第1讲热学_ 分子统计力学、统计初步.学生版

高二物理竞赛 第 1 讲热学、分子统计初步本讲导学与力学不同，热学所研究的对象是无数分子的集合，力学中所用的解析方法是不适用的。 相反，我们采用了一种统计的方法，着重研究大量粒子的统计行为。 为了研究方便，我们抽象出了“理想气体”的模型，这是热学研究的基础，类似于力学中的 质点。本讲主要介绍理想气体的性质及状态方程的应用。知识点睛一、 麦克斯韦波尔兹曼分布律 我们考虑一个基本问题，一个粒子有两种状态可以待着，一个能量比另一个高 E ，那么在温度为 T 热平衡的时候，粒子更喜欢待在哪里呢？实验发现概率之比为 e- E /kT ，（其中k = R / NA ，等会你就会发现为什么）粒子更喜欢待在能量低的位置（就像北大教学楼里大家更喜欢待在低楼层一样）。我们当然可以用更加普适和高深的理论来解释这个现象。我们 暂时把这个当作定理用好了只考虑动能的时候，就出现了麦克斯韦速度分布律。自由的经典的速度为 v 的粒子数10密度会正比于 e- Ek / kT 。用一个系统地方式描述就是：速度分布在 (v , v+ dv ) ，xxx(vy , vy + dvy ) ， (vz , vz + dvz ) 范围内的概率正比于（想不明白为什么要这么表达的同学参考秋季班第 1 讲盲人打靶），其中 A 是一个常数，可以证明 A = (m2p kT)3/ 2 ，而且可以证明，任意小的对麦克斯韦速度分布的偏差出现的可能性都是非常小的（不是无穷小）。dvxdvydvz 相当于在 vx - vy - vz 做为坐标轴的空间中的一个小立方体的体积，一个粒 子速度不同相当于把这个粒子处于这个空间中的不同位置。有时候会问粒子速度大小处于 v 到 v + dv 之间的概率为多少？这相当于问半径 v 与半径 v + dv 的两个球之间夹的球壳内有多少粒子。于是我们可以定义速率分布：f (v)dv = f (v)dV = 4p v2 f (v)dv只考虑不同位置的粒子势能不同的时候，就会发现粒子待在势能低的地方概率更大。这个被叫做波尔兹曼分布。 二、能均分定理气体处于平衡态时，分子任何一个自由度的平均能量都相等，均为 kT /2 。这就是能量按自 由度均分定理，简称能均分定理。这样可以理解不同形态分子的比热是不一样的，理想气体内能方程 对于原单原子分子气体 i = 3 ，对于双原子分子气体 i = 5，对多原子分子 i = 6 。三、理想气体状态方程： 推论：1）道尔顿分压定律：混合理想气体的总压强，等于各种组分气体的分压强之和即p = p + p + p + + p 分压强是指这部分气体在与混合气体体积相同的条件下单独存在123n时所产生的压强这是因为，压强的本质是器壁对气体分子的作用。因此，混入其他气体是 不影响原有气体对器壁造成的压强的。2）混合气体的状态方程：设有 n 种温度均为 T 的理想气体，它们的摩尔数分别为 n1= m1 ，m1n = m2 ， n= mn 每种组分的状态方程为 p V = n RT(i = 1，2， ，n) 。若 n 种理想mm2nii2n气体温度不同，分开时状态分别为 ( p ，V ，T ) ，( p ，V ，T ) ，(P ，V ，T ) ，将它们111222nnn混合后的状态为（ p ， V ， T ），则有 p1V1 + p2V2 + + pnVn = (n )R = pV 若将两部分iT1T2TnT气体混合后再分成两部分，根据气体状态变化前后摩尔数不变，即 n = n ，应有p1V1 + p2V2 = p1 V1 + p2 V2 T1T2T1 T2 运用理想气体状态方程解题时，通常会通过力学平衡来获得一个 p-V 关系，再联合气体 状态方程就可以解出具体的压强和体积。四、表面张力在液面处，由于液体分子与气体分子的作用力远远小于液体内部分子之间的作用力，一 次在液面附近的液体分子会受到指向液体内部的合力，致使液体表面有缩小的趋势。对比重 力势能，我们可以看出，液体的表面具有表面能，以表面积为 0 作为其零点，则表面能的大 小与表面积成正比，其对应的力即表面张力。表面张力总是垂直于液面分界线，且大小与分 界线成正比。五、蒸汽在气液共存的环境中，气体分子撞击到液面时有一定的概率被液体吸收而变成液体，同例题精讲时液体内部的分子也有一定的几率从液面跑出液体，变为气体。因此，在液面附近存在着动 态平衡。