建筑力学-弯曲高职

第七章弯曲,主要内容：梁平面弯曲的概念；梁的内力和内力图；等直梁平面弯曲时的应力和强度；等直梁的变形和刚度计算。,7.1工程实例与计算简图7.1.1弯曲的工程实例,工程中有大量的杆件，它们所承受的荷载是作用线垂直于杆件轴线的横向力，或者是通过杆轴平面内的外力偶。在这些外力的作用下，杆件的横截面要发生相对的转动，杆件的轴线将弯成曲线，这种变形称为弯曲变形。以弯曲为主要变形的杆件称为梁。,(a)楼板梁(b)桥梁(c)挡水墙,7.1.2梁的平面弯曲的概念,工程中常用梁的横截面都具有一个竖向对称轴，例如圆形、矩形、工字形和T形等。,梁的轴线与横截面的竖向对称轴构成的平面，称为梁的纵向对称面。如果外力和外力偶都作用在梁的纵向对称面内，则梁的轴线将在此对称面内弯成一条曲线，这样的弯曲变形称为平面弯曲。,7.1.3梁的计算简图,为了便于分析和计算，对工程中的梁作以下三方面的简化：1）梁本身的简化。通常用梁的轴线来代表梁。2）荷载的简化。梁上的荷载一般简化为集中力、集中力偶或分布荷载。3）支座的简化。梁的支座有固定铰支座、活动铰支座和固定端支座三种理想情况。梁在两个支座之间的部分称为跨，其长度称为跨长或跨度。,（a）悬臂梁（b）简支梁（c）外伸梁这三种梁的支座反力都可由静力平衡方程求出。,7.2剪力与弯矩,已知简支梁受外力F作用，用截面法求任意横截面mm上的内力。,由Y0FAFS=0得FS=FA（FS称为剪力）剪力FS与支座反力FA组成一个力偶，故在横截面mm上必然还存在一个内力偶与之平衡，设此内力偶的矩为M，则：由MO0MFAx=0得M=FAx（M称为弯矩）,取右段为研究对象，同样可求得横截面mm上的剪力FS和弯矩M，且数值与上述结果相等，只是方向相反。,1）剪力FS的正负号：梁截面上的剪力对所取梁段内任一点的矩为顺时针方向转动时为正，反之为负图(a)；2）弯矩M的正负号：梁截面上的弯矩使梁段产生上部受压、下部受拉时为正，反之为负图(b)。,为了使同一横截面上FS和M的正负号在取梁的左段和右段进行分析时都保持一致，规定：,【例7.1】简支梁如图所示。求横截面11、22、33上的剪力和弯矩。,【解】1）求支座反力。列平衡方程可求得支座A、B处的反力为：FA=FB=10kN,2）求11截面上的剪力和弯矩。取左段为研究对象，设截面上的剪力FS1和弯矩M1均为正。,Y0FAFS1=0得FS1=FA=10kNMO0M1FA1m=0得M1=FA1m=10kNm,计算结果FS1与M1为正，表明两者的实际方向与假设相同，即：FS1为正剪力，M1为正弯矩。,3）求22截面上的剪力和弯矩。取左段为研究对象。Y0FAF1FS2=0得：FS2=FAF1=10kN10kN=0MO0M2FA4m+F12m=0得：M2=FA4mF12m=20kNm由计算结果知，M2为正弯矩。,4）求33截面上的剪力和弯矩。取右段为研究对象。Y0FBFS3=0得：FS3=FB=10kNMO0FB1mM3=0得：M3=FB1m=10kN1m=10kNm计算结果FS3为负，表明FS3的实际方向与假设相反，即：FS3为负剪力，M3为正弯矩。,从以上结果，可以总结出内力计算规律：（1）梁任一横截面上的剪力，其数值等于该截面左边（或右边）梁上所有外力在该截面方向上投影的代数和。截面左边梁上向上的外力或右边梁上向下的外力在该截面方向上的投影为正，反之为负。（2）梁任一横截面上的弯矩，其数值等于该截面左边（或右边）梁上所有外力对该截面形心之矩的代数和。截面左边梁上的外力对该截面形心之矩为顺时针转向，或右边梁上的外力对该截面形心之矩为逆时针转向为正，反之为负。利用以上规律，可以不列平衡方程，直接根据横截面左边或右边的外力来求该截面上的剪力和弯矩。,7.3剪力图与弯矩图7.3.1剪力方程与弯矩方程,在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随横截面的位置而变化。