ch3 随机变量及其分布

CH3随机变量及其分布,下一张,主页,退出,上一张,定义对于随机试验，若其试验结果可用一个取值带有随机性的变量来表示，且变量取这些值的概率是确定的，则称这种变量为随机变量。常用X、Y等表示,随机变量的概率分布(probabilitydistribution)随机变量X的取值或取值范围和取这些取值的概率称为随机变量X的概率分布.,下一张,主页,退出,上一张,下一张,主页,退出,上一张,随机变量的概率分布1.离散型随机变量的概率分布2.连续型随机变量的概率分布,离散型随机变量x:随机变量X的取值仅为有限或可列无穷多个数值,即可以一一列举.设离散型随机变量X的取值为:X1,X2,Xk,及其对应的概率为:p1,p2,pk,下一张,主页,退出,上一张,离散型随机变量x的分布律:_Xx1x2xk_pp1p2pk_或P(X=xk)=pkk=1,2,下一张,主页,退出,上一张,离散型随机变量x的分布律的基本性质:1.pk02.pk=1k=1,2,下一张,主页,退出,上一张,示例:掷一枚骰子,观察其出现的点数设随机变量X表示出现的点数基本事件X=k,k=1,2,3,4,5,6离散型随机变量X的分布律:P(X=k)=1/6k=1,2,3,4,5,6或_X123456_p1/61/61/61/61/61/6_,下一张,主页,退出,上一张,示例:抛掷一枚硬币发生正面朝上设P正面朝上=PX=1=0.5P反面朝上=PX=0=0.5离散型随机变量X的分布律:P(X=k)=0.5k=1,0或_X01_p0.50.5_,下一张,主页,退出,上一张,例设有8件药品，其中3件是次品，现从中任取2件，试求抽样药品中次品数X的概率分布律,并求至多抽得一件次品的概率P(X0.5)、P(X1.5)、P(X2.7)、P(0X2)。,定义设X为一个随机变量，称函数F(x)P(Xx)为X的分布函数,x记为XF(x),下一张,主页,退出,上一张,性质,（1）0F(x)1；（2）F(x)为X的单调不减函数（3）F(x)为X的右连续函数,。,P(aa)=1-P(Xa)=1-F(a),。,示例:设随机变量X的分布律_X-112_p0.30.6C_,下一张,主页,退出,上一张,连续型随机变量X设随机变量X在(,)上取值,如果存在一个非负可积函数f(xx),对任意实数a,b都有P(aXb)=称X为连续型随机变量,f(x)称为X的概率密度函数,简称密度.注:连续型随机变量的概率由概率密度函数确定,下一张,主页,退出,上一张,连续型随机变量概率密度函数的性质：1、密度函数f(x)0,对任意的X；2、当随机变量X取某一特定值时，(c为任意实数)3、,下一张,主页,退出,上一张,连续型随机变量的概率分布函数设随机变量X为连续型随机变量,称函数F(x)=P(Xx)=x0是常数,泊松分布的数学期望E(X)=,连续型随机变量的数字特征:若积分绝对收敛，则称为X的数学期望E(X)=,数学期望的性质:1.E(C)=CE(CX)=C*E(X)C为常数2.E(X1X2)=E(X1)E(X2)3.随机变量X1,X2相互独立有E(X1*X2)=E(X1)*E(X2),下一张,主页,退出,上一张,实例,随机变量函数的数学期望,随机变量的方差:随机变量X的所有可能取值与其数学期望的离差平方的期望值记为:D(X)或2D(X)=EX-E(X)2=E(X2)E(X)2反映随机变量的离散性或变异程度,下一张,主页,退出,上一张,离散型随机变量的数字特征:方差D(X)=EX-E(X)2=xk-E(X)2*pkD(X)=E(X2)E(X)2其中E(X2)=(xk2*pk)k=1,2,下一张,主页,退出,上一张,离散型随机变量的数字特征:方差D(X)=EX-E(X)2=xk-E(X)2*pkD(X)=E(X2)E(X)2其中E(X2)=(xk2*pk)k=1,2,下一张,主页,退出,上一张,连续型随机变量的数字特征:方差D(X)=EX-E(X)2=D(X)=E(X2)E(X)2其中E(X2)=,下一张,主页,退出,上一张,方差的性质:1.D(C)=0D(CX)=C2*D(X)C为常数2.D(X1X2)=D(X1)+D(X2)随机变量X1,X2相互独立,下一张,主页,退出,上一张,例设连续型随机变量X在有限区间a,b内取值，其概率密度为（ba）试求：方差D(X),例设连续型随机变量X概率密度为E(X)=2/3试求：方差D(X)和D(3X+2),常用离散型随机变量分布,定义若随机试验在相同条件下重复进行n次，而且各次试验结果互不影响，则称这n次试验是n重独立试验。在n重独立试验中，如果随机试验只有两个对立结果即只考虑A和，称这种试验为n重贝努里试验,定义在n重贝努里试验中，如果每次试验中A事件发生的概率为p,则,设X为n重贝努里试验中A事件发生的次数，则X为随机变量,其概率分布为,的概率为1-p=q,P(X=k)=,数学期望E(X)为np,方差D(X)为npq,称X所服从的分布为二项分布，记为XB(n,p)。,例设药治某病的治愈率为80%，现用该药治病20例，试求：（1）有人未治愈的概率；（2）恰有2例未治愈的概率；（3）未治愈的不超过2例的概率。