也就是说，在一定的温度下，蒸汽的压强不能无限提高，其上限称为这个温度下的 饱和气压。对于水蒸汽来讲，某温度下水蒸气的压强与该温度水蒸气的饱和气压之比成为湿 度。【例1】 分别利用受力平衡和珀尔兹曼分布求解，等温大气模型中，气压与高度 h 关系。已 知地面大气温度为 T ，大气压为 p0 ，大气摩尔质量 m ，重力加速度 g 。【例2】 一个长圆柱体箱子，半径为 R 高 h R ，忽略重力。将其绕着一端以角速度w 旋 转，发现在中心处的压强为 p ，求解在 r = R 处的压强。【例3】 金属铀是制造原子弹的一种重要元素，然而自然界大多数铀都是不能进行核反应的 238U，可用的 235U 极少。由于二者的化学性质完全相同，利用化学方法分离是一件非常 困难的事情。目前，一种可行的方法是利用二者的分子量不同，通过物理的方法进行分 离。首先，把铀提取成六氟化铀 UF6 蒸汽使其通过一个小孔泄流，由于分子量的不同， 235UF6 泄流出来的多一些，通过多级泄流即可获得浓度较高的 U235。请问，经过多少级 泄流，可以将 0.5%的 235UF6 浓缩至 97%？【例4】 我们用一个简单的模型来理解饱和蒸气压随温度的关系。所谓饱和是指气体分子进 入液体和液体进入气体的速度一样。气体中分子撞到液面就直接被吸收了，而由于液体 表面有势垒，液体中分子动能超过 E 的分子才能飞入气体（这也就解释了为什么蒸发 会吸热），而动能超过 E 的分子概率近似正比于 e- E /kT 。由此估算饱和蒸气压与温度关 系。已知在100C时，饱和蒸气压为 P0 。【例5】 由固态导热材料做成的长方体容器，被一隔板等分为两个互不连通的部分，其中分 别贮有相等质量的干燥空气和潮湿空气，在潮湿空气中水汽质量占 2%。（1）若隔板可自由无摩擦地沿器壁滑动，试求达到平衡后干、湿空气所占体积的比值；（2）若一开始采用能确保不漏气的方式将隔板抽出，试求达到平衡后容器内气体的压强 与未抽出隔板时干、湿空气各自的压强这三者的比值（设干、湿空气均可视为理想气体）。KrXe【例6】 如图所示，三个绝热的、容积相同的球状容器 A、B、C，用带有阀门 K1、K2 的绝 热细管连通，相邻两球球心的高度差 h = 1.00 m 初始时，阀门是关闭的，A 中装有 1mol 的氦（He）,B 中装有 1mol 的氪（Kr）,C 中装有 lmol 的氙（Xe），三者的温度和压强都 相同气体均可视为理想气体现打开阀门 K1、K2，三种气体相互混合，最终每一种 气体在整个容器中均匀分布，三个容器中气体的温度相同求气体温度的改变量已知 三种气体的摩尔质量分别为:Hem= 4.00310-3 kg mol-1m= 83.810-3 kg mol-1m= 131.310-3 kg mol-1在体积不变时，这三种气体任何一种每摩尔温度升高 1K，所吸收的热量均为 3R / 2 ， R 为 普适气体常量【例7】 计算一个柱形和球形肥皂泡内外压强差。表面张力系数s ，半径 r 。肥皂泡是双面 的。【例8】 假设水银和玻璃是完全不浸润的。某人把体积为 V 水银放在两块玻璃板之间，用 巨大的压力 F 把水银压成饼。求饼的面积 S 。水银表面张力为s 。重力的效果可以忽 略。【例9】 如图所示，一球形肥皂泡，其中充有空气（不计空气质量），泡外为真空，平衡时 其半径为 r0，由于受到扰动，肥皂泡作微小的径向膨胀、收缩振动，求其振动周期.(设 振动过程中泡内空气温度保持不变，已知肥皂泡的质量为 m，肥皂膜的表面张力系数为 )【例10】 直立的长 U 型管一端封闭，另一端开口，封闭端（如图所示）水银柱上方空 气柱长 h = 24cm ，左端盛满水银，温度 T0 = 273k 。现加热空气柱，然后冷却，使之恢 复到原来的温度 T0 ，这时左边水银面在管口以下 H = 6cm 处，试求加热过程中气柱达 到的最高温度。