若沿梁的轴线建立x轴，以坐标x表示梁的横截面的位置，则梁横截面上的剪力和弯矩均可表示为坐标x的函数，即：,以上两式分别称为梁的剪力方程与弯矩方程。在写这两个方程时，一般是以梁的左端为x坐标的原点，有时为了方便，也可以把坐标原点取在梁的右端。,7.3.2用内力方程法绘制剪力图与弯矩图,用与梁轴线平行的x轴表示横截面的位置，以横截面上的剪力值或弯矩值为纵坐标，按适当的比例绘出剪力方程或弯矩方程的图线，这种图线称为剪力图或弯矩图。剪力图和弯矩图用来表示梁各横截面上的剪力和弯矩沿梁轴线变化的情况，通过剪力图和弯矩图可以确定梁的最大内力的数值及其所在的危险截面的位置。,剪力图：正剪力绘在x轴上方，负剪力绘在x轴下方，并标明正负号；弯矩图：正弯矩绘在x轴下方，负弯矩绘在x轴上方，即将弯矩图绘在梁的受拉侧，而不须标明正负号。用梁的剪力方程与弯矩方程绘制其剪力图和弯矩图的方法称为内力方程法，这是绘制内力图的基本方法。,【例7.2】绘制图示简支梁的剪力图和弯矩图。,【解】1）求支座反力。取梁整体为研究对象，由平衡方程，得：,2）列剪力方程和弯矩方程。取A点为坐标原点，建立x坐标轴，取坐标x处横截面的左半边梁列出剪力方程和弯矩方程：,（0xl),（0xl）,因在支座A、B处有集中力作用，剪力在此两截面处有突变，而且为不定值，故剪力方程的适用范围用开区间的符号表示；弯矩值在该两截面处没有突变，弯矩方程的适用范围用闭区间的符号表示。,3）绘剪力图和弯矩图。,剪力方程是直线，确定两个点就可以画出剪力图。弯矩方程是抛物线，至少要确定三个点才能大致画出弯矩图。注意正负号。,【例7.3】绘制图示简支梁的剪力图和弯矩图。,【解】1）求支座反力。由梁的平衡方程，得：,2）列剪力方程和弯矩方程。取A点为坐标原点，建立x坐标轴。分别列出AC和CB段的内力方程：,AC段：,（0xa),（0xa）,CB段：,（axl),（axl）,3）绘剪力图和弯矩图,【例7.4】绘制图示简支梁的剪力图和弯矩图。,【解】1）求支座反力。支座A、B处的反力FA与FB组成一力偶，与力偶Me相平衡，故：,2）列剪力方程和弯矩方程。AC和CB两段梁的内力方程分别为：,AC段：,（0xa),（0xa）,CB段：,（axl),（axl),在集中力偶作用的C截面处，弯矩有突变而为不定值，故弯矩方程的适用范围用开区间的符号表示。,3）绘剪力图和弯矩图,7.3.3弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微分关系,在例7.2中，若规定向下的分布荷载集度为负，将弯矩M(x)对x求导数，就得到剪力FS(x)；再将FS(x)对x求导数，可得到荷载集度q(x)。可以证明，在直梁中普遍存在这种关系，即：,由以上两式还可得到：,以上三式就是弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微分关系。,根据微分关系，可得剪力图和弯矩图的规律：,1）在无荷载作用的一段梁上，q（x）=0。由可知，该梁段内各横截面上的剪力FS(x)为常数，故剪力图是平行于x轴的直线。由=常数可知，弯矩M(x)为x的一次函数，故弯矩图是斜直线，倾斜方向由剪力符号决定：当FS（x）0时，弯矩图为向下倾斜的直线；当FS（x）0时，弯矩图为向上倾斜的直线；当FS（x）=0时，弯矩图为水平直线。,2）在均布荷载作用的一段梁上，q（x）=常数0。由=常数可知，该梁段内各横截面上的剪力FS(x)为x的一次函数，而弯矩M(x)为x的二次函数，故剪力图是斜直线，弯矩图是抛物线。当q(x)0（荷载向上）时，剪力图为向上倾斜的直线，弯矩图为向上凸的抛物线；当q(x)0（荷载向下）时，剪力图为向下倾斜的直线，弯矩图为向下凸的抛物线；由=FS(x)还可知，若某截面上的剪力FS(x)=0，则该截面上的弯矩M(x)必为极值。梁的最大弯矩有可能发在剪力为零的截面上。