高等数学应用题初探

本科毕业论文（设计）2013届高等数学应用题初探院系数学系专业数学与应用数学姓名指导教师职称等级学号0907410109合肥师范学院2013届本科生毕业论文（设计）I高等数学应用题初探摘要应用题一直都是高等数学中的一个重点内容，它将高等数学中的理论知识与实际应用相联系，通过练习应用题，我们可以很好地掌握高等数学中的理论要点，但是在我们所学的内容中，很少将高等数学中的应用题进行总结性的归类，我觉得在这方面做一下探讨很有必要本文中主要是在我们学习了高等数学的基础上，进一步对高等数学中的应用题进行总结归纳文章中主要分七个部分进行介绍首先是引言部分，即介绍研究课题的意义、目的及本课题在国内外的发展概况及存在的问题，并对正文中的内容作大概介绍；其次是正文部分，即介绍六类高等数学中的应用题高等数学中导数的应用、极值最值的应用、不定积分的应用、定积分的应用、微分方程的应用以及概率论的应用其中先介绍理论知识，再根据理论给出相应的应用题，将抽象的知识直观化，进一步领悟数学的实际应用价值，达到潜移默化地培养学生应用数学的能力关键词高等数学应用题实际应用合肥师范学院2013届本科生毕业论文（设计）IIABSTRACTAPPLICATIONPROBLEMOFHIGHERMATHEMATICSHASALWAYSBEENAKEYCONTENTOFHIGHERMATHEMATICSITCONNECTSTHETHEORETICALKNOWLEDGEOFHIGHERMATHEMATICSWITHTHEACTUALAPPLICATIONTHROUGHPRACTICINGIT,WECANBETTERGRASPTHETHEORETICALPOINTSOFHIGHERMATHEMATICSBUTINTHEKNOWLEDGEWELEARNED,WORDPROBLEMSARERARELYCONCLUSIVELYCLASSIFIED,SOITHINKTHATITISNECESSARYTODOSOMESTUDYABOUTTHISASPECTTHISPAPERISAIMEDTOFURTHERCLASSIFYWORDPROBLEMSINHIGHERMATHEMATICS,ITISMAINLYDIVIDEDINTOTWOPARTSTHEFIRSTPARTISTHEINTRODUCTION,INTRODUCINGTHESIGNIFICANCEANDPURPOSEOFTHEPAPERRESEARCHED,THEDEVELOPMENTOFTHISTOPICATHOMEANDABROADANDTHEEXISTINGPROBLEMS,ANDGIVINGBRIEFINTRODUCTIONOFTHEBODYTHENCOMESTOTHEBODYPART,ITINTRODUCESSIXDIFFERENTWORDPROBLEMSINHIGHERMATHEMATICS,INCLUDINGAPPLICATIONOFDERIVATIVE,EXTREMEVALUEANDTHEMOSTVALUE,INDEFINITEINTEGRAL,DEFINITEINTEGRAL,DIFFERENTIALEQUATIONANDTHEORYOFPROBABILITYINHIGHERMATHEMATICSFIRSTISTHEINTRODUCTIONOFTHETHEORETICALKNOWLEDGE,SECONDISTHECORRESPONDINGPRACTICEUNDERTHEBASISOFTHEORYTOVISUALIZETHEABSTRACTKNOWLEDGE,MAKETHESTUDENTSUNDERSTANDTHEAPPLICATIONVALUEOFMATHEMATICS,ANDCULTIVATESTUDENTSABILITYTOAPPLYMATHEMATICSBYIMPERCEPTIBLEINFLUENCEKEYWORDSHIGHERMATHEMATICSAPPLICATIONPROBLEMPRACTICALAPPLICATION合肥师范学院2013届本科生毕业论文（设计）III目录摘要IABSTRACTII1引言12高等数学中导数的应用121导数的概念122导数应用题13高等数学中极值与最值的应用231函数极值与最值的相关概念232极值与最值应用题34高等数学中不定积分的应用441不定积分的相关概念442不定积分应用题45高等数学中定积分的应用551定积分的相关性质552定积分应用题66高等数学中微