画树状图求概率 (3)

一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其，称为随机事件A发生的概率，记为,1.概率的定义：,发生可能性大小的数值,P(A).,2、等可能试验有两个共同点：1.每一次试验中,可能出现的结果是；2.每一次试验中,出现的结果.,有限个,可能性相等,3、一般地,如果一次试验中,有,并且它们发生的可能性都相等.事件A包含其中的.那么事件A发生的概率.,n种可能的结果,m种结果,P(A)=,0P(A)1,概率的范围:,1、一张圆桌旁有4个座位，A先坐在如图所示的位置上，B、C、D随机地坐到其它三个座位上，求A与B不相邻而坐的概率。,解：按逆时针共有下列六种不同的坐法：ABCD、ABDC、ACBD、ACDB、ADBC、ADCB而A与B不相邻的有2种，所以A与B不相邻而坐的概率为,“配紫色”游戏,小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏:下面是两个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成相等的几个扇形.,游戏规则是:游戏者同时转动两个转盘,如果转盘A转出了红色,转盘B转出了蓝色,那么他就赢了,因为红色和蓝色在一起配成了紫色.,(1)利用列表的方法表示游戏者所有可能出现的结果.(2)游戏者获胜的概率是多少?,表格可以是：,“配紫色”游戏,游戏者获胜的概率是1/6.,黄,蓝,绿,红,(红,黄),(红,蓝),(红,绿),白,(白,黄),(白,蓝),(白,绿),这个游戏对小亮和小明公平吗？,小明和小亮做扑克游戏，桌面上放有两堆牌,分别是红桃和黑桃的1,2,3,4,5,6,小明建议:我从红桃中抽取一张牌,你从黑桃中取一张,当两张牌数字之积为奇数时，你得1分，为偶数我得1分,先得到10分的获胜”。如果你是小亮,你愿意接受这个游戏的规则吗?为什么？,解：我不愿意接受这个游戏的规则，理由如下：列表：,由表中可以看出,在两堆牌中分别取一张,它可能出现的结果有36个,它们出现的可能性相等。,满足两张牌的数字之积为奇数(记为事件A)的有9种情况,所以P(A)=满足两张牌的数字之积为偶数(记为事件B)的有27种情况,所以P(A)=因为P(A)P(B),所以如果我是小亮,我不愿意接受这个游戏的规则。,1、怎样改变规则使游戏变得公平？,2、如果去掉黑桃只留下红桃，小亮抽一张牌，不放回小明在抽一张，其他规则不变，游戏是否公平？,列表法有限等可能事件满足怎样的条件时可用列举法：在一次试验中涉及到得因素有两个。,当一次试验涉及两个因素时，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法,（一）列举法求概率1.有时一一列举出的情况数目很大，此时需要考虑如何去排除不合理的情况，尽可能减少列举的问题可能解的数目.2利用列举法求概率的关键在于正确列举出试验结果的各种可能性，而列举的方法通常有直接分类列举、列表、画树形图，这节课我们将继续往下研究,2、田忌赛马是一个为人熟知的故事传说战国时期，齐王与田忌各有上、中、下三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出-匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，看样子田忌似乎没有什么胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马要强（1）如果齐王将马按上中下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能取胜？（2）如果齐王将马按上中下的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，田忌获胜的概率是多少？（要求写出双方对阵的所有情况）,解：(1)由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的马按上、中、下顺序出阵时，田忌的马按下、上、中的顺序出阵，田忌才能取胜(2)当田忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况如下表：齐王的马上中下上中下上中下上中下上中下上中下田忌的马上中下上下中中上下中下上下上中下中上双方马的对阵中，总有一种对抗情况田忌能赢所以田忌获胜的概率P=16,例1.将一个均匀的硬币上抛三次，结果为三个正面的概率_.,解：,开始,反,正,正,反,反,正,正,反,反,反,正,反,正,正,第一次：,第二次：,第三次：,总共有8种结果，每种结果出现的可能性相同，而三次正面朝上的结果有1种，因此三次正面朝上的概率为1/8。