,3）在集中力作用处，剪力图出现突变，突变值为该处集中力的大小；此时弯矩图的斜率也发生突然变化，因而弯矩图在此处出现折角。4）在集中力偶作用处，弯矩图出现突变，突变值为该处集中力偶矩的大小，但剪力图却没有变化，故集中力偶作用处两侧弯矩图的斜率相同。,7.3.4用微分关系法绘制剪力图与弯矩图,利以上的规律，可以不必列出剪力方程和弯矩方程，而更简捷地绘制剪力图和弯矩图。这种绘制剪力图和弯矩图的方法称为微分关系法，其步骤如下：1）分段定形。根据梁所受外力情况将梁分为若干段，并判断各梁段的剪力图和弯矩图的形状；2）定点绘图。计算特殊截面上的剪力值和弯矩值，逐段绘制剪力图和弯矩图。,【例7.5】绘制图示外伸梁的剪力图和弯矩图。,【解】1）求支座反力。利用对称性，支座反力为：FA=FB=3qa,FB,FA,2）绘剪力图。,梁上外力将梁分成CA、AB、BD三段。,CA段：FSC=0AB段：由得剪力为零的截面E的位置x=2a。BD段：，FSD=0,CA段：MC=0AB段：BD段：MD=0,3）绘弯矩图。受向下均布荷载的作用，各段弯矩图为向下凸的抛物线。,最大剪力发生在支座A右侧和支座B左侧截面上，其值为：最大弯矩发生在跨中点截面E上，其值为Mmax=1.5qa2，该截面上的剪力FSE=0。本题也可以绘出CE段梁的剪力图和弯矩图，再利用对称性绘全梁的剪力图和弯矩图。,【例7.6】绘制图示简支梁的剪力图和弯矩图。,【解】1）求支座反力。由梁的平衡方程MA=0，MB=0，得：FA=16kN，FB=24kN梁上的外力将梁分成AC、CD、DE和EB四段。,CD段和DE段上无荷载作用，截面D上受集中力偶的作用，故CE段的剪力图为水平线。EB段上无荷载作用，剪力图为水平线。,2）绘剪力图。p.131AC段受向下均布荷载的作用，剪力为向右下倾斜的直线。,CD段上无荷载作用，且剪力为负，弯矩图为向右上倾斜的直线。DE段上无荷载作用，剪力为负，弯矩图为向右上倾斜的直线。EB段上无荷载作用，剪力为负，弯矩图为向上倾斜的直线。,3）绘弯矩图。p.132AC段受向下均布荷载的作用，弯矩图为向下凸的抛物线。,最大剪力发生在EB段各截面上，|FS|max=24kN最大弯矩发生在D点右侧截面上，Mmax=28kNm,7.4梁弯曲时的应力,剪力和弯矩是横截面上分布内力的合力。在横截面上只有切向分布内力才能合成为剪力，只有法向分布内力才能合成为弯矩。因此，梁的横截面上一般存在着切应力和正应力，它们分别由剪力FS和弯矩M所引起。,下图中简支梁的CD段横截面上只有弯矩而没有剪力，这种情况称为纯弯曲。,7.4.1纯弯曲时梁横截面上的正应力1、横截面上正应力的计算公式下面由梁在纯弯曲时变形的几何关系、应力与应变间的物理关系以及静力平衡关系推导横截面上的正应力计算公式。,1）纵向直线变形后成为相互平行的曲线，靠近凹面的缩短，靠近凸面的伸长。2）横向直线变形后仍然为直线，只是相对地转动一个角度。3）纵向直线与横向直线变形后仍然保持正交关系。,（1）变形的几何关系取截面具有竖向对称轴的等直梁，在侧面画上与轴线平行的纵向直线和与轴线垂直的横向直线。然后在梁的两端施加外力偶Me，使梁发生纯弯曲。可以观察到下列现象：,根据所观察到的表面现象，对梁的内部变形情况进行推断，作出如下假设：1）梁的横截面在变形后仍然为一平面，并且与变形后梁的轴线正交，只是绕横截面内某一轴旋转了一个角度。这个假设称为平面假设。2）设想梁由许多纵向纤维组成。变形后，由于纵向直线与横向直线保持正交，即直角没有改变，可以认为纵向纤维没有受到横向剪切和挤压，只受到单方向的拉伸或压缩，即靠近凹面纤维受压缩，靠近凸面纤维受拉伸。,根据以上假设，靠近凹面纤维受压缩，靠近凸面纤维受拉伸。由于变形的连续性，纵向纤维自受压缩到受拉伸的变化之间，必然存在着一层既不受压缩、又不受拉伸的纤维，这一层纤维称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲时，各横截面绕其中性轴转动一个角度。