东北大学高等数学（上）期末考试试卷

东北大学高等数学(上)期末考试试卷2001.1.10一、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共3小题, 每小题4分, 共12分） 1（ ）2（ ）=3与三点决定的平面垂直的单位向量（ ）二、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题共3小题, 每小题4分, 共12分)1当时，是的（ ）（A） 高阶无穷小；（B）同阶无穷小；但不是等价无穷小；（C） 低阶无穷小；（D）等价无穷小2若，则必有（ ） （A）；（B）； （C）； （D）3已知，则（ ） （A）； （B）； （C）2；（D）1三试解下列各题（57=35分）1. 求极限 . 2. ，求3. 设函数 求. 4. 求不定积分 . 5. 计算. 四、（9分）设 研究的连续性与可导性. 五、（9分）已知直线L： 及点，求点到直线L的距离. 六、（9分）已知曲边三角形由抛物线及直线所围成，求：（1）曲边三角形的面积；（2）该曲边三角形绕旋转所成旋转体的体积. 七、（8分）设可导函数由方程所确定，试讨论并求出的极值. 八、（6分）设函数在闭区间上有连续导数，且，证明：. 东北大学高等数学(上)期末考试试卷2002.1.21一、填空题（将正确答案填在横线上, 本大题共4小题, 每小题3分, 共12分） 1. 若在连续, 则a = .2. .3.若f(x)在上连续, 则 .4.设则z = .二、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案, 填在题末的括号中）(本大题共4小题, 每小题4分, 共16分)1方程x3-3x+1=0再区间(0,1)内（ ）（A）无实根；（B）有唯一实根；（C）有两个实根；（D）有三个实根. 2已知, 则为（ ）（A） （B） （C） （D）3半径为R的半球水池已装满水, 要将水全部吸出水池, 需做功W为（ ）（A）； （B）； （C）； （D）.4. 设向量, 指出以下结论中的正确结论( ).（A）垂直的充要条件；（B）平行的充要条件；（C）的对应分量成正比是平行的充要条件；（D）若(是数), 则三试解下列各题（75=30分）1求极限. 2. 设函数y =y(x)由方程e y +xy =e所确定, 求.3. y=xlnx, 求y(n).4求不定积分.5计算. 四（6分）求过点(0,2,4)且与两平面x +2z =1和y -3z =2平行的直线方程. 五（6分）讨论函数 在x =0处的连续性与可导性.六（10分）求由在上半平面围成图形的面积. 七（9分）在椭圆4x 2+y 2=4上任一点M (x, y) (点M在第一象限)处的切线与ox轴, oy轴分别交于A, B两点. (1)试将该切线与两坐标轴围成的三角形的面积s表示为x的函数； (2) 问x为何值时三角形面积s最小, 并求出此最小面积.八（6分）设函数f (x)是二次可导函数,x =a, x =b ( a b ) 是方程f (x) =0的相邻两个根, 又存在, 使f (c) 0. 试证: (1)在(a, b)内f (x) 0）上哪一点的法线在y轴上的截距为最小. 八、（6分）设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内二阶可导，且，又有. 试证：在内至少存在两点. 东北大学高等数学(上)期末考试试卷2004.1.一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案, 填在题末的括号中）(本大题共5小题, 每小题3分, 共15分)1设在处可导, 则（ ）（A）； （B）；（C）； （D）. 2函数在上可导的充分条件是：在上（ ）（A） 有界； （B）连续； （C）有定义； （D）仅有有限个间断点. 3若, 当时为无穷小, 则（ ）（A）；（B）；（C）；（D）. 4设, 则在处（ ）（A）不存在；（B）存在, 但在处不连续；（C）存在； （D）在处连续, 但不可导. 5是函数的（ ）间断点. （A）跳跃；（B）可去；（C）无穷；（D）振荡. 二、填空题（将正确答案填在横线上, 本大题共5小题, 每小题3分, 共15分） 1（其中m,n为正整数）= . 2 . 3 . 