数字信号处理复习知识点(第一章到第四章)

第四章快速傅立叶变换(FFT),一、直接用DFT计算的运算量与用FFT计算的运算量比较，减少运算量的途径,二、FFT算法中一些概念,按时间抽取法解过程的规律。1.原位运算（in-place)2.码位倒读规则，乱序输入，顺序输出（1）“级”概念将N点DFT先分成两个N/2点DFT，再是四个N/4点DFT直至N/2个两点DFT.每分一次称为“一”级运算。因为N=2M所以N点DFT可分成M级依次m=0,m=1.M-1共M级,（2）“组”概念,每一级都有N/2个蝶形单元，例如：N=8,则每级都有4个蝶形单元。每一级的N/2个蝶形单元可以分成若干组，每一组具有相同的结构，相同的因子分布，第m级的组数为：,例：N=8=23，分3级。m=0级,分成四组,每组系数为m=1级,分成二组,每组系数为m=2级,分成一组,每组系数为,(3)因子的分布,结论：每由后向前（m由M-1-0级）推进一级，则此系数为后级系数中偶数序号的那一半。,三、一个完整N=8的按DIT时间抽取FFT的运算流图,x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7),X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7),m=0,m=1,m=2,一个完整N=8的按DIF频率抽取FFT的运算流图,x(0)x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7),X(0)X(4)X(2)X(6)X(1)X(5)X(3)X(7),m=0,m=1,m=2,2.直接利用FFT流图方法的推导,可知：只须将频域成份一个求共轭变换，即（1）将X(k)的虚部乘以-1，即先取X(k)的共轭，得X*(k)。(2)将X*(k)直接送入FFT程序即可得出Nx*(n)。(3)最后再对运算结果取一次共轭变换，并乘以常数1/N，即可以求出IFFT变换的x(n)的值。,此为DFT可用FFT程序,3.用CZT求解DFT的流图,6、说明1,（1）A为起始样点位置,6、说明2,（2）zk是z平面一段螺线上的等分角上某一采样点。,6、说明3,6、说明4,10、CZT运算量与直接运算量比较,当M、N足够小时，直接算法运算量少。但M、N值比较大时（大于50），CZT算法比直接算法的运算量少得多。例M=50，N=50，N*M=2500次而CZT1600次。,重叠相加法,（1）x(n)为分段，每段长为p点，p选择与M数量组相同。用xi(n)表示x(n)的第i段.,重叠保留法,第三章离散傅立叶变换（DFT）,一、四种不同的傅立叶变换对傅里叶级数(FS)：连续时间,离散频率的傅里叶变换。连续傅里叶变换(FT)：连续时间,连续频率的傅里叶变换。序列的傅里叶变换(DTFT):离散时间,连续频率的傅里叶变换.离散傅里叶变换(DFT):离散时间,离散频率的傅里叶变换,四种付里叶变换形式的归纳,二、DFS定义,设为周期为N的周期序列,则其离散傅里叶级数(DFS)变换对为:正变换反变换其中:,三、DFT,1、定义正变换反变换X(k)、x(n)为有限长序列的离散付里叶变换对，已知其中一个序列就能确定另一个序列。,2、DFT性质,时移特性已知DFTx(n)=X(k)则DFTx(n+m)NRN(n)=WN-mkX(k)频移特性设频域N点，有限长序列X(k)则,3、圆周卷积与线性卷积的性质对比,4、奇偶虚实关系表,四、频域抽样理论,长度为M的有限长序列,频域抽样不失真的条件：频域抽样点数N要大于或等于序列长度M,即满足NM.此时可得到表明长度为N(或小于N)的有限长序列可用它的z变换在单位圆上的N个均分点上的抽样值精确地表示.,五、DFT做傅里叶变换(级数)的逼近时所产生的问题,混叠现象:频谱泄漏栅栏效应,1、混叠现象,利用DFT逼近连续时间信号的傅里叶变换,为避免混叠失真,要求满足抽样定理，即奈奎斯特准则：fs2fh其中fs为抽样频率,fh为信号最高频率.但此条件只规定出fs的下限为fh,其上限要受抽样间隔F的约束.抽样间隔F即频率分辨力,它是记录长度的倒数,即Tp=1/F若抽样点数为N,则抽样间隔与fs的关系为F=fs/N2fh/N,混叠现象的结论,由F=fs/N2fh/N看出：在N给定时,为避免混叠失真而一味提高抽样频率fs,必然导致F增加,即频率分辨力下降;反之,若要提高频率分辨力即减小F,则导致减小fs,最终必须减小信号的高频容量.以上两点结论都是在记录长度内抽样点数N给定的条件下得到的.所以在高频容量fh与频率分辨力F参数中,保持其中一个不变而使另一个性能得以提高的唯一办法,就是增加记录长度内的点数N,即fh和F都给定时,则N必须满足N2fh/F这是未采用任何特殊数据处理（例如加窗）情况下，为实现基本DFT算法所必须满足条件。,2、频谱泄漏注意点,由于我们无法取无数个点，所以在DFT时，时域的截断是必然的，因而泄漏也是必然存在的。为了减少频率泄漏可采用：（1）适当加大窗口宽度，增加M值；（2）采用适当形状的窗函数截断指出：泄漏是不能与混叠完全分开的。,3、减小栅栏效应方法,减小栅栏效应的一个方法是在所取数据的末端加一些零值点,使一个周期内点数增加,但是不改变原有的记录数据.这种方法等效于加长了周期Tp.因公式F=1/Tp(F是抽样间隔).Tp增加,抽样间隔变小,从而能保持原来频谱形式不变的情况下使谱线变密,也就使频谱抽样点数增加.这样,原来看不到的频谱分量就有可能看到了.,序列的傅立叶变换和性质（教材78页，表2-3）,x(