显然，中性轴垂直于横截面的竖向对称轴。,为变形后中性层的曲率半径，d为变形后ac和bd两横截面之间的夹角，O1O2为长度不变的中性层，即O1O2=dx。,从纯弯曲梁段中取一微段dx，如图（a）所示。图（b）是该微段纯弯曲变形的情况，其中,该式是变形的几何关系式。它表明，梁横截面上任一点处的纵向线应变与该点到中性轴的距离成正比。,距离中性层为y处一层纤维ef的线应变为：,（2）物理关系根据纵向纤维处于轴向受力的假设，当应力不超过材料的比例极限时，由胡克定律：,将变形的几何关系式代入胡克定律得：,上式尚不能用来计算正应力。因为中性轴的位置没有确定，y值无法度量。另外，式中变形后中性层的曲率半径也属未知。为此还需要利用静力学的关系来解决。,（3）静力平衡关系梁发生纯弯曲时，横截面上只有正应力，横截面上的法向分布内力dA组成一空间平行力系。因为横截面上无轴力，只有弯矩，故有：,将式代入式，得：,在上式中，因E/0，故：,上式说明，中性轴z通过横截面的形心。,式中：称为横截面对中性轴z的惯性矩。它只与截面的形状及尺寸有关，其常用单位是mm4或m4。,将式代入式，得：,由此可以得到梁弯曲变形的基本公式（中性层的曲率表达式）为：,由上式可知，EIz越大，曲率半径越大，梁弯曲变形越小，因此，用EIz表示梁抵抗弯曲变形的能力，称为梁的弯曲刚度。,将上式代入式，得：,式中：M横截面上的弯矩；y横截面上待求应力点至中性轴的距离；Iz横截面对中性轴的惯性矩。,梁纯弯曲时的正应力计算公式：使用此公式计算正应力时，通常以M、y的绝对值代入，求得的大小，再根据弯曲变形判断应力的正（拉）或负（压）。即以中性层为界，梁的凸出边的应力为拉应力，凹入边的应力为压应力。,2、横截面上正应力的分布规律和最大正应力,在同一横截面上，弯矩M和惯性矩Iz为定值，某点处的正应力与该点到中性轴的距离y成正比。在中性轴上的各点y=0，正应力=0。离中性轴最远的上、下边缘y=ymax处正应力最大，一边为最大拉应力tmax，另一边为最大压应力cmax。,由以上关系可得最大应力值为：令：则最大正应力可表示为：,Wz称为截面对中性轴z的弯曲截面系数，是与截面的形状及尺寸有关，衡量截面抗弯能力的几何量，常用单位是mm3或m3。,3、惯性矩和弯曲截面系数的计算,（1）常见简单截面和型钢截面的惯性矩对于矩形、圆形及圆环形等常见简单截面的惯性矩和弯曲截面系数，可直接由公式：计算，其结果可以直接查表。,表7.1常见简单截面的惯性矩与弯曲截面系数,型钢截面的惯性矩和弯曲截面系数可由型钢规格表查得。,（2）组合截面的惯性矩工程中许多梁的横截面是由若干个简单截面组合而成，称为组合截面。例如图所示的T形截面。在求T形截面对中性轴zC的惯性矩时，可将其分为两个矩形和，由惯性矩的定义，整个截面对中性轴zC的惯性矩应等于两个矩形对zC轴的惯性矩IzC()与IzC()之和，即：IzC=IzC()+IzC()为了方便地求出IzC()与IzC()，须用平行移轴公式。,（3）平行移轴公式设任意形状截面的面积为A，形心为C，坐标轴z、y与形心轴zC、yC分别平行，且间距分别为a、b，截面对z轴、y轴与zC轴、yC轴的惯性矩分别为Iz、Iy与IzC、IyC，可以证明：,【例7.7】求图示T形截面对形心轴zC的惯性矩。已知截面形心C的坐标yC=52mm。,【解】将T形截面分成矩形和，由表7.1与惯性矩的平行移轴公式可知，矩形和对形心轴zC的惯性矩分别为：,因此，T形截面对形心轴zC的惯性矩为：,IzC=IzC()+IzC()=2.88106mm4+4.76106mm4=7.64106mm4,横力弯曲时梁横截面上有正应力和切应力。由于切应力的存在，梁变形后横截面不再保持为平面。按平面假设推导的纯弯曲梁横截面上正应力计算公式，用于计算横力弯曲梁横截面上的正应力会产生一些误差。