高中数学 2.3.1 变量间的相互关系素材 新人教B版必修3

2.3 变量间的相关关系学习目标导航学习提示1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.2.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程，知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.作出散点图和根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程是重点.难点是对最小二乘法的理解.教材优化全析全析提示相关关系的概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则两个变量之间的关系叫做相关关系.对相关关系的理解应当注意以下几点：其一是相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系.其二是函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大.相关关系与函数关系的异同点：相同点：均是指两个变量的关系.不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系.函数关系是自变量与函数值之间的关系,这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.其三是在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断.对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析.例如，施化肥量对水稻产量影响的试验数据：施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455观察表中数据，大体上随着施化肥量的增加，水稻的产量也在增加.只是表中两者之间的关系表现的不是很真切，需要对数据进行分析.我们可以作统计图、表，以便对两者有一个直观的印象和判断.散点图是研究相关关系最常用的一种统计图.相关关系是进行回归分析的基础，同时，也是散点图的基础.我们把表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形，叫做散点图.上例的散点图如图231.图231若要考察变量（随机变量）a与（非随机变量）b的相关性，则b为因变量，a为自变量.画散点图时，自变量（随机变量）在x轴上，因变量（非随机变量）在y轴上.从散点图可以看出两变量的确存在一定关系，可见散点图能形象地反映各对数据的密切程度.了解相关变量的正负相关性在我们的生活生产中有着重要的实际意义.从散点图可以看出因变量随自变量的增大而增大，图中的点分布在左下角到右上角的区域，这种相关关系称作正相关.若因变量随自变量的增大而减小则称作负相关，负相关的散点图中的点分布在左上角到右下角的区域.进一步观察，发现图中的点分布在一条直线附近，这说明这一正相关可以用这一直线来逼近.如图232.图232当运用直线近似表示施化肥量与水稻产量的关系时，学生可能选择能反映直线变化的两个点，例如（15，330），（45，455）确定一条直线；也可能取一条直线，使得直线一侧和另一侧点的个数基本相同；还可能多取几组点，确定几条直线方程，再分别算出各条直线斜率、截距的算术平均值，作为所求直线的斜率、截距.但这些方法缺乏理论支持，不可靠.如果散点图中的点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两变量之间具有线性相关关系.这条直线叫做这两个变量的回归直线，回归直线的方程叫做回归方程.上例的回归直线方程是=4.75x+256.79.如何求回归直线方程呢?（1）求回归直线方程的思想方法实际上，求回归直线方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看各点与此直线的距离最小”.观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近.类似图中的直线可画出不止一条.那么，其中的哪一条直线最能代表变量x与y之间的关系呢?引导学生分析，最能代表变量x与y之间关系的直线的特征即直线与n个点的偏差的平方和最小，其过程简要分析如下：在学习回归方程的内容时，同学们可以积极探索用多种方法确定线性回归直线.在此基础上，去体会、理解最小二乘法的思想，根据给出的公式求线性回归方程.感兴趣的话，可尝试推导线性回归方程.设所求的直线方程为=bx+a，其中a、b是待定系数.则i=bxi+a（i=1，2，n）.于是得到各个偏差yii =yi（bxi+a）（i=1，2，n）.显见，偏差yii 的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n个偏差的平方和Q=（y1bx1a）2+（y2bx2a）2+（ynbxna）2表示n个点与相应直线在整体上的接近程度.记Q=（向学生说明的意义）.=x1+x2+x3+xn（i=1，2，n）.上述式子展开后，是一个关于a、b的二次多项式，应用配方法，可求出使Q为最小值时的a、b的值，即b是回归方程的斜率，a是截距.