,1/8,例2、甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I，从3个口袋中各随机地取出1个小球（1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？,分析：当一次试验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图,A,B,C,D,E,C,D,E,乙,丙,甲,解：根据题意，我们可以画出如下的”树形图“：,从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有12个.,这些结果出现的可能性相等（1）只有一个元音字母的结果（红色）有5个，即ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，所以P（一个元音）,有两个元音字母的结果（绿色）有4个，即ACI，ADI，AEH，BEI，所以P（两个元音）,满足三个全部为元音字母的结果有1个，则P（三个元音）=,（2）全是辅音字母的结果共有2个：BCH，BDH，所以P（三个辅音）,想一想，什么时候使用”列表法“方便，什么时候使用”树形图法“方便？,当事件要经过多个步骤完成时:三步以上,用这种”树形图”的方法求事件的概率很有效.,当事件涉及两个元素，并且出现的结果数目为了不重不漏列出所有可能的结果，用列表法.,用下图所示的转盘进行“配紫色”游戏，游戏者获胜的概率是多少？,刘华的思考过程如下：,随机转动两个转盘，所有可能出现的结果如下：,总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，而能够配成紫色的结果只有一种：（红，蓝），故游戏者获胜的概率为19。,3.小明是个小马虎,晚上睡觉时将两双不同的袜子放在床头，早上起床没看清随便穿了两只就去上学，问小明正好穿的是相同的一双袜子的概率是多少？,解：设两双袜子分别为A1、A2、B1、B2，则,所以穿相同一双袜子的概率为,例题,同时抛掷三枚硬币,求下列事件的概率:(1)三枚硬币全部正面朝上;(2)两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上;(3)至少有两枚硬币正面朝上.,正,反,正,反,正,反,正,反,正,反,正,反,正,反,开始,解:,(1)P(全部正面朝上),(2)P(两枚正面朝上),(3)P(至少有两枚正面朝上),第枚,甲、乙、丙三人打乒乓球.由哪两人先打呢?他们决定用“石头、剪刀、布”的游戏来决定,游戏时三人每次做“石头”“剪刀”“布”三种手势中的一种,规定“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,“布”胜“石头”.问一次比赛能淘汰一人的概率是多少?,解:,由规则可知,一次能淘汰一人的结果应是:“石石剪”“剪剪布”“布布石”三类.,P(一次比赛能淘汰一人)=,经过某十字路口的汽车,它可能继续直行,也可能向左转或向右转,如果这三种可能性大小相同,三辆汽车经过这个十字路口,求下列事件的概率:,(1)三辆车全部继续直行;,(2)两辆车向右转,一辆车向左转;,(3)至少有两辆车向左传.,第一辆车,第二辆车,第三辆车,解:P（三辆车全部继续直行）=,P（两辆车向右转，一辆车向左转）=,P（至少有两辆车向左转）=,=,所有可能结果,练习,3.用数字1、2、3,组成三位数,求其中恰有2个相同的数字的概率.,解:,由树形图可以看出,所有可能的结果有27种,它们出现的可能性相等.,P(恰有两个数字相同)=,4.把3个不同的球任意投入3个不同的盒子内(每盒装球不限),计算:(1)无空盒的概率;(2)恰有一个空盒的概率.,练习,解:,由树形图可以看出,所有可能的结果有27种,它们出现的可能性相等.,P(无空盒)=,(1)无空盒的结果有6个,(2)恰有一个空盒的结果有18个,P(恰有一个空盒)=,3.某电脑公司现有A，B，C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑(1)写出所有选购方案(利用树状图或列表方法表示）；(2)如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号电脑被选中的概率是多少？