逻辑表达式，称为标准“与或”式。,反复利用X=X(Y+)，将表达式中所有非最小项的“与”项扩展成为最小项。,六、卡诺图化简法,.,2、逻辑函数的标准形式（1）标准“与或”式,六、卡诺图化简法,.,2、逻辑函数的标准形式（1）标准“与或”式,六、卡诺图化简法,.,2、逻辑函数的标准形式（1）标准“与或”式,真值表法：将在真值表中，输出为1所对应的最小项相加，即为标准“与或”式,六、卡诺图化简法,.,3、卡诺图的引出及特点,将真值表或逻辑函数式用一个特定的方格图表示，称为卡诺图。,1、构成：卡诺图是将代表最小项的小方格按相邻原则排列而成的平面方格图。2、画法（1）基本原则：在相邻方格中填入相邻的最小项。（2）画法：折叠展开法,六、卡诺图化简法,.,卡诺图的画法：（一输入变量）,3、卡诺图的引出及特点,A,（二输入变量）,3,2,A,B,AB00011110,三、卡诺图化简法,.,卡诺图的画法：（二输入变量）,3、卡诺图的引出及特点,1,1,1,0,三、卡诺图化简法,.,卡诺图的画法：（三输入变量）,3、卡诺图的引出及特点,4,A,B,C,若为3变量：Z=Z（A，B，C）,三、卡诺图化简法,.,卡诺图的画法：（三输入变量）,3、卡诺图的引出及特点,若为3变量：Z=Z（A，B，C）,三、卡诺图化简法,.,F(A,B,C)=m(1,2,4,7),3、卡诺图的引出及特点,三、卡诺图化简法,.,卡诺图的画法：,3、卡诺图的引出及特点,若为4变量：Z=Z（A，B，C，D）,8,12,三、卡诺图化简法,.,00,01,11,10,00,01,11,10,四变量卡诺图单元格的编号,A,C,B,D,三、卡诺图化简法,.,F(A,B,C,D)=m(0,2,6,7,9,10,13,14,15),.,三、卡诺图化简法,3、卡诺图的引出及特点,3、卡诺图的构造特点（1）n个变量的卡诺图由2n个小方格组成，每个小方格代表一个最小项；方格内标明的数字，就是所对应的最小项的编号。（2）卡诺图上处在相邻、相对、相重位置的小方格所代表的最小项为相邻最小项。,（3）整个卡诺图总是被每个变量分成两半，原变量和反变量各占一半，任一个原变量和反变量所占的区域又被其他变量分成两半。,.,三、卡诺图化简法,4、卡诺图的填法,（1）已知真值表填卡诺图：在其相应的小方格中填入0或1。,.,三、卡诺图化简法,4、卡诺图的填法,（2）已知逻辑函数填卡诺图：先将函数化为标准“与或”式，再填入图中。在卡诺图上找出和表达式中最小项对应的小方格填1，其余小方格填0(或以空白代替0)即可得到。例如：F(A,B,C,D)=m(0,6,10,13,15),.,三、卡诺图化简法,4、卡诺图的填法,（3）未用最小项表达的逻辑函数的卡诺图对与或表达式表示的函数，可按照卡诺图上与的公共性、或的叠加性、非的否定性作出相应卡诺图；对某一“与”项按顺序对各个变量在图中找对应的方格区，各方格区的重合方格，即为该“与”项所对应的方格，然后再选加其他“与”项，相重的不再写1。,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,.,化简的依据卡诺图直观、清晰反映了最小项的相邻关系。根据并项定理，任意两个相邻项可以合并为一项，合并后消去互补变量。,三、卡诺图化简法,5、用卡诺图化简逻辑函数,.,三、卡诺图化简法,5、用卡诺图化简逻辑函数,化简的方法（1）填好卡诺图；（2）合并最小项；根据相邻原则，画卡诺圈，并写出每个圈的“与”项。（3）将每个圈的“与”项相加，即得到简化后的逻辑表达式；,说明：卡诺圈中小方格的个数必须为2m个，m为小于或等于n的整数；当mn时，卡诺圈包围了整个卡诺图，可用1表示，即n个变量的全部最小项相或为1。,.,如果有2n个最小项相邻（n1，2，），并排列成一个矩形组，则它们可以合并为一项，并消去n对因子。合并后的结果中仅包含这些最小项的公共因子。1、两个最小项相邻，可合并为一项并消去一对因子。,三、卡诺图化简法,5、用卡诺图化简逻辑函数,2、四个最小项相邻成矩形组，可合并为一项并消去两对因子。3、八个最小项相邻成矩形组，可合并为一项并消去三对因子。结论：2k个最小项相邻（k=1，2，3）并排列成一个矩形组（方格群），则它们可合并为一项，消去k对因子，只保留公共因子（即相同的因子）。若k=n，则Y=1,.,.,三、卡诺图化简法,5、用卡诺图化简逻辑函数,画卡诺圈的原则在覆盖所有1方格的前题下，卡诺圈的个数应尽可能少。因为卡诺圈个数越少，函数表达式中的与项数目越少；在满足合并规律的前题下，卡诺圈应尽可能大。因为卡诺围中包含的最小项越多，相应与项所含的变量数越少；每个1方格至少被一个卡诺圈包围，根据需要也可以被多个卡诺圈包围。圈的形状可以是长方形或正方形，不能是其他形状；画圈的次序是“先大后小”消去的是相邻方格中取值不同的变量，一个包围2m个方格的卡诺图，可以消去m个变量。,.,三、卡诺图化简法,AC,BC,AB,F=AC+BC+AB,.,三、卡诺图化简法,.,三、卡诺图化简法,四个角为相邻的方格。,.,三、卡诺图化简法,函数的最简“与或”式不一定是唯一的。,.,三、卡诺图化简法,若卡诺图中各小方格被1占去了大部分，这时采用包围0的方法化简更简单，即先求出非函数，再对非函数求非，得到F。,.,三、卡诺图化简法,利用卡诺图将函数化简成“或与”表达式。用卡诺图求函数的最简或与表达式通常有两种不同的处理方法。一种方法是作出函数F的卡诺图，合并卡诺图上的0方格，求出的最简与或式，然后对取反，得到F的最简或与式，该方法称为两次取反法；,.,2、逻辑函数的标准形式（2）标准“或与”式由最大项相“与”构成的逻辑表达式，称为标准“或与”式,三、卡诺图化简法,.,三、卡诺图化简法,自己练习,.,约束：对输入变量取值所加的限制。例：三变量A,B,C，分别表示电动机的正转、反转和停止，其中：A=1，正转；B=1，反转；C=1，停止.则：ABC的取值只能是001，010，100三者之一，而不能是000，011，101，110，111之一。所以A,B,C是一组具有约束的变量。,三、卡诺图化简法,6、具有无关项的逻辑函数及其卡诺图化简,任意项：在输入变量的某些取值下，函数值是1还是0，不影响电路的功能。无关项：约束项和任意项的统称。在卡诺图中，用表示无关项。,.,通常用约束条件来描述约束的具体内容。当限制某些输入变量的取值不能出现时，用它们对应的最小项恒等于0来表示。此例的约束条件为：A