函数一致连续证明的方法和技巧总结

编号 2013110254研究类型理论研究 分类号O17 学士学位论文Bachelors Thesis论文题目关于函数一致连续性证明的若干技巧和方法作者姓名胡 辉学号2009111010254所在院系数学与统计学院学科专业名称数学与应用数学导师及职称许绍元 教授论文答辩时间2013年5月25日湖北师范学院学士学位论文诚信承诺书中文题目： 关于函数一致连续性证明的若干技巧和方法外文题目： Uniformly Continuous Function Proof of Certain Skills and Methods学生姓名胡 辉学生学号20091111010254院系专业数学与统计学院数学与应用数学学生班级0902班学 生 承 诺我承诺在学士学位论文活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，本人学士学位论文内容除特别注明和引用外，均为本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况。如有违规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理。 学生（签名）：年 月 日指导教师承诺我承诺在指导学生学士学位论文活动中遵守学校有关规定，恪守学术道德规范，经过本人核查，该生学士学位论文内容除特别注明和引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的现象。 指导教师（签名）： 年 月 日目 录1.前言12.函数一致连续22.1函数一致连续的定义22.2 证明函数一致连续的相关真命题22.3 函数一致连续相关定理32.3.1函数在区间上一致连续的充分条件32.3.2函数在区间上一致连续的充要条件62.4 应用举例83.函数非一致连续123.1函数非一致连续的定义123.3 应用举例144.参考文献165.致谢17关于函数一致连续性证明的若干技巧和方法胡辉（指导老师，许绍元 教授）（湖北师范学院数学与统计学院 中国 黄石 435002）摘 要：本文综述了关于函数一致连续性证明的几个结论和定理，而且针对函数一致 连续证明的问题，给出了证明方法的流程图，该流程图对函数一致连续性证 给出了很清晰的思路，通过例题解释流程图使用方法。事实表明该流程图对 函数一致连续证明是非常有效的。相信这篇文章对大家证明函数一致连续性 具很大的指导作用。 关键词：函数；一致连续性；命题和定理；流程图；例题中图分类号:O17Uniformly Continuous Function Proof of Certain Skills and MethodsHuHui (Tutor：Xu Shaoyuan)(College of Mathematics and Statistics, Hubei Norma University, Huangshi , Hubei,435002)Abstract: In this paper, several conclusions on the proof of the Uniform Continuity Function Theorem, and a continuous function proof given flow chart of the method of proof, with the flowchart the Uniform Continuity Function card gives a very clearideas, through examples explain the flow chart to use. The fact that this flowchart is very efficient on the number of uniformly continuous proof. I believe this article we prove that the function continuity with the great guide.Keywords：Function; consistent continuity; propositions and theorems; flowchart; example关于函数一致连续性证明的若干技巧和方法 胡辉（指导老师，许绍元教授）（湖北师范学院数学与统计学院 中国 黄石 435002）1.前言本文综述了关于函数一致连续性证明的几个结论 ，并举例说明其应用。这对证明函数的一直连续性具有一定的指导作用，函数的一致连续性是数学分析中的重要概念和难点之一，大多数学分析教材对这方面的讨论较少，学生对一直连续性证明的掌握往往不够，单从定义出发证明函数的一直连续性又较困难，因此本文给出了几个证明函数一致连续的方法，并举例说明其应用，以供读者参考。本文综合了很多网上的资料以及很多相关有关函数一致连续的书籍，首先是给出了函数一致连续的定义，用语言阐述了我们在大学数学分析中所学到的函数一致连续的概念，并给出了有关函数一致连续证明的命题和定理，总结了函数一致连续的充分条件和充要条件，并给出了函数非一致连续证明的充要条件，然后是给出了证明函数一致连续的程序流程图，仔细地分析了各类函数是否一致连续，并给出了相关证明的技巧。