电磁场与电磁波 第一章 矢量分析(包括绪论)

.,电磁场与电磁波,教师姓名：谢家兴,授课对象：2007级电信1、2、3、4班2007级电气1、2、3、4班,学时：48学时,联系方式：xjx1998Q：66824296,公共邮箱：dianciboscau密码：diancibo,.,学习建议,.,谢处方饶克谨编电磁场与电磁波焦其详王道东编电磁场理论毕德显编电磁场理论杨儒贵编电磁场与波郭辉萍刘学观编电磁场与电磁波,参考教材,应用教材,王家礼朱满座路宏敏编电磁场与电磁波,教材,参考网站,.,课程特点,理论体系严谨抽象-看不见、摸不着要求具有较深厚的数学功底和较强的空间想象能力较好的逻辑推理能力应用广泛,.,本课程与相关课程的关系,电磁场与电磁波,.,.,.,.,.,静态场应用,应用,时变场应用,阴极射线示波器,喷墨打印机,磁分离器,磁悬浮列车,矿物的分选.,变压器,蓝牙技术,卫星通信,微波炉/电磁炉,隐形飞机.,.,电磁场与波的应用,当今的无线通信、广播、雷达、遥控遥测、微波遥感、无线因特网、无线局域网、卫星定位以及光纤通信等信息技术都是利用电磁波作为媒介传输信息的。,静电复印、静电除尘以及静电喷漆等技术都是基于静电场对于带电粒子具有力的作用。,电磁铁、磁悬浮轴承以及磁悬浮列车等，都是利用磁场力的作用。,.,应用的各个领域,.,粒子偏转,.,阴极射线示波器,.,喷墨打印机,.,喷墨打印机,.,磁悬浮列车,.,第一章矢量分析,1.1场的概念1.2标量场的方向导数和梯度1.3矢量场的通量和散度1.4矢量场的环量和旋度1.5圆柱坐标系与球坐标系1.6亥姆霍兹定理,.,本章要点标量场的方向导数和梯度矢量场的通量和散度矢量场的环量和旋度亥姆霍兹定理,.,1.1场的概念,本节要点标量和矢量的概念标量场和矢量场的概念矢量代数运算等值面和矢量线,.,1.1场的概念,标量：只有大小而没有方向的量。如电压U、电荷量Q等。矢量：具有大小和方向特征的量。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。常矢：若某一矢量的模和方向都保持不变，如重力变矢：若模和方向二者至少一个发生变化，如速度矢量描述：矢量可采用有向线段、文字、单位矢量、分量表示等多种方式来描述。,矢性函数：设t是数性变量，为变矢，对于某区间Ga,b内的每一个数值t，都有一确定的矢量与之对应，则称为数性变量t的矢性函数，记为：,.,物理量：被赋予物理单位并具有一定物理意义的矢量和标量。如电压U、电荷量Q等。场：在某一空间区域中，物理量数值的无穷集合，如温度场，电位场等。标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定义一个标量场。如温度、密度等。矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定义一个矢量场。如电场、磁场、流速场等。,.,场的属性：占有一定空间，且在该空间区域内，除有限个点和表面外，其物理量处处连续场的分类按与时间的关系分：静态场/时变场，各处物理量是否随时间变化按与方向关系分：标量场/矢量场，各处物理量是标量还是矢量,.,矢量代数,空矢或零矢：一个大小为零的矢量单位矢量：一个大小为1的矢量，在直角坐标系中，用单位矢量表征矢量分别沿x，y，z轴分量的方向。,矢量的表示方法,矢量一般表示：，A为矢量的大小，为方向,.,任一矢量可以表示为：,位置矢量：从原点指向空间任一点P的矢量位置矢量能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定。,直角坐标系中点P(X,Y,Z)的位置矢量表达式为：,.,结论：若两不为零矢量的点积为零，则两矢量互相垂直,数学知识补充矢量的代数运算求和差作图法：平行四边形法则分量法：求点积（标量积、内积）公式：特点：,直角坐标系中：,.,求叉积（矢量积、外积）,结论：若两不为零矢量的叉积为零，则两矢量互相平行,公式：,特点：,直角坐标系中：,右手螺旋法则,.,数学知识补充矩阵和行列式的计算,代数余子式：的余子式前添加符号，称的代数余子式，记为，,例：求中元素的余子式和代数余子式,余子式：在n阶行列式中去掉元素所在的行和列，剩下的n-1阶行列式称为元素的余子式。