（ p0 = 76cmHg ）h【例11】 一根截面均匀、不变形的 U 型细塑料管，两臂长分别为 l 0=20.0 厘米和 h0=180.0 厘米，竖直放置，如图所示管内灌有水银，水管上端开口，短管上端封闭，管内封着 长 l =10.0 厘米的空气柱已知长管及横管中的水银柱长度分别为 h=60.0 厘米和 x=10.0 厘米，大气压强 p0=76.0 厘米高水银柱，现将此管绕通过长管拐角点 A 且与塑料管所在 平面相垂直的轴线沿逆时针方向缓慢地转过 180，然后将长管的开口端迅速截去 50.0 厘米，求与管内封闭的空气相接触的水银面的最后位置【例12】 如图所示，粗细均匀的 U 形玻璃管竖直放置，当温度为为 27时，封闭在管 内的空气柱 AB 长为 30cm，BC 长为 10cm,管内水银柱水平部分 CD 长为 18cm，竖直部 分 DE 长为 15cm，外界大气压为 75cmHg，当气体温度逐渐升高时，要使水银柱不在水 平管内 BD 内，温度的最小值为多少？（设右管足够长，且水银不从管口掉落）。【例13】 一圆柱容器倒入容积一半的水银，把口封死，然后用一根虹吸管灌满水银后插 到容器中，求最终水银停止流出时，容器内水银下降了多少？已知大气压 75cmHg。（不 计温度变化）【答案】10cm【例14】U 形管的两支管 A、B 和水平管 C 都是由内径均匀的细玻璃管做成的，它们的A内径与管长相比都可忽略不计己知三部分的截面积分别为S = 1.0 10-2 cm2 ，-2SB = 3.0 10cm2， S = 2.0 10-2cm2，在 C 管中有一段空气柱，两侧被水银封闭当C温度为 t1 = 27 时，空气柱长为 l 30 cm（如图所示），C 中气柱两侧的水银柱长分别 为 a 2.0cm，b 3.0cm，A、B 两支管都很长，其中的水银柱高均为 h 12 cm大气压强保持为p0 76 cmHg 不变不考虑温度变化时管和水银的热膨胀试求气柱中空气温度缓慢升高到 t 97时空气的体 积【例15】薄膜材料气密性能的优劣常用其透气系数来加 以评判对于均匀薄膜材料，在一定温度下，某种气体通过薄膜渗透过的气体分子数N = k DPSt ，其中 t 为渗透持续时间，S 为薄膜的面积，d 为薄膜的厚度， DP 为薄膜d两侧气体的压强差k 称为该薄膜材料在该温度下对该气体的透气系数透气系数愈小， 材料的气密性能愈好 图为测定薄膜材料对空气的透气系数的一种实验装置示意图EFGI 为渗透室，U 形管左管上端与渗透室相通，右管上端封闭；U 形管内横截面积 A0.150cm2实验中，首先测 得薄膜的厚度 d =0.66mm，再将薄膜固定于图中 CC 处，从而把渗透室分为上下两部分，上3面部分的容积V0 = 25.00cm ，下面部分连同 U 形管左管水面以上部分的总容积为 V1，薄膜能够透气的面积S =1.00cm2打开开关K1、K2与大气相通，大气的压强P11.00atm，此时U 形管右管中气柱长度 H = 20.00cm ，V1 = 5.00cm 关闭 K1、K2 后，打开开关 K3，对渗透室上部分迅速充气至气体压强 P0 = 2.00atm ，关闭 K3 并开始计时两小时后， U 形管左管 中的水面高度下降了 DH = 2.00cm 实验过程中，始终保持温度为 0o C 求该薄膜材料在0o C 时对空气的透气系数（本实验中由于薄膜两侧的压强差在实验过程中不能保持恒定， 在压强差变化不太大的情况下，可用计时开始时的压强差和计时结束时的压强差的平均值DP 来代替公式中的 DP 普适气体常量 R = 8.31Jmol-1K-1，1.00atm = 1.013105Pa）P1 V1K1P0 V0K3CCK2 课内课外美女物理学家系列之一 吴健雄吴健雄，美籍华人，核物理学家，素有“东方居里夫人”之称。在 衰变研究领域具有世 界性的贡献，曾获美国最高科学荣誉国家科学勋章。大概是物理女皇吴健雄王冠上的宝石太璀灿夺目，以致她 的先生袁家骝博士显得些微黯淡了。其实袁家骝也是享有国际 声誉的物理学家，在高能物理、高能加速器和粒子探测系统研 究上卓有成就。他们是本世纪华人中最知名的一对伉俪，人称 神仙眷侣。袁家骝出身显赫，是袁世凯“二皇子”袁克文的公子。袁家 骝幼时在老家河南安阳读书，十三岁时到天津上南开中学，后 入燕京大学攻读物理。在燕大的校长司徒雷登的帮助下，得奖 学金赴美深造。袁家骝虽出身世家，但为人有品，他谦和、诚恳，待人有礼，广结善缘。他自小聪明伶 利，才华横溢。十三岁时作一首咏雪的五言绝句：“入夜寒风起，彤云接海横。纷纷飘六出， 路静少人行。”受其父赏识。袁家骝多才多艺，对平剧、国乐都有兴趣，也会拉二胡，到美 国还把二胡带在身边，兴时一起，便把教我如何不想他、 毛毛雨等歌曲谱写下来自 娱。他们的相识，缘于一位在美长大的华裔 Victor 杨。1936 年 8