,例设某地区流行某传染病，受传染的概率为20%，某单位共有30人，试求：（1）该单位最可能被传染的人数和相应概率；（2）该单位被传染人数的平均数、标准差；（3）对每人注射一种疫苗，注射后至多1人被传染，试推断疫苗是否真的有效。,（二）泊松分布,定义若随机变量X的分布律为P(X=k)=,则称X服从参数是的泊松分布，记为P()，其中0是常数,泊松分布是作为二项分布的近似提出来的，可作为稀疏现象（小概率事件）发生次数X（X=0,1,2,）的概率分布模型。诸如生三胞胎数、某种少见病（如食管癌）的发病数以及一分钟内电话总机接到的呼叫数等现象都服从泊松分布。,泊松分布的数学期望和方差：E(X)=,D(X)=。,定理（Possion近似公式）当n很大，p较小时（一般只要n20,p0.1时），对任一确定的k,有（其中=np）,示例:某车间有各自独立运行的机床80台,设每台机床发生故障的概率为0.02,每台机床发生的故障需要一名维修工来排除,试求在下列两种情况下机床发生故障而得不到及时维修的概率.1.4人负责维修，每人承包20台机床2.3人共同负责80台机床的维修,下一张,主页,退出,上一张,1.设X=第一人承包的20台机床中同时发生故障的台数XB(20,0.02)n=20,p=0.02P(X=k)=Ck20(0.02)k(0.98)20-kk=0，1，2，,20P第一人承包的机床发生故障得不到及时维修=P(A1)=P(X2)=1-P(X1)=1-P(X=1)-P(X=0)=1-200.0210.981910.0200.9820=0.0599,下一张,主页,退出,上一张,2.设Y=80台机床中同一时刻发生故障的台数.n=80,p=0.02=np=800.02=1.6YB(80,0.02)n=8030,p=0.020.1YP()P(Y=k)=Ck80(0.02)k(0.98)80-k,下一张,主页,退出,上一张,P机床发生故障而得不到及时维修=P(X4)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=80)=Ck80(0.02)k(0.98)80-k,正态分布是一种很重要的连续型随机变量的概率分布。随机现象中有许多变量是服从或近似服从正态分布的。许多统计分析方法都是以正态分布为基础的。还有不少随机变量的概率分布在一定条件下以正态分布为其极限分布。因此在统计学中，正态分布无论在理论研究上还是实际应用中，均占有重要的地位。,下一张,主页,退出,上一张,正态分布(normaldistribution)若连续型随机变量X的概率密度函数为其中,2为常数，则称随机变量X服从参数为,2正态分布，记为XN(,2),下一张,主页,退出,上一张,XN(,2),下一张,主页,退出,上一张,XN(,2),下一张,主页,退出,上一张,XN(,2),下一张,主页,退出,上一张,正态分布的分布函数为正态分布的数学期望E(X)=方差D(X)=2,下一张,主页,退出,上一张,F(x)=P(Xx)=,F()=P(X)=0.5,下一张,主页,退出,上一张,P(x1Xx2)F(x2)-F(x1),下一张,主页,退出,上一张,定理3-5,标准正态分布(standardnormaldistribution)=0,2=1的正态分布,即随机变量X服从标准正态分布，记作XN(0，1)概率密度函数:(x)=分布函数:(x)=,下一张,主页,退出,上一张,XN(0，1),下一张,主页,退出,上一张,下一张,主页,退出,上一张,(x)通过附表3查得,已知XN(0，1)，试求：(1.75)=?,下一张,主页,退出,上一张,已知XN(0，1)，试求：(1.75)=?,下一张,主页,退出,上一张,解:(1.75)=0.959941,下一张,主页,退出,上一张,(-x)=1-(x),下一张,主页,退出,上一张,已知XN(0，1)，试求：(-0.57)=?,下一张,主页,退出,上一张,(-0.57)=1-(0.57)=1-0.715661=0.284339,下一张,主页,退出,上一张,P(x1Xx2)(x2)-(x1)P(x1Xx2)P(Xx2)-P(Xx1)(x2)P(Xx2)(x1)P(Xx1),下一张,主页,退出,上一张,已知XN(0，1)，试求：(1)P(X1.64)?(2)P(X-1.64)?(3)P(X2.58)=?(4)P(0.34X1.53)=?(5)P(X2.56)=?,下一张,主页,退出,上一张,解:(1)P(X1.64)(1.64)=0.9495(2)P(X-1.64)(-1.64)=1-(1.64)=1-0.9495=0.0505,下一张,主页,退出,上一张,解:(3)P(X2.58)=1-P(X2.58)=1-(2.58)=0.0049,下一张,主页,退出,上一张,P(x1Xx2)(x2)-(x1)(4)P(0.34X1.53)=(1.53)-(0.34)=0.93669-0.6331=0.30389(5)P(X2.56)=1-P(-2.56X2.56)=1-(2.56)-(-2.56)=1-2(2.56)-1=2-20.9948=0.0104,下一张,主页,退出,上一张,设随机变量XN(,2)，分布函数为F(X)，