记为,.,n阶行列式的计算：等于它的任意一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积的和，即,例：求,.,矩阵的乘法：设A=(aij)是ms矩阵，B=(bij)是sn矩阵，作A的第i行与B的第j列的对应元素的乘积之和,则矩阵为矩阵A与B的乘积,解：,.,方程组的矩阵表示,设矩阵,可记为Y=AX则X=A-1Y，A-1为A的逆矩阵，要求X，只需求A-1，即求A的逆矩阵,.,逆矩阵的求法,其中,为A的伴随矩阵,n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A|0,且当A可逆时，有,Aij是|A|的元素aij的代数余子式,注意此矩阵行和列的排列，转置矩阵,.,解：,.,1、计算,2、已知,求：,课后练习：,.,标量场的等值面和矢量场的矢量线,场的场图表示研究标量场和矢量场时，用“场图”表示场变量在空间逐点演变的情况具有很大的意义。对标量场等值面图表示：空间内标量值相等的点集合形成的曲面称等值面，如等温面等。等值面方程：等值线图表示：等值面在二维空间称为等值线。如等高线等。等值线方程：,.,等值面和等值线作用：帮助了解标量场在空间中的分布情况。等高线作用根据等高线及其所标出的高度，了解该地区高度2根据等高线的疏密程度可以判断该地区各个方向上地势的陡度,A点高300B点高300A点比B点陡越密就越陡,.,对矢量场矢量线表示：用一些有向矢量线来形象表示矢量在空间的分布，称为矢量线。如静电场的电力线等。特点：矢量线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同矢量线方程（直角坐标系）：,.,矢量线的作用根据矢量线确定矢量场中各点矢量的方向根据各处矢量线的疏密程度，判别出各处矢量的大小及变化趋势。,A点受到向下电场力B点受到向下电场力A点比B点受到的力大越密矢量越大,.,例1-1求数量场=(x+y)2-z通过点M(1,0,1)的等值面方程。解：点M的坐标是x0=1,y0=0,z0=1，则该点的数量场值为=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为,或：,.,例1-2求矢量场的矢量线方程解：矢量线应满足的微分方程为,从而有,c1和c2是积分常数。,.,第一堂课结束,.,矢量线与矢径的关系式：Adr=0,力线图,补充内容：关于矢量线,矢量场的表达式:矢性函数A=A(P)A=A(x,y,z)矢量线的表达式：直角坐标系中，矢径r的表达式：r=axx+ayy+azz(1)矢量线与矢径的关系式：Adr=0(2)微分方程：,直角坐标系,A=axAx(x,y,z)+ayAy(x,y,z)+azAz(x,y,z),求解,.,1.2标量场的方向导数和梯度,1.2.1标量场方向导数(标量)DirectionalDerivative,的极限存在，称此极限为函数(M)在点M0处沿l方向的方向导数，记为,.,结论：,方向导数是函数在点处沿方向对距离的变化率,表明M0处函数沿l方向增加，反之减小,若函数=(x,y,z)在点M0(x0,y0,z0)处可微，cos、cos、cos为l方向的方向余弦，则函数在点M0处沿l方向的方向导数必定存在，且为,.,证明：M点的坐标为M(x0+x,y0+y,z0+z)，由于函数在M0处可微，故,两边除以，可得,当趋于零时对上式取极限，可得,.,解：l方向的方向余弦为,而,数量场在l方向的方向导数为,点M处沿l方向的方向导数,例1-3求数量场在点M(1,1,2)处沿方向的方向导数,.,1.2.2标量场的梯度(矢量)gradient,在直角坐标系中,梯度的定义：在标量场中的一点M处，其方向为函数在M点处变化率最大的方向，其模又恰好等于最大变化率的矢量，称为标量场在M点处的梯度，用表示。,方向：函数在M点处变化率最大的方向,大小：最大变化率的矢量的模,.,哈米尔顿（Hamilton）算子定义：(读作del)是一个矢性微分算子（是一个微分符号，同时又要当作矢量看待）直角坐标系中，算子的表达式为：,补充：,.,在直角坐标系中，令,已知：,证明：标量场在任意方向l上的方向导数为,证明沿方向的方向导数最大，且,已知：,与方向一致，且,.,梯度的性质：,标量场中每一点M处的梯度垂直于过该点的等值面，且指向函数的增大方向。即梯度为该等值面的法向矢量。,在某点M处沿任意方向的方向导数等于该点处的梯度在此方向上的投影。,任一点梯度的模等于该点各方向上方向导数最大值,.,梯度运算法则,设c为一常数，u(M)和v(M)为数量场，很容易证明下面梯度运算法则的成立。