但是当梁的跨度和横截面高度的比值l/h5时，其误差非常小，纯弯曲时横截面的正应力计算公式也适用于横力弯曲。,7.4.2横力弯曲时梁横截面上的正应力,在横力弯曲时，如果梁的横截面对称于中性轴（如矩形、圆形截面等），则梁的最大正应力发生在最大弯矩（绝对值）所在横截面的边缘各点处，且最大拉应力和最大压应力的值相等。梁的最大正应力为：,如果梁的横截面不对称于中性轴（如T形截面等），由于y1y2，则梁的最大正应力发生在最大正弯矩或最大负弯矩所在横截面上的边缘各点处，且最大拉应力和最大压应力的值不相等。,【例7.8】求图（a）、（b）所示T形截面梁的最大拉应力和最大压应力。已知T形截面对中性轴的惯性矩Iz=7.64106mm4，且y1=52mm。,【解】1）绘制梁的弯矩图。p.140最大正弯矩发生在截面C，MC=2.5kNm;最大负弯矩发生在截面B，MB=4kNm。2）计算C截面上的最大拉应力和最大压应力。,3）计算B截面上的最大拉应力和最大压应力。,综上可知，梁的最大拉、压应力分别为：tmax=tC=28.8MPa，cmax=cB=46.1MPa,7.4.3梁横截面上的切应力,梁在横力弯曲时，横截面上有剪力FS，相应地在横截面上有切应力。1、矩形截面梁横截面上的切应力,矩形截面高为h，宽为b，截面上的剪力FS沿截面的对称轴y作用。根据切应力互等定理，在横截面上靠近两侧面边缘的切应力方向一定平行于横截面的侧边。,由矩形截面的特点对横截面上切应力分布作如下假设：（1）横截面上各点处的切应力方向都平行于横截面的侧边；（2）横截面上距中性轴等距离的各点处切应力大小相等。,由此，可得横截面上切应力计算公式：,式中：FS横截面上的剪力；横截面上所求切应力点所在横线以外部分面积A对中性轴z的静矩；Iz横截面对中性轴的惯性矩；b横截面的宽度。,计算切应力时，FS、均使用绝对值，的指向与剪力FS的指向相同。,为研究横截面上切应力沿截面高度的变化规律，先计算横截面上距中性轴y处的切应力。该处横线以外的面积A对中性轴z的静矩：,由此可知，矩形截面梁横截面上的切应力沿截面高度按抛物线规律变化。在中性轴y=0处：在上、下边缘y=h/2处：=0,式中：A=bh矩形截面的面积。由此可知，矩形截面梁横截面上的最大切应力值等于截面上平均切应力值的1.5倍，最大切应力发生在中性轴上各点处。,静矩代入切应力计算公式:,2、工字形截面梁横截面上的切应力工字形截面由上下翼缘和中间腹板组成图(a)。腹板是狭长矩形，所以腹板上的切应力可按矩形截面的切应力计算公式进行计算，其切应力分布如图(b)。翼缘上的切应力数值很小，一般忽略不计。,3、圆形截面梁和薄壁圆环形截面梁横截面上的切应力,圆形截面和薄壁圆环形截面分别如图(a)、(b)所示。梁横截面上的最大切应力均发生在中性轴上各点处，并沿中性轴均匀分布，其值分别为,圆形截面梁：,薄壁圆环形截面梁：,式中：FS横截面上的剪力；A横截面面积。,根据以上介绍，全梁最大切应力max一定位于最大剪力FSmax所在的横截面上，而且一般发生在该截面的中性轴上各点处。对于不同形状的截面，max的统一表达式为：,式中：中性轴一侧的面积对中性轴的静矩；b横截面上中性轴处的宽度。,【例7.9】已知图示梁横截面上的剪力为FS=50kN，计算横截面上a、b点处的切应力。,【解】1）a点处的切应力。因a点位于中性轴上，故：,2）b点处的切应力。横截面对z轴的惯性矩为：,b点所在横线以外部分面积对z轴的静矩为：,b点处的切应力为：,【例7.10】图示矩形截面简支梁，受均布荷载q作用。求梁的最大正应力和最大切应力，并进行比较。,【解】绘制梁的剪力图和弯矩图。由图可知最大剪力和最大弯矩如下,梁的最大正应力和最大切应力分别为：,最大正应力和最大切应力的比值为：,从本例可以看出，梁的最大正应与最大切应力之比的数量级约等于梁的跨度l与梁的高度h之比。因为一般梁的跨度远大于其高度，所以梁内的主要应力是正应力。