聊城大学《固体物理》第一章1第四节

3）倒格空间的画图。,本节重点,1）倒格子的定义；,2）倒格子与正格子间的关系；,1、倒格子概念的引入,晶体研究,已知成分,X射线衍射透射电镜衍射,晶体结构点阵常数,周期分布的点、环,倒格子,未知成分,结构,测成分,测结构,能谱仪、电子探针等,X射线衍射透射电镜衍射,周期分布的点、环,倒格子,晶体结构点阵常数,性能,由于晶格的周期性，标志晶体中一族晶面特征的是它的法线的取向。如果已知晶格的基矢和法线的方向，即可得出晶面的指数，进一步晶面族中最靠近原点的晶面的截距和面间距都可得出，这样，晶面族就完全决定。,设想存在这样的逆问题：晶格的基矢是未知的，现在只有一些周期性分布的点子（或环），同所讨论的晶格中的每族晶面有一一对应的关系，则通过对应关系所联系的规律，就可以把晶格的基矢确定下来，此外还可以把晶面族指数确定出来。,所谓倒格子就是类似上面所设想的那些点子所组成的格子。所说的对应关系即晶格（正格子）与倒格子之间联系的规律，就是数学中的傅里叶变换。,我们通过晶体X射线衍射来引入倒格子。,如图，相邻平行晶面AA、BB，入射线单位矢量为S0，衍射线单位矢量为S。M、P、O为格点位置。晶面间距为|OP|=d，且OP=l1a1+l2a2+l3a3。,2）对于不同晶面上的原子P、O，反射后光程差为：,1）对于同一晶面上的原子P、M的散射线，处于反射线位置时，光程差为0，产生衍射加强；,因此在这个方向散射线互相加强的条件为,布拉格方程,上式说明，晶体的X衍射可以看作晶面反射。只有在满足布拉格方程的上才能发生衍射。,经过O点和P点的X光，衍射后的光程差可以用矢量表示：,又X射线衍射加强的条件为,式中为波长，n为整数。引入衍射波矢和衍射波矢：,则衍射加强的条件变为,令,则,可以发现的量纲是互为倒逆的，是格点的位置矢量，称为正格矢，称为正格矢的倒矢量，简称倒格矢。,2、倒格基矢与正格基矢的关系,如图，以原点O建立正格子，其基矢分别为a1、a2、a3；正格子的坐标面a1a2，a2a3，a3a1各有其对应的晶面族。,因此得到三个矢量b1，b2，b3，称为倒格子基矢。,设a1a2，a2a3，a3a1面族的面间距分别为d3，d1，d2。,作OP垂直a1a2面，并另OP=b3，使b3=2/d3。,同理，对于a2a3面，得到b1=2/d1；,对于a3a1面，得到b2=2/d2。,又因矢量b3和矢量a1a2的方向一致，所以,又,同理还有,即倒格子基矢bj(j=1,2,3)和正格子基矢ai(i=1,2,3)之间符合以下关系：,又正格子体积,所以倒格子基矢和正格子基矢存在如下关系：,若i=j，则aibj=2；若ij，则aibj=0,(1)倒格子线度的量纲为米-1，和波矢的单位相同，而常用波矢来描述晶格和电子的运动状态，可以认为由倒格子所组成的空间为状态空间，而由正格子所组成的空间称为坐标空间，倒格子是正格子在状态空间的化身。,注意：,(2)由倒格基矢在三维空间重复取点，可以得到倒易点阵。倒易点阵是正格点阵经过一定转化导出的抽象点阵。倒易点阵的每一个倒易点对应着正格空间的一组晶面。,倒易点阵的主要应用：,3、倒格子与正格子的关系,1）正格子原胞体积与倒格子原胞体积之积等于,证明：设倒格子原胞体积为*，其数学表达式如下：,(1)可以解释衍射图像；,(2)研究能带理论；,(3)推导晶体学公式,由于,则,所以,所以,2）倒格子与正格子互为对方的倒格子,证明：,设正格子基矢为，倒格子基矢为，倒格子的倒格基矢为,按照倒格子的定义，倒格子的倒格基矢计算如下：,同理可以证明,证明：,设正格子基矢为，,倒格子基矢为，,3）倒格矢量与正格子晶面组(h1h2h3)正交,如图设ABC是离原点最近的晶面(h1h2h3),该晶面在三个晶轴上的截距矢量分别为：,则,所以,倒格矢量与正格子晶面组(h1h2h3)正交,hu+kv+lw=0,晶带定理,设晶带轴的晶向指数为uvw，由矢量代数可知，该晶带中任一晶面(hkl)与晶带轴指数间具有如下关系：,证明：,根据上述结论，晶面(hkl)与下面倒格矢量垂直,而晶带轴平行于晶面(hkl)，所以晶带轴与上述倒格矢量垂直，即,晶带定理适用所有晶系,4）倒格矢量Kh的模与晶面族(h1h2h3)的面间距成反比,证明：设d是晶面族(h1h2h3)的面间距，,ABC是离原点最近的晶面(h1h2h3),则有,设Kh与晶面ABC正交于一点N，,即倒格矢量Kh的模与晶面族(h1h2h3)的面间距成反比。,证明：根据倒格子与正格子间的关系得到晶面族(hkl)的面间距为,例、若基矢a、b、c构成简单正交系，证明：晶面族(hkl)面间距为,又设正格子三个晶轴方向的单位矢量分别为，则有，所以上式化简为如下的形式：,若晶体结构为立方系，晶格常数为a，晶面族(hkl)的面间距为,可以发现，晶面指数简单的晶面族，其面间距大。由于单位体积内的格点数一定，则必有面间距大的晶面上，格点分布的密度大。,解理面指数？,5）正格子空间的周期函数可以展成倒格矢量的傅立叶级数,在正格子空间中，任意一点用基矢表示，具有如下的形式：,(xi不一定是整数,i=1,2,3),则一个具有晶格周期性的函数V(x)表示如下：,(li是整数,i=1,2,3),该函数可以看成以x1、x2、x3为变量，周期为l的周期函数，其傅立叶级数表示如下：,h1，h2，h3为整数，其中系数,再设倒格子基矢为，则根据，用倒格基矢来表示变量：,所以,令,则傅立叶级数为,为一倒格矢量,讨论：已知晶体结构如何求其倒格呢？,晶体结构,正格,正格基矢,倒格基矢,倒格,例、下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。,解：,倒格是边长为的正方形格