在给出证明技巧以后，我又总结了各种证明技巧的典型例题，给出例题的同时，给出了证明的各种思路和技巧，分不同的方法和思路给出了证明，在证明过程中先给出证明思路，然后给出了证明过程，为读者可以提供很清晰的函数一致连续的证明技巧。最后，我觉得函数一致连续的证明，一切都是源自于一致连续的定义，在理解函数一致连续性的定义的过程中我们才能很清晰明了的得出其是否符合一致连续性的性质。2.函数一致连续2.1函数一致连续的定义设为定义在区间上的函数，若对任给的，存在，使得对任何，只要，就有，则称函数在区间上一致连续.2.2 证明函数一致连续的相关真命题命题2.2.1 设在区间上有有界导数，则在区间上一致连续.命题2.2.2 设为连续的周期函数，则一致连续.命题2.2.3 设在有限开区间上连续，则在上一致连续的充要条件是及存在.对于区间和区间也有类似的结果.证明：充分性：由在有限开区间上连续，有对任给的，存在正数，有.特别的，当时，有.根据柯西收敛准则知，存在.同理可证存在.必要性：因为与存在，令在上连续，从而在上一致连续，因此在上一致连续.推论 1 函数在内一致连续的充要条件是在上连续且存在.推论 2 函数在 由一致连续的充要条件：在内连续，且存在.命题2.2.4 若在上连续，且（有限），则在上一致连续.证明 因为，则对任给的，存在正数，只要，就有.又因为在上连续，则在上一致连续，即对上述，存在，对任何，有.于是对任何，只要或，就有，所以在上一致连续.对于区间和也有类似的结果，对于区间和可以用命题3和命题4判别一致连续性.命题2.2.5 设区间的右端点为，区间左端点也为，若分别在区间和上一致连续，则在上也一致连续.命题2.2.6 设在上可导，且，则在上一致连续的充要条件为有限数。对于和也有类似的结果.2.3 函数一致连续相关定理2.3.1函数在区间上一致连续的充分条件定理2.3.1.1 若在闭区间上连续，则在上一致连续.定理2.3.1.2 设在上连续，在上一致连续，且，则在上一致连续.证明：因为，则对任给的，存在正数，当时，有.又因为在上一致连续，则对上述，存在，只要，就有，因此对任何，有:，而在闭区间上一致连续.即对上述，只要，就有，取=，则当，时，有，所以在上一致连续.定理2.3.1.3 设函数在区间上可导，其导数在区间上有界，则在区间上一致连续.证明：因为在区间上有界，则存在正数，对任意，有.对任给的，取，对任何只要，则，其中在之间，所以在区间上一致连续.定理2.3.1.4 设函数在内一致连续的充分条件：在内连续，且存在且有限.证明：（1）先证在上一致连续.因为（有限），则对任给的，存在正数，使得对任意的，就有.又因为在上连续，则在上一致连续，即对上述，存在，对任何，有.于是对任何，只要或，就有，所以在上一致连续.同理可证明在上一致连续.推论1 在内一致连续的充分条件：在内连续，且与存在且有限.推论2 在内一致连续的充分条件：在内连续，且存在且有限.推论3 函数在上一致连续的充分条件是在上连续且都存在.推论4 函数在上一致连续的充分条件是在上连续且和都存在.定理2.3.1.5 若对于定义在区间上的函数和,有成立,而在上一致连续,则在上也一致连续.证明 对于任给，由于在上一致连续，所以,使得对于,只要,就有成立.故对于上述，结合已知条件有=成立，从而可知在上一致连续.推论6 若函数在区间上满足下述Lipschitz条件,即,有成立,则在上一致连续.定理2.3.1.6 设在上连续，且当时，以为渐近线，即，则在上一致连续.证明：已知，则由柯西收敛准则给的，存在正数，使得对任意的，就有, 所以，不妨设，则.取，于是，存在正数，当时有 ，又已知：在闭区间上连续，则在上一致连续，对上述，存在，当时，有，取 =，则当且时，则可同属于无论哪部分都有 ，所以在上一致连续.2.3.2函数在区间上一致连续的充要条件定理2.3.2.1 若在区间上有定义,则在上一致连续的充要条件是.证明(1)必要性:因在区间上一致连续,则对任给的,存在,对任何,只要，就有，从而，故当时，.所以.(2） 充分性：由知，对任给的,存在,对任何，只要，就有，取整数，当，时，所以函数在区间上一致连续.定理3.2.2 函数在区间上一致连续的充要条件为对任给的，对存在，当，有.定理3.2.3 函数在区间上一致连续的充要条件是：在区间上满足的两个数列必有连续函数f的一致连续性判断是结束用定义是否易证否是是否是周期函数是否否导函数是否有界是由命题2.2.2证明一致连续由命题2.2.1证明一致连续 是否能看作用命题2.2.5证明一致连续否否 是否是有限区间是是有限端点处极限是否存在I是否闭区间否否由定理2.3.1.1证明不一致连续否否端点处极限是否存在由命题2.2.4知不一致连续由命题2.2.4证明是否是A是否有限由命题2.2.4证明否 由命题2.2.6知一致连续由定义证明由命题2.2.6不一致连续否2.4 应用举例例 2.4.1： 证明：在上一致连续.证明：=，在上成立不等式 |，Lipthitz 条件，从而在上一致连续。又在连续，由Cantor定理在一致连续。综上所述，在上一致连续。应用：我们利用Cantor定理还可以得到较为实用的判定方法。