分方程的应用761微分方程的概念762微分方程应用题77高等数学中有关概率论的应用771古典型概率872几何型概率88结束语9参考文献9合肥师范学院2013届本科生毕业论文（设计）11引言在现实生活中，数学逐渐成为现代文化的一个很重要的组成部分，数学的各种思想各种方法都在向其他的领域不断渗透，人们越来越重视对于数学的应用大学的学习任2务就是让学生兼备独立应用数学的实际能力，能运用自己所学的理论知识去解决实际生活的问题因此培养学生的数学应用意识，提高学生应用数学知识解决问题的能力,在大学高等数学学习中尤为重要1在大学学习中，高等数学的学习过程比较枯燥，公式、定义、定理等，这些都在影响着学生的学习兴趣与主动性但是高等数学应用题就会引起学生学习的兴趣，高等数学应用题是理论知识与实践生活的结合，通过列举生活中的实际案例应用题，学生应用高等数学中的理论知识去解决问题，在真实的生活案例中理解与掌握高等数学的理论知识，从而可以增强学生数学的应用意识，培养学生数学的应用能力学生在高等数学应用题的练习中，潜移默化的学会学以致用，应用理论知识去解决实际问题本文主要是在学习了高等数学的基础上，对高等数学中出现的应用题进行归纳总结其中主要介绍了六类应用题，即高等数学中导数的应用、极值最值的应用、不定积分的应用、定积分的应用、微分方程的应用以及概率的应用在分别介绍理论知识后，我都会在其后用例子来加以说明，以便于让读者更清晰的了解，并加以理解和更好的掌握2高等数学中导数的应用21导数的概念定义1设函数在点的某个邻域内有定义，给以改变量，则函数的相应6XFY0XX改变量为如果当时，两个改变量比的极限00FFXXFFYXXLIMLI00存在，则称这个极限值为函数在点的导数，并称函数在可导或具有导数，F0XF0也称为在可微或有微商XF0我们常采用记号或者等来表示函数在点的导00,0XXDFYF0XFFY0X数注如果这个极限不存在，就叫函数在点没有导数或者导数不存在0如果极限为无穷大，那么导数是不存在的，但有时为方便起见，也称函数在点的导数无穷大0X合肥师范学院2013届本科生毕业论文（设计）222导数应用题导数概念的一个有趣的应用就是计算相对变化率它典型的模式是这样的在某一个过程中，有两个相关的变量，它们都是时间的函数，给定某一变量在某一个时刻的速度，T求另外一个变量的速度在应用的过程中，我们需要从原始数据中找出必要的关系有些关系直接给出的，有些是需要推导才能得出的一般情况下分为以下五个步骤4找出变量，标上符号；用数学的专业术语表达出问题；将变量之间的关系用方程式的方式表达出来；利用复合函数求导法则找出导数之间的关系；代入数据，求解出答案【例1】有一个半球面形状的碗，半径为厘米，正在以立方厘米/分钟的稳定流量A35A注入水流当水的深度已达到厘米时，试求水面高度上升的速率为多少A31解设水深达厘米时，体积为立方厘米，则，故HV312HV636122ADHAHD又，所以35ADTV3256AHDTVHT当时，即水面高度上升的速率为每分钟厘米AH31ADTH993高等数学中极值与最值的应用31函数极值与最值的相关概念定义2设函数在点附近有定义，若对点附近的一切，恒有5F0X0XX0，0FFF则称为的极大（小）值，并称在点取到极大（小）值，点称为的极大0XFF0F（小）点定理1设在上连续，在内有有限多个极值,F,BA,BA,1XFNF,MX1,BAFFFNBAX合肥师范学院2013届本科生毕业论文（设计）3,MINI1,BFAXFFXFNBAX若在上单调增（减），则为最小（大）值，为最大（小）值F,BA若在上连续且在内只有唯一一个极值，则该极值（极大值或极小值）就是,最值（最大值或最小值）注求函数在上的最大（小）值，只需要把全部极大（小）值与函数的端点值XF,BA,作比较，其中最大（小）的值就是在上的最大（小）值AFBXF,BA32极值与最值应用题在工程技术，自然科学及日常生活中的大量实际问题都可以化为求函数的极大值与极小值问题企业家追求最大利润与最小成本；飞行员寻求最短飞行时间；医生希望病人康复时间最短，等等借助于微积分我们可以解决许多这种类似的问题通常一个问题到达我们手上，都是用描述性语言给出的因此我们面临的第一个任务就是将它转化为数学问题，我们所期望的形式是求函数在区间上的最大值或XF,BA者最小值函数的图形告诉我们函数的最大（小）值，或者在函数的极大（小）值点处达到，或者在区间的端点处达到这样一来，函数的最大值、最小值，或在端点，处达到，或在方程的根处达到0XF