其中=，=.求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫最小二乘法.（2）回归直线方程的求法利用计算机求回归方程（Excel软件）：在Excel的工作表中添加“图表”得到散点图后，用鼠标选中散点，单击鼠标右键，单击“添加趋势线”，在出现的对话框中单击类型标签，选择“线型（L）”，单击“选项”标签，选中“显示公式”单选框，最后点击“确定”即可.如上例可得图233.图233利用科学计算器求回归方程：大多科学计算器都有回归计算（REG模式），但不同的计算器参数可能不同，这里不作详细介绍，一般在输入数据后按相应按键可直接得到a和b，这样就可以写出回归方程=bx+a，非常简便，使用前一定要看好计算器的使用说明书.求相关变量的回归直线的意义：回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用.应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对情况进行估测、补充.因此，学过回归直线方程以后，应能积极应用回归直线方程解决一些相关的实际问题，去进一步体会回归直线的应用价值.如上例中，我们可以利用回归直线方程=4.75x+256.79去估算当施化肥量x=23时，水稻的产量约为366，当然这只是一个估算值，与实际数据存在差距，尽管如此，回归直线方程在实践中的指导意义是毋庸置疑的.样本相关系数：r=叫做变量y与x之间的样本相关系数（简称相关系数），用它来衡量它们之间的线性相关程度.|r|1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.统计学认为，相关变量的相关系数r1，0.75时，两变量负相关很强；r0.75，1时，两变量正相关很强；r（0.75，0.3或0.3，0.75）时，两变量相关性一般；r0.25，0.25时，两变量相关很弱.由学生计算本节前面水稻产量与施化肥量的相关系数，可得r0.9733，两变量正相关性很强.典型例题探究【例1】下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：气温/2618131041杯数202434385064（1）将上表中的数据制成散点图.（2）你能从散点图中发现温度与饮料杯数近似成什么关系吗?（3）如果近似成线性关系的话，请求出回归直线方程来近似地表示这种线性关系.（4）如果某天的气温是5时，预测这天小卖部卖出热茶的杯数.分析：先画出其散点图，看其是否呈直线形，再借助技术手段，求出回归直线方程.根据题意，对实际问题进行预测.解：（1）将表中的数据制成散点图如图234.图234（2）从散点图中发现温度与饮料杯数近似成线性相关关系.（3）利用计算机Excel软件求出回归直线方程（用来近似地表示这种线性关系），如图235.规律发现对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，由于数据较多，运算关系复杂，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误.从图中可知此例属负相关.用=1.6477x+57.557来近似地表示这种线性关系.图235Excel软件是office办公软件的集成软件之一，处理数据方便易用，求回归方程既简单又直观.也可以使用计算器，使用时应认真阅读说明书，进入统计计算状态后，先清除已有数据，再输入数据，还需注意功能转换键的使用.（4）如果某天的气温是5，用=1.6477x+57.557预测这天小卖部卖出热茶的杯数约为=1.6477（5）+57.55766.【例2】某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量（mg/L）与消光系数如下表：尿汞含量x246810消光系数y64138205285360用统计方法判断尿汞含量与消光系数是否相关，能预测尿汞含量为5mg/L时的消光系数吗？分析：据题意需作回归分析，先画出其散点图，看其是否呈直线形，再借助现代技术手段，求出回归直线方程.根据题意，对实际问题进行预测.解：画出其散点图.显然两者线性相关，求出回归方程如图236.图236当x=5时，=36.95511.3173.可知尿汞含量为5 mg/L时的消光系数约为173.根据题意确定使用线性分析，其一般步骤是：画出散点图；若呈直线形，求回归直线方程；推测实际问题.知识应用自测思路导引1.有关线性回归的说法，不正确的是 A.相关关系的两个变量不是因果关系B.散点图能直观地反映数据的相关程度C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D.任一组数据都有回归方程答案：D解析：只有线性相关的数据才有回归直线.相关关系与函数关系不同，散点图的特点及最小二乘法的思想，这些依赖于对概念的正确理解.2.下面哪些变量是相关关系A.出租车费与行驶的里程 B.房屋面积与房屋价格C.身高与体重 D.铁的大小与质量答案：C解析：A、B、D都是函数关系，其中A一般是分段函数，只有C是相关关系.注意相关关系与函数关系不同.3.回归方程=1.5x15，则A.