,.,例1-4设标量函数r是动点M(x,y,z)的矢量r=xex+yey+zez的模，即，证明：,证明：,因为,所以,.,点M处的坐标为x=1,y=0,z=1,且,r在M点沿l方向的方向导数为,解：r的梯度为,例1-5求r在M(1,0,1)处沿的方向导数,而,所以,所以r在M点的梯度为,.,1.3矢量场的通量和散度,1.3.1矢量场的通量（flux）,一、面元矢量：面积很小的有向曲面,方向：1、开曲面上的面元2、闭合面上的面元,确定绕行l的方向后，沿绕行方向按右手螺旋拇指方向,闭合曲面的外法线方向,.,二、通量（标量）,2、穿过整个曲面S的通量,3、穿过闭合曲面S的通量,通量特性：反映某一空间内场源总的特性,通过闭合面S的通量的物理意义：0，穿出多于穿入，S内有发出矢量线的正源0，穿出少于穿入，S内有汇集矢量线的负源=0，穿出等于穿入，S内无源，或正源负源代数和为0,.,.,例1-8在坐标原点处点电荷产生电场，在此电场中任一点处的电位移矢量为：,求穿过原点为球心、R为半径的球面的电通量(见图1-4)。,图1-4例1-8图,解：,由于球面的法线方向与D的方向一致，所以,.,1.3.2矢量场的散度(标量)(divergence),.,散度的定义：,极限存在，此极限为矢量场,在某点的散度,散度的定义式：,散度的物理意义：散度表征矢量场的通量源的分布特性。散度值表征空间中通量源的密度通量密度,正源,负源,无源,若散度处处为零矢量场为无源场,.,散度的计算：,在直角坐标系下：,哈密尔顿算子,散度符合规则：,.,例1-9原点处点电荷q产生电位移矢量试求电位移矢量的散度。,解：,r=0以外空间均为无源场,.,1.3.3散度定理（高斯散度定理）,散度定理：矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭曲面的总通量。,应用：将一个封闭面积分变成等价的体积分将一个体积分变成等价的封闭面积分,.,证明：散度定理,证：将闭合曲面S包围的体积V分成许多小体积元dVi(i=1n)，计算每个体积元的小封闭曲面Si上的通量，再叠加。由散度定义有：,可得：,由于相邻体积元有一个公共表面，两体积元在公共表面上的通量等值异号，求和时互相抵消。有部分表面在S面上，这部分表面的通量没有被抵消，其总和刚好等于从封闭面S穿出的通量。因此有：,.,例1-10球面S上任意点的位置矢量为求,解：根据散度定理知,而散度为,所以,R为球面半径,.,.,.,1.4.1矢量场的环量（标量）(circulation),环量的定义：,结论：矢量的环量也是一个标量矢量的环量不等于零，则闭合曲线内必有旋涡源矢量的环量等于零，则闭合曲线内没有旋涡源,例如：在磁场中，在环绕电流的闭合曲线上的环量不等于零，其电流就是产生磁场的旋涡源,环量的性质：积分量，反映旋涡源总的分布特性,.,解：由于在曲线l上z=0，所以dz=0。,例1-11求矢量(c是常数)沿曲线(x-2)2+y2=R2,z=0的环量,返回,.,第二次课结束,.,1.4.2矢量场的旋度（矢量）(rotation),一、环量面密度的定义（标量）,此极限即为该点的环量面密度。,面元的方向：面元的方向与闭合曲线c的绕行方向成右手螺旋关系。,结论：,面元矢量与旋涡面方向垂直，环量面密度等于零,面元矢量与旋涡面方向重合，环量面密度最大,面元矢量与旋涡面方向有夹角，环量面密度总小于最大值,.,二、旋度的定义（矢量）,旋度大小：最大环量面密度的数值旋度方向：环量面密度最大时的面元的方向,引入哈密尔顿算子,在直角坐标系中,.,结论：旋度描述矢量在该点的旋涡源强度。,矢量场在P点处沿任一方向的环量面密度为旋度在方向上的投影。,若，则为无旋场，反之为有旋场,.,旋度的运算规则,直角坐标系中,2为拉普拉斯算子,.,解：矢量场的旋度,例1-12求矢量场在点M(1，0，1)处的旋度以及沿方向的环量面密度。,在点M(1，0，1)处的旋度,环量面密度,方向的单位矢量,.,例1-13在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生的电场强度为,求自由空间任意点(r0)电场强度的旋度,解：,说明点电荷产生的场为无旋场,.,1.4.3斯托克斯定理,旋度代表单位面积的环量，因此矢量场在闭合曲线c上的环量等于闭合曲线c所包围曲面S上旋度的总和，即,式中：S是闭合路径l所围成的面积。的方向与的方向成右手螺旋关系。,应用：将矢量旋度的面积分转换成该矢量的线积分；将矢量的线积分转换为该矢量旋度的面积分。,例1-11的另一种解法,.,由旋度的定义,对于有限大面积s，可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有:,斯托克斯定理的证明：,得证！,.,P19作业2009.2.19,P1916171-11,.,.,1.5圆柱坐标系与球坐标系,1.5.1圆柱坐标系,.,直角坐标系与圆柱坐标系的转换关系,直角坐标系圆柱坐标系,圆柱坐标系直角坐标系,.,对任意增量d、d、dz，P点位置沿、z方向的长度增量为：,拉梅系数（各方向的长度增量与各自坐标增量之比）为：,面积元与体积元为：,.,1.5.1球面坐