【例2】某一个星级宾馆有间客房，通过一段时间的经营管理，宾馆经理整理出一些150数据如果每个房间定价为元，则住房率为；如果每个房间定价为元，则住65140房率为；如果每个房间定价为元，则住房率为；如果每个房间定价为元，6527住房率为如果想使得每天收入最高，那么每个房间定价应为多少8解问题分析由题意，易得出定价每降低元，住房率便增加，呈线性增长的趋势；010元的定价是否为最高价需要确定；160是否所有客房定价相同应给与确定模型假设在无其他信息时，每个房间的最高定价均为元；160所有客房定价相同模型建立根据假设一，如果设代表宾馆一天的总收入，而表示与元相比降低的房价，YX160则可以得出每降低元钱的房价，住房率增加为15201由此便可以得到6150XXY合肥师范学院2013届本科生毕业论文（设计）4注意到又得到于是得到所求的数学模型为,105X,90X，MA56XY90模型求解这是一个二次函数的极值问题，利用导数的方法易得到为唯一的驻点，,2问题又确实存在最大值，故（元）即为价格降低的幅度，也就是（元）25X13526应为最大收入所对应的房价模型分析将房价定在135元时，相应的住房率为最大收入为,57205（元）136871350MAXY表面上住房率没有达到最高，但是总收入达到最大，这自然是住房率与价格相互制约造成为了便于管理，将价格定在每个房间每天140元也无妨，因为此时的总收入与最高收入仅差1875元假如定价是180元，住房率应为45，其相应的收入只有12150元，由此可知，我们的假设一是正确的4高等数学中不定积分的应用41不定积分的相关概念原函数若在区间上，可导函数的导函数为,即对于任意一个，都有IXFXFIX或者，则称函数为（或）在区间上的原函XFFDXFDFDF数定理2设，定义在同一区间内，如果是的一个原函数，那么7F,BAXFF也是的原函数，这里是任意的常数，而包含了的全部原函CXXFCCXF数不定积分在区间上，函数带有任意常数项的原函数称为（或）在IXFFDF区间上的不定积分，记作，其中称为积分变量，与分别称作被积IDX函数和被积表达式由定理2可知，如果知道了的一个原函数，则就是的全部原XFFCXF函数，因此有，其中是一个任意的常数，称为积分常数CFDXF42不定积分应用题不定积分计算的题目千变万化，方法灵活多变，使初学者无所适从实际上，大部分问题可由凑微分法和分部积分法进行计算除此之外，就是一些特殊类型函数（简单的有理函数，简单的三角有理式及特殊形式的根式）的积分，这类问题的方法相对比较固定合肥师范学院2013届本科生毕业论文（设计）5因此，通常可以先看被积函数是否有特殊类型的函数；然后看被积函数是否为可用分部积分法的五大类函数的乘积形式；最后考虑凑微分法（后两步的考查顺序也可以颠倒一下）当然有些比较复杂的题目需要多种方法综合运用，也有些题目解法是多种多样的，这些都是需要通过练习、观察、分析和总结各种解题的方法和技巧，掌握不同类型问题的特点及彼此间的联系，达到融会贯通的目的【例3】在平面上有运动着的质点，若它在轴方向与轴方向的分速度分别为XY，又，TVXSIN5TVYCOS250T0T求（1）时间为时质点所在的位置；T（2）运动的轨迹方程解（1）设时间为时质点位置为，由导数的物理意义有T,TYXTVDTXSIN5YCO21S5SINCTTTX2IDY由，得，因此时间为时，质点位置为0,50YX0,12CTSIN2CO1T运动轨迹方程为TYXSIN2CO5或者消去参数得轨迹方程为T14502X5高等数学中定积分的应用51定积分的相关性质定积分的微元法9我们在研究曲边梯形的面积问题和变速直线运动的路程问题时，都是先把整体问题转化为局部问题，在局部范围内“以直代曲”或者“以不变代变”，从而求得整体量在各个局部范围内的近似值，然后加起来在取极限，最终求得整体量即分割把所求量分成个部分；QNI,21N近似代替合肥师范学院2013届本科生毕业论文（设计）6，；IIIXFQ,1IIIX,2N求和；ININIF11取极限（其中）BANIIIDXFXFQLM10MAX1INI这就是用定积分解决实际问题的基本思路，在这四步中，第二步近似代替是关键因为只要能够写成这一步，那么所求定积分的表达式的雏形就构成了，因此下面的问题就不难解决了在实际问题中，通常采取以下三步来解决问题选取积分变量根据具体问题，适当选取坐标系，确定积分变量及其变化区间；,BA确定被积表达式在内任取一个小区间,“以不变代变”求得整体量,BA,DX相应于区间上的局部量