=1.515 B.15是回归系数aC.1.5是回归系数a D.x=10时，y=0答案：A解析：D中x=10时=0，而非y=0，系数a、b的意义要分清.4.r是相关系数，则结论正确的个数为 r1，0.75时，两变量负相关很强r0.75，1时，两变量正相关很强r（0.75，0.3或0.3，0.75）时，两变量相关性一般r=0.1时，两变量相关很弱A.1 B.2 C.3 D.4答案：D解析：相关系数r的性质.5.线性回归方程=bx+a过定点_.答案：（，）解析：=bx+a，=bx+b，（）=b（x）.6.已知回归方程=4.4x+838.19，则可估计x与y的增长速度之比约为_.答案：解析：所求应是回归方程斜率的倒数.7.为研究某市家庭平均收入与月平均生活支出的关系，该市统计调查队随机调查10个家庭，得数据如下：家庭编号12345678910xi（收入）千元0.81.11.31.51.51.82.02.22.42.8yi（支出）千元0.71.01.21.01.31.51.31.72.02.5求回归直线方程.解：用计算机Excel软件作出散点图（如图2312），观察呈线性正相关，并求出回归方程=0.8136x0.0044.图2312图2313回归方程=bx+a中，|r|1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.统计学认为，相关变量的相关系数r1，0.75时，两变量负相关很强；r0.75，1时，两变量正相关很强；r（0.75，0.3或0.3，0.75）时，两变量相关性一般；r0.25，0.25时，两变量相关很弱.8.某市近10年的煤气消耗量与使用煤气户数的历史资料如下：年 份1993199419951996199719981999200020012002x用户（万户）11.21.61.822.53.244.24.5y （百万立方米）679.81212.114.5202425.427.5（1）检验是否线性相关；（2）求回归方程；（3）若市政府下一步再扩大5千煤气用户，试预测该市煤气消耗量将达到多少.解：用计算机Excel软件作出散点图（如图2313），观察呈线性正相关，并求出回归方程.用计算机Excel软件求回归方程时，点选“显示r2的值”可进一步得到相关系数.（1）r=0.9980.632=r0.05，线性相关；（2）=0.08+6.06x；（3）x0=4.5+0.5=5，代入得=30.38，所以煤气量约达3038万立方米. 线性分析，其一般步聚是：画出散点图；若呈直线形，求回归直线方程；推测实际问题.思维过程本节课学习了变量间的相互关系和两个变量的线性相关,以及最小二乘法和回归直线的定义,体会了用最小二乘法解决两个变量线性相关的方法,在解决问题中要熟练掌握求回归系数b、a的公式,精确计算.同时,要注意培养学生的观察分析两变量的关系和抽象概括的能力.变量间的相互关系有两种:一类是确定性的函数关系,如正方形的边长和面积的关系；另一类是变量间确实存在关系,但又不具备函数关系所要求的确定性,它们的关系是带有随机性的.例如,学生的总成绩和他的单科成绩,一般说来“总成绩高者,单科成绩也高”,我们说总成绩和单科成绩具有相关关系.相关关系又分为两种:(1)正相关:两个变量具有相同的变化趋势.(2)负相关:两个变量具有相反的变化趋势.判断两个变量有没有相关关系的方法:画出散点图,看散点图中的点分布是否有一定规律即可.回归直线的定义,使离差的平方和Q=最小的那条直线,这种使“离差的平方和为最小”的方法叫做最小二乘法,要掌握用最小二乘法求回归直线系数a、b的公式:b=,a=b.求回归直线方程的步骤:(1)将已知的数据列表,列出x,y,并求出x2,y2,xy.(2)利用公式b=,a=b,计算回归系数b,a.(3)写出回归直线方程=bx+a.【例1】“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高,学生的水平也越高.那么,教师的水平与学生的水平成什么相关关系？你能举出更多的描述生活中的两个变量的相关关系的成语吗？解析:“名师出高徒”的意思是说有名的教师一定能教出高明的徒弟,通常情况下,高水平的教师有很大的趋势教出高水平的学生.所以,教师的水平与学生的水平成正相关关系.生活中这样的成语很多,如“龙生龙,凤生凤,老鼠的孩子会打洞”.【例2】历史上,有人认为人们的着装与经济好坏有关系,着装越鲜艳,经济越景气.你认为着装与经济真的有这种相关关系吗？解析:人们的着装只能反映个人的爱好以及个人心情状况,与经济的好坏没有任何关系,并不能反映经济的景气与否.所以,着装与经济并没有“着装越鲜艳,经济越景气”这种相关关系.【例3】下面是6位同学的身高与体重的数据表.身高(cm)168173176179181185体重(kg)565960656468画出散点图,并判断它们是否有相关关系.解析:散点图略.身高与体重有相关关系.【例4】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据如下:年龄23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年龄53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6请利用计算器求人体脂肪含量与年龄两个变量间的回归直线方程.解析:所以,所求回归直线方程为:y=0.577x0.448.【例5