周长最小值专题(完整版-师用)

周长最小值专题（完整版 师用）A. 线段和最小值两种基本模型如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？求线段和最小值的一般步骤：选点P所在直线l为对称轴；画出点A的对称点A连结对称点A与B之间的线段，交直线l于点P，点P即为所求的点，线段AB的长就是AP+BP的最小值。基本解法:利用对称性,将“折”转“直”基础训练1. 如图11，梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD=AD=1，B=60，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为A.1 B. C. D.2试题分析：连接AC，与MN所得交点即为所求P点，因为D与A关于MN对称，的最小值即符合两点之间线段最短，所以AC与MN交点即为所求P点。因为，所以，所以，所以，此时，所以，即2. 如图4，菱形ABCD中，AB=2，BAD=60，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_。图4分析：首先分解此图形，构建如图5模型，因为E、B在直线AC的同侧，要在AC上找一点P，使PE+PB最小，关键是找出点B或E关于AC的对称点。如图6，由菱形的对称性可知点B和D关于AC对称，连结DE，此时DE即为PE+PB的最小值， 图5 图6由BAD=60，AB=AD，AE=BE知，故PE+PB的最小值为。2.如图，已知点A是半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的动点，若O的半径长为1，则AP+BP的最小值为_。P位于AB与MN的交点处，AP+BP的值最小；作A关于MN的对称点A，根据圆的对称性，则A必在圆上，连接BA交MN于P，连接PA，则PA+PB最小，此时PA+PB=PA+PB=AB，连接OA、OA、OB， B.三角形周长最小值1.福建彰州）如图4，AOB=45，P是AOB内一点，PO=10，（福建彰州）如图4，AOB=45，P是AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求PQR周长的最小值P2P1OABPRQO图4分析：点P是角内部的一个定点，要在角的两边各确定一点使这三点连成的三角形周长最小，只需将这三边的和转化为以两定点为端点的一条折线解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连结P1P2，根据轴对称性易知：OP1=OP2=OP=10，P1OP2=2AOB=90，因而P1P2=，故PQR周长的最小值为2.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1，0)，B(-3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式。（2）设（1）中的抛物线交y轴于点C，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？如果存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。(3)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，是PBC的面积最大?若存在，求出点P坐标及PBC面积的最大值;若不存在，请说明理由重点分析第（2）问，要使QAC的周长最小即AC+CQ+QA最小，由于AC长度一定，故只要CQ+QA最小时，周长最小。设抛物线的对称轴为直线MN，则可分解出图形，构建模型，要在直线MN上找点Q，使CQ+QA最小。由抛物线的对称性可知，点A、点B关于直线MN对称，连结BC交MN于点Q，只要找出点Q的位置，其坐标不难求得。3. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过A（3，3.5）、B（4，2）、C（0，2）三点，点P是x轴上的动点（1）求抛物线的解析式；（2）如图甲所示，连接AC、CP、PB、BA，是否存在点P，使四边形ABPC为等腰梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点H是题中抛物线对称轴l上的动点，如图乙所示，求四边形AHPB周长的最小值（1）利用待定系数法，将点A，B，C的坐标代入解析式即可求得；（2）根据等腰梯形的判定方法分别从PCAB与BPAC去分析，注意不要漏解；（3）首先确定点P与点H的位置，再求解各线段的长即可解：抛物线y=ax2+bx+c过A（3，3.5）、B（4，2）、C（0，2）三点，B.四边形周长最小值基本模型（一）定长不动：做双对称思路与方法1） 总有两个已知点，即一条边是定值。2） 分别做两个已知点关于xy轴的对称点，则与两坐标轴的焦点就是所求两点3） 此时，两个对称点与坐标轴上的两个点在一条直线上，即四点共线，所以最小。1. 在直角坐标系中,设A（4，-5）B（8，-3）C