七宝中学新信息背景下的数列问题

1. 定义：若对任意，数列的前项和都为完全平方数，则称数列为“完全平方数列”；特别的，存在，使得数列的前项和为完全平方数，则称数列为“部分平方数列”；（1） 若数列为“部分平方数列”，且，求使数列的前项和为完全平方数时的值；（2） 若数列的前项和，那么数列是否为“完全平方数列”？若是，求出的值；若不是，请说明理由；（3） 试求所有为“完全平方数列”的等差数列答案：（1）（2）不是“完全平方数”；（3）新信息背景下的数列问题 例12. 已知数列的前项和为，且满足，设（1） 求证：数列是等比数列；（2） 若，求实数的最小值；（3） 当时，给出一个新数列，其中，设这个新数列的前项和为，若可以写成的形式，则称为“指数型”和，问：中是的项是否存在“指数型”和，若存在，求出所有“指数型”和；若不存在，请说明理由。答案：（1）（2）；（3）存在为“指数型”和新信息背景下的数列问题 例23. 如果存在常数使得数列满足：若是数列中的一项，则也是数列中的一项，那么就称数列为“兑换数列”，常数是它的“兑换系数”（1） 若数列是“兑换系数”为的“兑换数列”，求和的值；（2） 若又穷递增数列是“兑换系数”为的“兑换数列”，求证：数列的前项和；（3） 已知又穷等差数列的项数是，所有项之和是B，试判断数列是否为“兑换数列”？如果是，给欲证明，并用和B表示它的“兑换系数”；如果不是，请说明理由。答案：（1）（2）略；（3）新信息背景下的数列问题 例34. 设数列满足：；所有项；设集合，将集合中的元素的最大值记为，即是数列中满足不等式的所有项项数的最大值，我们称数列为数列的伴随数列。入数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3（1） 若数列的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列；（2） 设，求数列的伴随数列的前30项和；（3） 若数列的前项和（其中为常数），求数列的伴随数列的前项和答案：（1）（2）84；（3）新信息背景下的数列问题 例45. 对于数列，若满足：则称数列A为“0-1数列”，定义变换将“0-1数列”A中原有的每个1变成0，1，原有的每个0变成1，0，例如：则；设是“0-1数列”，令（1） 若数列，求数列；（2） 若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；（3） 若，记数列中连续两项都是0的数对个数为，求关于的表达式答案：（1）（2）10对；（3）新信息背景下的数列问题 例56. 已知数列是正整数的一个全排列，若对每个都有，则称为H数列（1） 写出满足的所有H数列；（2） 写出一个满足的H数列的通项公式（3） 在H数列中，记，若数列是公差为的等差数列，求证：答案：（1）（2）；（3）略新信息背景下的数列问题 例67. 若有穷数列满足：（1）；（2），则称该数列为“阶非凡数列”（1） 分别写出一个单调递增数列的“3阶非凡数列”和一个单调递减的“4阶非凡数列”；（2） 设，若设“阶非凡数列”是等差数列，求其通项公式；（3） 记“阶非凡数列”的前项的和为，求证：；答案：（1）“3阶非凡数列”：；“4阶非凡数列”（2）；（3）略新信息背景下的数列问题 例78. 对于数列，把作为新数列的第一项，把或作为新数列的第项，数列成为数列的一个生成数列。例如，数列1，2，3，4，5的一个生成数列是；已知数列为数列的生成数列，为数列的前项和。（1） 写出的所有可能值；（2） 若生成数列满足，求数列的通项公式；（3） 证明：对于给定的的所有可能值组成的集合为答案：（1）；（2）；（3）略新信息背景下的数列问题 例89. 有限数列同时满足下列两个条件： 对于任意的 对于任意的三个数中至少有一个数是数列中的项（1） 若，且，求的值；（2） 证明：2，3，5不可能是数列中的项；（3） 求的最大值。答案：（1）；（2）略；（3）新信息背景下的数列问题 例910. 对于实数，将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分，用记号表示，对于实数，无穷数列满足如下条件：，其中（1） 若，求数列；（2） 当时，对任意的，都有，求符合要求的实数构成的集合；（3） 若是有理数，设（是整数，是正整数，互质），问对于大于的任意正整数，是否都有成立，并证明你的结论。答案：（1）；（2）；（3）存在新信息背景下的数列问题 例1011. 设数列和的项均为，则将数列和的距离定义为（1） 求出该数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；（2） 设为满足递推关系的所有数列的集合，和为中的两个元素，且项数均为，若，和的距离小于2016，求的最大值；（3） 记是所有7项数列的集合，且由任何两个元素的距离大于或等于3，证明：中的元素个数小于或等于16答案：新信息背景下的数列问题 2016北京西城一模12. 已知数列满足，且当时，记（1） 写出的所有可能的值；（2） 求的最大值；答案：新信息背景下的数列问题 历年好题精选213. 设数列共有项，记该数列前项中的最大项为，该数列后项中的最小项为（1） 若数列的通项公式为，求数列的通项公式；（2） 若数列满足，求数列的通项公式；（3） 试构造一个数列，满足，其中是公差不为零的等差数列，是等比数列，使得对于任意给定的正整数，数列都是单调递增的，并说明理由。答案：新信息背景下的数列问题 历年好题精选314. 设是关于的次多项式，数列的首项，前项和为，对于任意的正整数都成立（1） 若，求证：数列是等比数列；（2） 试确定所有的自然数，使得能成等差数列；答案：新信息背景下的数列问题 历年好题精选415. 数列的前项和为，若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“E数列