设=,在上连续，则在上一致连续。证：因为，由Cauthy准则知，对| （1）又由于在有Cantor定理知在故对上述的且|，有 | （2）取，则对|均有|，有一致连续性定义，在，命题得证。例2.4.2 函数问：在上是否一致连续？解: 在上非一致连续.显然,在上连续，且.且收敛.但故.从而可知在上非一致连续.例2.4.3 用定义证明在上一致连续.证明：令=，先证在上一致连续.设且,.取，当且时，有.即证在上一致连续.例2.4.4 设，证明在上一致连续.解题思路一：若考虑到的有界性及结合三角函数性质此题可以用定义证明，但是证明过程比较繁琐.证明:对任何的 则解题思路二：若考虑函数导函数的有界性，因为 =,则由命题2.2.1方法可证.证明：由题意，因为在上连续，所以对任意的，有： .又因为= ,从而由函数一致连续的定义，对人给的，存在，使得对任何，只要，就有： ，证毕.解题思路三：假设没有考虑到导数有界，从区间考虑，是无穷区间，且含有限端点1，考虑，则由命题2.2.4方法可证.证明：因为在上连续，且，所以在上一致连续.例2.4.5 设，证明在上一致连续。分析 解题思路一：由于在上是有界的及这个函数的一致连续性，所以可以用定义证明；解题思路二：假设没有考虑到用定义证明，由于不是周期函数，考虑导数是否有界？由于对任意，有，则由命题2.2.1可证.证明:，在上，即在上有界，从而由定理2.3.1.5可证.解题思路三：若考虑导数有界有一定的困难，可按照流程图往下考虑，又因为比较容易考虑，所以可以由命题2.2.6证明.解题思路四：利用定理2.3.1.3,设，因为，在上有界，所以在上一致连续.函数在上连续，且有 .则在上一致连续.例2.4.6 设，证明在上一致连续.解题思路：由于在上是一致连续的，故考虑在上一致连续，显然不是周期函数，但也不容易求出，不妨考虑在和时的极限，由于,则由命题2.2.3和命题2.2.4可证.例2.4.7 证明在上一致连续.分析 解题思路一：由于可以考虑把区间分为，在上无界，但连续，由定理2.3.1.1可知在上一致连续，在上，可由定义证明在上一致连续，由命题2.2.5可知在上一致连续。解题思路二：若考虑函数导数，因为在上无界，可以考虑把区间分成，在上一致连续，在上有界，由命题2.2.1可知，在上一致连续，由命题2.2.5可知在上一致连续。 3.函数非一致连续3.1函数非一致连续的定义设为定义在区间上的函数，若对任给的，存在，当，时，有，则称函数在上非一致连续.3.2 函数在区间上非一致连续的判定方法关于在区间上非一致连续的判定方法，从函数的一致连续的充要条件中，可以得出其中的反问题，因此主要有以下三种方法来判定非一致连续：（1）非一致连续的定义.（2）在区间上非一致续的充要条件是与至少有一个不存在.（3）在区间上非一致连续的充要条件:在区间上的两数列，满足，必有.假设函数在区间上一致连续,则对于任意,存在,（不妨设）, 对于任意, 且当时,成立.又因为收敛,故对上述的,必存在，当,时,有,，总存在,使且,于是有: ,即 ,于是, ,当时,有,即与矛盾,所以假设不成立, 从而在区间上非一致连续.定理3.2.1 函数在区间上非一致连续的充要条件是在上存在两个数列，使，但当使，.证明 （1）必要性，因为在区间上非一致连续，则存在，取，存在数列当时，有，即当时，.（2） 充分性：若在区间上一致连续，则对任给的，存在,对任意只要，就有.又因为，则对上述，存在，对任何的，有，所以，即，这与已知矛盾.所以在区间上非一致连续.3.3 应用举例例3.3.1 证明在区间上一致连续（M为任意整数），在上非一致连续.分析 利用定义.证明 ，使得，有 .在区间上一致连续（为任意整数）.在上取两个数列,但是.所以在上非一致连续.例3.3.2 证明函数；在上非一致连续.证明 （1）在上取两个数列.,但 .由定理2.3.1.4知函数在上非一致连续.(2) 在上取两个数列. 但 由定理3.3.4知，在上非一致连续. 例3.3.3 设在上连续，且处处不为，证明在上一致连续.分析 利用闭区间连续函数的性质，同时掌握定理2.3.1.5和一致连续定义的灵活应用.证明 在上连续，则在上一致连续. 故，对任意的，只要，就有 .在上连续，所以使 ,因此，在上一致连续.【参考文献】1欧阳光中,数学分析M上海：复旦大学出版社 1992:153167.2王向东数学分析的概念与方法M上海：上海科技出版社 1994:8486.3华东师范大学数学系数学分析( 上册第三版) M 北京: 高等教育出版社，2006:8284.4舒斯会 数学分析选讲M北京: 北京大学出版社，2007:102104.5杨传林 数学分析解题思想与方法M 杭州: 浙江大学出版社，2008 :162165.6裴礼文 数学分析中的典型问题与方法M 北京: 高等教育出版社，2004:123128.7钱吉林 数学分析题解精粹M 武汉: 崇文书局，2003:8488.8刘玉链 ,傅沛仁.数学分析(第 3 版) M . 北京:高等教育出版社 ,1991: 5456. 致谢历时将近两个月的时间，我终于将这篇函数一致连续的证明论文写完了，在论文的写作过程中虽然遇到了无数的困难和障碍，但是还是在同学和老师的帮助下完成了这篇论文。通过写这篇论文，让我深深地体会