,7.5梁弯曲时的强度计算,在一般情况下，梁横截面上同时存在着正应力和切应力。最大正应力发生在最大弯矩所在截面上离中性轴最远的边缘各点处，此处切应力为零，是单向拉伸或压缩。最大切应力发生在最大剪力所在截面的中性轴上各点处，此处正应力为零，是纯剪切。因此，应该分别建立梁的正应力强度条件和切应力强度条件。,7.5.1梁的强度条件,1、梁的正应力强度条件,梁的正应力强度条件为：,对于等截面直梁，可改写为：,式中：材料的许用正应力，其值可在有关设计规范中查得。对于抗拉和抗压强度不同的脆性材料，则要求梁的最大拉应力tmax不超过材料的许用拉应力t，最大压应力cmax不超过材料的许用拉应力c，即：,2、切应力强度条件,梁的切应力强度条件为：max对于等截面直梁，上式改写为：,式中：材料的许用切应力，其值可在有关设计规范中查得。,7.5.2梁的强度计算,对于一般的跨度与横截面高度的比值较大的梁，其主要应力是正应力，通常只需进行梁的正应力强度计算。对于薄壁截面梁，如自行焊接的工字形截面梁等；对于最大弯矩较小而最大剪力却很大的梁，如跨度与横截面高度比值较小的短粗梁、集中荷载作用在支座附近的梁等；对于木梁，由于木材顺纹的抗剪能力很差，当截面上切应力很大时，木梁也可能沿中性层发生剪切破坏。这些情况还需进行切应力强度计算。,【例7.11】支承在墙上的木栅的计算简图如下图。已知材料的许用应力=12Pa，=1.2MPa。试校核梁的强度。,【解】1）绘制剪力图和弯矩图。根据梁的剪力图和弯矩图可知最大剪力和最大弯矩分别为：FSmax=9kN，Mmax=11.25kNm,满足切应力强度条件。,2）校核正应力强度。梁的最大正应力为：,满足正应力强度条件。3）校核切应力强度。梁的最大切应力为：,【例7.12】如图所示由45c号工字钢制成的悬臂梁，长l=6m，材料的许用应力=150MPa，不计梁的自重。试按正应力强度条件确定梁的许用荷载。,【解】绘制弯矩图，最大弯矩发生在梁固定端截面上，其值Mmax=Fl。查型钢规格表，45c号工字钢的Wz=1570cm3。由梁的正应力强度条件：,可得：,【例7.13】图示工字形截面外伸梁，已知材料的许用应力=160MPa，=100Pa。试选择工字钢型号。,【解】1）绘制剪力图和弯矩图。由图可知，最大剪力和最大弯矩分别为：FSmax=23kNMmax=51kNm2）按正应力强度条件选择工字钢型号。,于是,可满足切应力强度条件，故选22b号工字钢。,查型钢规格表，选用22b号工字钢，其Wz=325cm3，可满足要求。3）按切应力强度条件进行校核。查型钢规格表，得22b号工字钢如下数据：IzSz=18.7cm，b=9.5mm,7.6提高梁弯曲强度的主要措施,梁的强度主要取决于梁的正应力强度条件，即：,由此条件可以看出，欲提高梁的强度，一方面应降低最大弯矩Mmax，另一方面则应提高弯曲截面系数Wz。,7.6.1合理布置梁的支座和荷载,当荷载一定时，梁的最大弯矩Mmax与梁的跨度有关，因此需合理布置梁的支座。图（a）中受均布荷载q作用的简支梁最大弯矩为0.125ql2，图（b）若将梁两端支座向跨中方向移动0.2l，则最大弯矩变为0.025ql2，仅为前者的1/5。,若结构允许，应尽可能合理布置梁上荷载。例如在跨中作用集中荷载F的简支梁图(a)其最大弯矩为Fl/4，若在梁的中间安置一根长为l/2的辅助梁图(b),则最大弯矩变为Fl/8，只有前者的一半。,7.6.2采用合理的截面,梁的最大弯矩确定后，梁的弯曲强度取决于弯曲截面系数。梁的弯曲截面系数Wz越大，正应力越小。因此，在设计中，应当力求在不增加材料（用横截面面积来衡量）的前提下，使Wz值尽可能增大，即应使截面的Wz/A比值尽可能大，这种截面称为合理截面。,1、将材料配置于离中性轴较远处梁的正应力沿横截面高度呈线性分布，最大值在远离中性轴的边缘各点处。当最大正应力达到材料的许用应力时，中性轴附近各点处的正应力值仍然很小，而且它们离中性轴较近，承担弯矩也较小，即中性轴附近的材料没有得到充分的利用。