4设, 在处连续, 则a= . 5为使曲线有拐点(1,3), 则系数a= , b = .三试解下列各题（76=42分）1求. 2设, 求. 3求参数方程所确定的函数的二阶导数. 4设, 求 dy. 5计算不定积分. 6计算定积分. 7计算广义积分. 四、应用题（本题16分, 每小题8分）1 求星形线所围成图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积. 2 在曲线上求一点M, 使过该点的切线被两坐标轴所截得的长度最短, 并求出这最短的长度. 五、证明题（本题12分, 每小题6分）1 证明不等式2 设在0, 1上连续, 在（0,1）内可导, 且, 证明在（0,1）内有一点, 使. 东北大学高等数学(上)期末考试试卷2005.1.一、填空题（本题20分，每小题4分）1已知，则a = . 2设函数，当a = ,b = 时，f(x)在x =1处可导. 3方程共有 个正根. 4当 时，曲线的曲率最大. 5 . 二、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分）1下列结论中，正确的是（ ）（A）若，则；（B）发散数列必然无界；（C）若，则；（D）有界数列必然收敛. 2函数在处取得极大值，则必有（ ）. （A）； （B）；（C）或不存在； （D）且. 3函数在上可导的充分条件是：在上（ ）（A）有界； （B）连续； （C）有定义； （D）仅有有限个间断点. 4设，则必有关系式（ ）（A）； （B）； （C）； （D）. 5设在的某邻域内具有三阶连续导数，如果，而，则必有（ ）. （A）是极值点，不是拐点； （B）是极值点，不一定是拐点；（C）不是极值点，是拐点； （D）不是极值点，不是拐点. 6直线与平面的位置关系是（ ）（A）与平行但不在上； （B）与垂直相交； （C）在上； （D）与相交但不垂直. 6*微分方程的特解形式为（ ）(A)； （B）；（C）； (D) 三、计算下列各题（每小题7分，共28分）1计算2求3设，求. 4求. 四、解答下列各题（每小题7分，共21分）1在半径为R的球内嵌入有最大体积的圆柱体，求此时圆柱体体积的最大值以及底半径与高的值. 2计算由椭圆所围成的图形的面积以及此图形绕x轴旋转一周而形成的旋转体的体积. 3在由平面和平面所决定的平面束内求两个相互垂直的平面，其中一个经过点. 3*在曲线上每一点处切线在y轴上的截距为，且曲线过点. 求此曲线方程. 五、（7分）设函数在上连续，在（0，3）内可导，且有. 试证：必有使. 东北大学高等数学(上)期末考试试卷2006.1.一、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分）1下列结论中，正确的是（ ）（A）有界数列必收敛； （B）单调数列必收敛；（C）收敛数列必有界； （D）收敛数列必单调. 2.设函数,对于下面三条性质:在点连续;在点可导;在点可微.若用“”表示由性质推出性质，则应有 .(A); (B) ;(C); (D) . 3. 曲线（ ）. （A）既有水平渐近线，又有垂直渐近线； （B）仅有水平渐近线；（C）仅有垂直渐近线； （D）无任何渐近线. 4函数在上有定义，则存在的必要条件是（ ）（A）在上可导； （B）在上可导连续； （C）在上有界； （D）在上单调. 5是微分方程的解，且. 则必有（ ）（A）在某邻域内单调增加； （B）在某邻域内单调减少；（C）在取极大值； （D）在取极小值. 6若的导函数是，则有一个原函数是（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 二、填空题（本题36分，每小题4分）1 . 2的可去间断点是x = . 3，则 . 4的值是 . 5 . 6. 时，则 . 7. . 8. 设，则 . 9. 微分方程满足条件的特解是y = . 三、（8分）计算不定积分. 四、（8分）求曲线的升降区间，凹凸区间及拐点. 五、（8分）求微分方程的通解. 六、（10分）在上给定函数，问t为何值时，如图所示阴影部分的面积与的和最小？并求此时两图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积. 0t1xS1S2t 2A七、（6分）设在上连续，且不恒为常数. 又在内可微，且. 