《傅淑婷老师》PPT课件

傅淑婷老師指導李重毅呂怡學彭柏諺製作,如右圖，PQRS是一個正方形，在它的四邊上畫上四個直角三角形，假設這四個直角三角形的邊長除了邊a、b、c、d相等外，其餘皆不相等，求邊e、f、g、h、i、j、k、l的正整數解。,研究動機,（一）、找出這個題目的解法。並歸納出這個題目在a為不同數時的各種狀況。（二）、歸納出如何快速由一個正整數找出和他有畢氏數對關係的其他正整數方法。（三）、探討畢氏數對的系列規則。,研究目的,研究過程（一）,這是毛西氏的公式其中，我們知道和必為這個畢氏數組的兩股，因此我們可以利用這個特性來解上面的題目。上圖所謂正方形的邊長a、b、c、d，即為四周的正三角形的一股，所以abcdor,研究過程（二）,於是，我們將a用1100的數代入。開始了一連串恐怖的計算惡夢。,無意間發現，在某些數組中出了問題以15為例,令a=15（I）無整數解,、於是我們想到一個方法來將所有的解找出來。同樣以a15為例，我們將15因數分解，1535，15的所有因數有，1、3、5、15，我們已知道1沒有整數解，而3和5各有兩組解，分別為（3，4，5）和（12，13，5），我們將（3，4，5）乘以5；將（12，13，5）乘以3，得到數組（15，20，25）和（36，39，15），所以我們研判當a15，可以找出四個不同的直角三角形。但是這個方法實在是太麻煩了，而且疑點實在是太多了，我們有以下疑問：,研究過程（三）,像這樣的題目，可以滿足畢氏定理的另一股及斜邊的正整數是否有限？當a為質數時，只有一組解嗎？,疑問,求證,令，x必是奇數，因此的因數只有1和x。所以，此時有兩種狀況：（I），則（無整數解）（II），則我們知道一個奇數必為兩個連續整數的和，所以z和y是連續正整數，只有這一組解。,證明質數只有一組解,我們再利用Excel程式，將一股代入100以內的質數，再將另一股定為1到10000的整數（因為上面我們知道解是有限的，且另一股必小於的一半，而100之中最大的質數是97，他的平方的一半為4704.5，所以將另一股定為1到10000的整數是綽綽有餘的），最後求其斜邊，經代入多個質數後，發現都只有一組解，於是得證當a為質數時，只有一組解。,Excel程式之運用,現在，回歸到報告原本的主題，到底a的性質會不會影響到解的數量？它們之間到底有什麼關係？我們使用Excel程式快速運算，算出當a為1到100的整數時，各有多少組解：,研究過程（四）,Excel表格,觀察上頁的表格，我們發現一些規律：,說明：1.1.無整數解：a為小於等於2的正整數，也就是1和2，經計算證明。2.一組解：a為質數的狀況，請參考上面第(7)點證明。a的質因數只有兩個，且至少一個為2。證明：,設，令x=2n（n為質數）（I）c、b為偶數，令c=2p，b=2q一組解（II）c、b為奇數，令c=2p+1，b=2q+1（無整數解）因此證明只有一組解。,雖然我覺得這個和上面的沒有什麼關係，但我認為還是蠻有意義的。我們利用Excel程式，同樣利用毛西氏的公式，將n代115的整數、m代150的整數，算出一大推的畢氏數，然後探討畢氏數對的系列規則。我們發現：,研究過程（五）,【三數互質，且較大的一股與斜邊必為連續正整數】即使用毛西氏公式將n代1，m代任何奇數。例：（3、4、5）、（5、12、13）、（7、24、25）、（9、40、41）。,系列一,【三數互質，且較大的一股與斜邊必相差2，且皆為奇數】即使用毛西氏公式將n代1，m代任何偶數公式：，m=偶數例：（8、15、17）、（12、35、37）、（16、63、65）、（20、99、101）.。,系列二,【當m=xn時（x為1的奇數），所得到的畢氏數對中，經約分後，最小的一個數x】例：令m=3n，求出數對（6、8、10），約分後變成數對（3、4、5）令m=5n，求出數對（10、24、26），約分後變成數對（5、12、13）令m=7n，求出數對（14、48、50），約分後變成數對（7、24、25）令m=9n，求出數對（18、80、82），約分後變成數對（9、40、41）,系列三,【(m2+n2)+(m2-n2)8】例：（12、5、13）、（20、21、29）、（28、45、53）.。,系列四,【(m2+n2)+(m2-n2)18】例：（7、24、25）、（48、55、73）、（60、91、109）.。,系列五,系列六,這次研究，其實是非