因此，应将较多材料配置在远离中性轴的部位，就能提高材料的利用率，从而提高梁的抗弯能力。,例如宽为b、高为h（hb）的矩形截面梁，如将截面竖置图(a)，则Wz1=bh2/6，而将截面横置图(b)，则Wz2=hb2/6。因为hb，所以Wz1Wz2。说明矩形截面竖置时，较多材料远离中性轴，弯曲截面系数较大，而横置时，多数材料都在中性轴附近，弯曲截面系数较小。显然，竖置比横置合理。,若将竖置矩形横截面中性轴附近材料取出，移置到距中性轴较远的部位，形成工字形截面或箱形截面图，就更合理。,2、对于脆性材料，采用不对称于中性轴的横截面对于抗压强度大于抗拉强度的脆性材料，如果采用对称于中性轴的横截面，则由于弯曲拉应力达到材料的许用拉应力t时，弯曲压应力没有达到许用压应力c，受压一侧的材料没有充分利用。因此，应采用不对称于中性轴的横截面图(a)，并使中性轴偏向受拉的一侧图(b)。理想的情况是满足下式:,7.6.3采用变截面梁,对于等截面梁，当梁危险截面上危险点处的应力值达到材料的许用应力时，其他截面上的应力值均小于许用应力，材料没有充分利用。为提高材料的利用率、提高梁的强度，可以设计成各截面应力值均同时达到许用应力值，这种梁称为等强度梁。其弯曲截面系数Wz，可按下式确定：,等强度梁是最合理的结构形式，但由于等强度梁外形复杂，加工制造困难，所以工程中一般只采用近似等强度的变截面梁。,（a）阳台或雨篷下的挑梁（b）上下增添盖板的钢板梁（c）厂房中的屋盖大梁（d）鱼腹式吊车梁,7.7梁的极限弯矩,前面讨论的都是对危险点进行的强度计算，这种方法对于横截面上应力均匀分布的构件，例如轴向拉压构件，是完全正确的。因为一点失效，其余各点也同时失效。对于横截面上应力非均匀分布的构件，例如扭转和弯曲构件，若选用脆性材料，对危险点进行强度计算也还符合实际情况，因为一点断裂失效，会很快向相邻各点扩展，形成构件整体断裂。对于横截面上应力非均匀分布的构件，若选用塑性材料，当危险点处的材料达到屈服时，其余各点处的应力均小于屈服应力，不会很快导致整个危险截面屈服。因此，构件仍然能继续承受荷载。工程中为了充分利用材料，对于塑性材料采用整个危险截面屈服作为失效的判据，建立极限设计准则。,7.7.1理想弹塑性体,极限设计是针对由塑性材料制成的构件在承受弯曲变形时的一种更为合理的设计方法。因为需要考虑塑性材料在其应力超过弹性极限时的行为，所以前面所作的材料线弹性假设已不能完全适用。因此，为研究的方便，对变形体作如下的假设：当应力低于屈服极限S时，材料服从胡克定律E，而当应力达到S时，其值将维持S不变，线应变将无限增长。基于此假设建立的变形体模型称为理想弹塑性体。,7.7.2极限弯矩和塑性铰,下图所示简支梁，随着梁上荷载F的增大，梁的最大弯矩Mmax也不断增大，梁跨中点横截面上的正应力分布将经历三个阶段：,（1）弹性阶段。当Mmax不大时，梁的横截面上的最大正应力max小于材料的屈服极限S时，横截面上全都是弹性区域，正应力沿横截面高度呈直线分布。,（2）弹塑性阶段。当Mmax增大到MS时，横截面上的最大正应力max=S时，截面的边缘处出现了塑性区域，而其他处因正应力仍小于而处于弹性区域。此时相应的弯矩MS=SWz就是按危险点进行强度计算时梁的最大弯矩值。,如继续增大荷载（弯矩），塑性区域将逐渐向截面内部扩展，横截面分成两个区域，中性轴附近为弹性区域，上下边缘附近为塑性区域。,（3）塑性阶段。再继续增大荷载（弯矩），塑性区域逐渐扩大，弹性区域逐渐缩小。当Mmax增大到Mu时，塑性区域扩大至整个截面时，截面上各点处的正应力也全部达到了S。,横截面上的正应力全部达到屈服极限S时的弯矩Mu称为极限弯矩。在弯矩达到极限弯矩时，整个截面为塑性区域，此时即使弯矩不再增大，变形也将继续进行。梁将围绕该截面的中性轴发生转动，如同在该截面处出现了一个铰，通常把这种因截面上的应力全部达到极限弯矩时而产生的铰称为塑性铰。