(3)现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台(价格如图所示)，恰好用了10万元人民币，其中甲品牌电脑为A型号电脑，求购买的A型号电脑有几台,解：(1)树状图如下,有6种可能,分别为(A，D)，（A，E），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E）,还可以用表格求,也清楚的看到，有6种可能,分别为(A，D)，（A，E），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E）,(2)因为选中A型号电脑有2种方案，即(A，D)（A，E），所以A型号电脑被选中的概率是,(3)由(2)可知，当选用方案（A，D）时，设购买A型号、D型号电脑分别为x，y台，根据题意，得,解得经检验不符合题意，舍去；,当选用方案（A，）时，设购买A型号、型号电脑分别为x，y台，根据题意，得,解得,所以希望中学购买了7台A型号电脑,一个家庭有三个孩子，若一个孩子是男孩还是女孩的可能性相同(1)求这个家庭的3个孩子都是男孩的概率；(2)求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率；(3)求这个家庭至少有一个男孩的概率,解：用B和G分别代表男孩和女孩，用“树状图”列出所有结果为：（1）这个家庭有三个男孩的概率为；（2）这个家庭有两个男孩一个女孩的概率为；（3）这个家庭至少有一个男孩的概率为。,1、在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y（1）计算由x、y确定的点（x，y）在函数y=-x+5的图象上的概率（2）小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x、y满足xy6则小明胜，若x、y满足xy6则小红胜，这个游戏公平吗？说明理由若不公平，请写出公平的游戏规则。,四、运用新知，深化理解,1.在一只不透明的盒子里装有用“贝贝”（B）、“晶晶”（J）、“欢欢”（H）、“迎迎”（Y）和“妮妮”（N）五个福娃的图片制成的五张外形完全相同的卡片。小华涉及了四种卡片获奖的方案（每个方案都是前后共抽两次，每次从盒子里抽取一张卡片）,（1）第一次抽取后放回盒子并混合均匀，先抽到“B”后抽到“J”;（2）第一次抽取后放回盒子并混合均匀，并抽到“B”和“J”（不分先后）；（3）第一次抽取后不再放回盒子，先抽到“B”后抽到“J”；（4）第一次抽取后不再放回盒子，抽到“B”和“J”（不分先后）；问：上述四种方案，抽中卡片的概率依次是,（1）,（2）,（3）,（4）,3、两人要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区有三辆汽车（票价相同），但是他们不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序两人采用了不同的乘车方案：甲无论如何总是上开来的第一辆车而乙则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况如果第二辆车的状况比第一辆好，他就上第二辆车；如果第二辆不比第一辆好，他就上第三辆车如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题：（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？（2）你认为甲、乙两人采用的方案，哪一种方案使自己乘坐上等车的可能性大，为什么？,解析:（1）根据可能性大小的方法，找准两点：1、符合条件的情况数目；2、全部情况的总数；二者的比值就是可能性发生的大小；（2）比较两个概率即可,解：（1）三辆车开来的先后顺序有6种可能：（上、中、下）、（上、下、中）、（中、上、下）、（中、下、上）、（下、中、上）、（下、上、中）；（6分）（2）由于不知道任何信息，所以只能假定6种顺序出现的可能性相同我们来研究在各种可能性的顺序之下，甲、乙二人分别会上哪一辆汽车,于是不难得出，甲乘上、中、下三辆车的概率都是,；而乙乘上等车的概率是,乙采取的方案乘坐上等车的可能性大,4、“石头、剪刀、布”是广为流传的游戏游戏时甲、乙双方每次出“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”，同种手势不分胜负假定甲、乙两人每次都是等可能地出这三种手势，用画树状图或列表的方法分别求出一次游戏中两人出同种手势的概率和甲获胜的概率（提示：为书写方便，解答时可以用S表示“石头”，用J表示“剪刀”，用B表示“布”）,解：一次游戏，甲、乙两人随机出手势的所有可能的结果如图所示：所有可能出现的结果（S,S）（S,J）（S,B（J,S）（J,J）（J,B）（B,S）（B,J）（B,B）.从上面树状图可以看出，一次游戏可能出现的结果共有9种，而且每种结果出现的可能性相同.所以，P（出同