试证：使. 东北大学高等数学(上)期末考试试卷2007.1.10一单项选择题（本题共5小题，每小题4分，共计20分）1、设数列收敛，发散，则必有 成立(A) 存在；(B) 存在；(C) 不存在； (D) 存在 .2则是的 (A)可去间断点； (B)跳跃间断点； (C)无穷间断点； (D)连续点3设在点处有增量，函数在处有增量又，则当时，是该点微分的 (A)高阶无穷小； (B)等价无穷小；(C)低阶无穷小； (D) 同阶但不是等价无穷小 4、设在上二阶可导且为奇函数，又在上 则在上必有 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 5、设，则有关系式 成立(A) ； (B) ；(C) ； (D) 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）1=_2方程在(1,2)内共有_个根34=_5球体半径的增长率为，当半径为时，球体体积的增长率为_6微分方程的通解为_三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共计24分）1. 设，求2求3求4求微分方程的通解四（10分）设求函数的极大值，函数曲线的拐点并求曲线与直线所围成曲边梯形的面积及此平面图形绕轴旋转所成的旋转体体积五（8分）在曲线上任一点处切线在轴上的截距为，且曲线经过点，求此曲线的方程六（8分）设，适当选取值，使成为可导函数令，并求出的表达式.七（6分）设具有二阶连续导数，且，.试证：，使东北大学高等数学(上)期末考试试卷2008.1.10一单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）1数列，当时，是 (A) 无穷大；(B) 无界但非无穷大；(C) 无穷小； (D) 有界但非无穷小2设，则 (A) 2n； (B) ；(C) ； (D) 3设，则为 (A) 正常数； (B) 负常数； (C) 恒为零 (D) 不为常数 4设y=是方程的解，且，则在 (A) 的某个邻域内单调增加； (B) 的某个邻域内单调减少； (C) 处取极小值； (D) 处取极大值二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）1. 在处的切线方程是 2. 一个圆锥形容器，深度为10m，上面的顶圆半径为4m，则灌入水时水的体积对水面高度的变化率为 3曲线的拐点为 4满足微分方程初值问题 的解为 三、（7分）设 试研究函数在上是否满足拉格朗日中值定理的条件.四、计算下列各题（本题共6小题，每小题6分，共计36分） 1. .2. .3. 设， 计算4. 计算积分 5. 计算积分6. 求微分方程的通解五、（7分）由曲线，围成曲边三角形，其中A为与的交点，B为与的交点在曲边上求一点，过此点作的切线，使该切线与直线段，所围成的三角形面积为最大六、（7分）求心形线与圆所围图形公共部分的面积七、（7分）设当时，可微函数满足， .1. 求；2. 证明：当时，（4分）设在上二阶可导，且，证明参考答案 2001.1.17一、1. ； 2. ；3. 二、1. B； 2. C； 3. A.三、1. 2. 3. 4. 5. 四、五、六、七、八、高等数学参考答案2002.1.21一. 1. a 0; 2. x+cosx+c; 3. 2xcosx2f(sinx2)-3f(3x); 4. 1.二. 1. B; 2. A; 3. C; 4. C.三. 1.原式 2. x=0, y=1, 3 4. 原式 5. 四. 直线方程为: 五.f(0-0)=0, f(0+0)=0, f(0)=0, f(x)在x=0连续(3分) f(x)在x=0不可导.(6分)六. 由得交点(1,1), 由得交点(-1,1), 由 得交点(0,0) (3分) 七. 切线斜率为, 设(X,Y)为切线上任一点, 切线方程为即yY+4xX=4, 在两坐标轴上的截距为S的最小值为2 (9分)八. (1) 反证法: 因x=a, x=b是f(x)=0的相邻两根, 故对一切, 假设有又知f(c)0, 且f (x)在闭区间 c, x0 或 x0, c上连续, 由介值定理知必有界于c与x0之间的x 使f(x )=0, 矛盾. 故对一切 (3分) (2).