由于塑性铰的存在，梁成为了几何形状可变的结构，不能再继续工作，该状态称为极限状态。,7.8梁的变形及刚度计算7.8.1挠度和转角,取变形前梁的轴线为x轴，与轴线垂直向下的轴为w轴。在平面弯曲的情况下，梁的轴线AB在xw平面内弯成一条光滑而又连续的曲线AB，称为梁的挠曲线。梁的变形可用挠度和转角两个位移量来表示。,1）挠度。梁任一横截面的形心在垂直于轴线方向的线位移，称为该横截面的挠度，用w表示。规定沿w轴正向（即向下）的挠度为正，反之为负。,2）转角。梁任一横截面绕其中性轴转过的角度，称为该横截面的转角，用表示。根据平面假设，梁变形后的横截面仍保持为平面并与挠曲线正交，因而横截面的转角也等于挠曲线在该截面处的切线与x轴的夹角。规定以顺时针转向时为正，反之为负。,梁横截面的挠度w和转角都随截面位置x而变化，是x的连续函数，即w=w(x)=(x)上两式分别称为梁的挠曲线方程和转角方程。在小变形条件下，由于转角很小，两者之间存在下面的关系：即挠曲线上任一点处切线的斜率等于该处横截面的转角。因此，研究梁的变形关键就在于找出梁的挠曲线方程w=w(x)，便可求得梁任一横截面的挠度w和转角。,7.8.2挠曲线的近似微分方程,在前面推导纯弯曲梁的正应力公式时，曾得到用中性层曲率半径表示的弯曲变形公式，即：,在横力弯曲时，当梁的跨度和横截面的高度的比值l/h10时，剪力对变形的影响可以忽略不计，故上式仍可采用。此时，弯矩M和相应的曲率半径均为x的函数，上式变为：,在小变形条件下，转角是一个很小的量，故1，于是上式可简化为：,将上式代入式，得：,由高等数学可知，平面曲线w=w(x)上任一点的曲率为：,使梁向下凸的M(x)为正，二阶导数；使梁向下凸的M(x)为正，二阶导数。为了保持符号一致，公式的右边应取负号，即：,上式称为梁的挠曲线近似微分方程。对其进行积分，可得转角和挠度w。,7.8.3用积分法求梁的变形,对于等直梁，弯曲刚度EI为常数，对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程为：,再积分一次得挠曲线方程为：,式中：C、D为积分常数，可利用梁上某些横截面的已知位移来确定。例如，在固定端处的挠度w=0，转角0。在铰支座处的挠度w=0。这种条件称为边界条件。,当梁的弯矩方程必须分段建立时，挠曲线微分方程也应该分段建立。在这种情况下，经过积分后，积分常数增多，除利用边界条件确定积分常数外，还应根据挠曲线为连续光滑这一特征，利用分段处有相同挠度和相同转角的条件来确定积分常数。这种条件称为连续条件。积分常数确定之后，将其代入转角方程和挠曲线方程可得到梁的转角方程和挠度方程，从而求得任一横截面的转角和挠度。对梁的挠曲线近似微分方程进行积分求梁的变形的方法称为积分法。,【例7.14】图示悬臂梁AB，自由端B受集中力F作用。求梁的挠曲线方程和转角方程，并计算梁的最大挠度和最大转角。设弯曲刚度EI为常数。,【解】1）列弯矩方程和挠曲线近似微分方程。梁的弯矩方程为：,(0xl),挠曲线近似微分方程为：,2）对微分方程进行积分并确定积分常数。,转角方程为：,挠曲线方程为：,在固定端A处，横截面的转角和挠度均为零，即：x=0，=0；w=0将这两个边界条件分别代入方程，得：C=0，D=0,3）求转角方程和挠曲线方程。将积分常数C和D的值代入方程，得转角方程和挠曲线方程分别为：,4）计算最大转角和最大挠度。有了转角方程和挠曲线方程，可以利用高等数学中求极值的方法得到最大转角和最大挠度。但一般地，根据梁的受力、边界条件以及弯矩的正负就能绘出挠曲线的大致形状，从而确定最大转角和最大挠度发生的位置。本例中梁的挠曲线应为一上凸曲线，并在固定端处与梁变形前的轴线相切。由此可知，梁的最大转角和最大挠度都发生在自由端B处。,将x=l代入方程，得：,(),B为正值，说明横截面B顺时针方向转动；wB为正值，说明横截面B的形心向下移动。,