证明: f(x)在 a, c上满足拉格朗日定理条件, f(x)在h1,h2上应用拉格朗日中值定理 (6分)高等数学参考答案 2003.1.10一、填空题, 每小题3分,共4小题, (1) 9; (2) ; (3) tanx- x+C; (4) .二、选择题, 每小题4分,共4小题. (1) D; (2) C; (3) B; (4) A.三、 每小题6分,共6小题.1. 原式= =.2. =.3. =, 4. 5. 原式= =6. 原式= =.四、解 x=1是间断点，=故x=1是第二类间断点x=0是间断点，=e-1.故x=0是跳跃间断点(或第一类间断点) .五、法向量n=，所求平面方程为 即 .六、解 交点为 得到 A =+ =+ =+(1=.七、解 设曲线上点为（）， .法线方程为 ，在y轴上的截距为 ， ， 令 ，得到x=1，且正根只有一个，可微函数在定义域内只有一个驻点，是极小值点. 所以x=1为b(x)的最小值点，所求点为（1，）.八、解 因为f(x)在上连续，f(x)在上取最小值，又f(a)=f(b)0,且 f(c)0(acb),(acb),所以f(x)必在（a,b）内某一点x0取最大值，且f(x0)0,又因为f(x)在（a,b）内可导，x0为极小值点（a x00 (x1),所以f(x)在单调增加, 所以当x1时, f(x) f(1)=0, 即exex(x1). 证毕(2) 设F(x)= f(x) x, 则F(x)在0,1闭区间上连续, 在(0,1)内可导, F(1)= f(1) 10故在内为上升曲线. -2分y=6(x-2).令y=0, 得. x=2. - -4分因为当时, y0, -6分所以凸区间为, 凹区间为, 拐点为.-8分五、(8分)求微分方程的通解.解：微分方程的特征方程为 r2+3r+2=0, 特征根为r1=-1, r2=-2, -2分齐次方程的通解为Y=C1e-x+C2e-2x. -4分 因为f(x)=3xe-x, l=-1是特征方程的单根, 故原方程的特解设为y*=x(Ax+B)e-x, -6分代入原方程并整理得 2Ax+(2A+B)=3x, 比较系数得, B=-3, 从而. 因此, 原方程的通解为. -8分五*、(8分)求直线在平面上的投影直线的方程.解: 设过直线的平面束的方程为 (x+y-z-1)+l(x-y+z+1)=0, 即 (1+l)x+(1-l)y+(-1+l)z+(-1+l)=0, -2分 其中l为待定的常数. 这平面与平面 x + y + z = 0垂直的条件是 (1+l)1+(1-l)1+(-1+l)1=0, 即 l=-1. -4分将l = -1代入平面束方程得投影平面的方程为2y-2z-2=0, 即 y-z-1=0. -6分所以投影直线的方程为 . -8分六、(10分)在0，1上给定函数，问为何值时,如图所示阴影部分的面积与的和最小，何时最大？并求此时两图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积. 解：点的坐标为 故-3分令得-6分比较，可知， 最小 -8分此时，所求体积为 = -10分七、设,且不恒为常数.,.试证:证明：因为, 上不恒为常数。必有, 使, 不妨假设, 于是在上使用中值定理，使-2分从而-4分 若 则-6分 东北大学2006-2007第一学期高等数学(上)期末考试试卷答案及评分标准2007.1.10一单项选择题（本题共5小题，每小题4分，共计20分）1 C ；2A ；3B；4D；5A 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）1 ；21 ；3；4；56三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共计24分）1 -2分； -4分 ；-6分2= = -2分=-4分=-6分3令=-2分=-4分=-6分4原方程化为齐次方程 -2分令齐次方程化为 -4分积分得 回代得 -6分4将直线化为参数式-2分 代入平面方程 得 -4分代入参数方程得 故交点为 -6分四（10分）(1)求函数的极大值与曲线的拐点，-3分 极大值点为极大值为为曲线的拐点, 即。-6分(2)曲边梯形面积-8分(3)旋转体体积 =-10分五（8分）过的切线方程为 令得。由题设得微分方程 -4分令得 通解为 , 即 -6分代入，得 所求曲线方程为 -8分五（8分）把直线方程改写为过此直线的平面束方程