的近似值，其中称为整Q,DXQFDXF体量的微元或元素，记为（必须注意与仅相差一个比DXFQX高阶的无穷小，否则可能会造成失误）；DX求定积分以所求量的微元为被积表达式，在区间上定积分，得，DXF,BABADXF这就是所求量的定积分表达式，计算出定积分就得到所求量的值QQ以上这种方法就是微元法或者元素法52定积分应用题应用定积分的理论和计算方法能解决一些实际问题但应用定积分理论解决实际问题的第一步就是将实际问题转化为数学问题，这一步往往较为困难，而微元法恰恰是解决这个困难，实现这个转化的得力工具【例4】某早上开始下雪，整天稳降不停正午12点一辆扫雪车开始进行扫雪，每小时扫雪量按体积是常数到了下午2点的时候扫清了两英里路，到了下午4点又扫清了1英里路，问降雪是从什么时候开始的解设从时刻开始下雪，正午记为雪量为，铲雪速度为，街区长为0TAT/HMS/3HMR定值，宽为则时刻地面上雪的厚度为，MLW0T清扫雪时的速度为WTSRV0在时刻清扫的路长为T合肥师范学院2013届本科生毕业论文（设计）7LN0AATTTSWRVDLA由题可知与，LTSRA2LN0LTA34L0比较得150TA6高等数学中微分方程的应用61微分方程的概念在我们的实际生活中有很多量，它随着时间的变化率正比于它的大小例如，银行的存款按照一定的利率增加在数学上恰有一个函数能描述上述现象，这就是指数函数；指数函数关于自变量的变化率正比于它的大小若，则KXCEYKYD因此，用指数函数来描述上述现象我们将不会惊讶事实上，满足上述方程的函数一定是指数函数3定理3若满足（611），则，这里是任意的常数YKXEY证明由（611），从而K，KDXY1LNCKXY11CCKXEE定理得证我们刚才解的方程（611）是一个含有函数的导数的方程式，人们称这种方程式为微分方程式微分方程的解是函数，而不是数，这是与代数方程不同的地方62微分方程应用题【例5】一起交通事故发生了个小时以后，警方测得司机的血液中酒精的含量是3又过了两个小时，其血液内酒精含量降为，试判断，当,/10/56MLG/10/4MLG事故发生的时候，司机是否违反了酒精含量的规定（不超过）8解设为时刻血液中酒精的浓度，则浓度递减率的模型应为，其通解是TCKC，而就是所求量由题设可知故有KTET00,405,63C和563KEC05KE由此解得合肥师范学院2013届本科生毕业论文（设计）8945601740/5632KKECKE可见在事故发生时，司机血液中酒精的浓度已经超出了规定7高等数学中有关概率论的应用关于概率论方面的应用题，可以发现其应用题种类繁多，应当结合题目所涉及的具体情境，对隐含在题目已知条件中的隐含条件进行分析，找出他们当中的关系，最终回到利用概率知识求解概率模型的解题思路当中在这里，本文就以最基本的两个类型进行介绍71古典型概率称随机试验（随机现象）的概率模型为古典概型（也称等可能概型），如果其基本事件空间（样本空间）满足（1）只有有限个基本事件（样本点）；（2）每个基本事件（样本点）发生的可能性都一样如果古典概型的基本事件总数为，事件包含个基本事件，即有利于的基本事NAKA件为个，则事件的概率定义为KA基本事件总数所含基本事件的个数事件KP由上式计算的概率称为事件的古典概型8【例6】一条公交车的路线，中途设有9个停靠站，最后达到终点站已知在起点站上有20位乘客上车，那么在第一站恰有4位乘客下车的概率是多少（假设每位乘客在各车站下车时等可能的）解设事件表示第一站有4位乘客下车，则样本空间所含样本点总数为，而事件A201是20位乘客中有4人在第一站就下车，其余16位没有在第一站下车，他们将在第一站后面的9个站（包含终点站）下车，因此有利于事件的样本点为A64209C根据古典概型公式有08912640CA72几何型概率称随机试验（随机现象）的概率模型为几何模型，如果（1）样本空间（基本事件空间）是一个可度量的几何区域；（2）每个样本点（基本事件）发生的可能性都是一样的，即样本点落入的某一个可度量的子区域的可能性大小与的几何度量成正比，而与的位置及形状无关AAA在几何概率型随机试验中，如果是样本空间的一个可度量的子区域，则事件S“样本点落入区域”的概率定义为AAS合肥师范学院2013届本科生毕业论文（设计）9的几何度量的几何度量ASP由上式计算的概率称为事件的几何型概率A8【例7】甲乙两人相约于12点至1点在某地会面先到的人需等候另一个人20分钟，过时就立即离开，设两人的到达时刻在12点至1点间都是随机和等可能的，则求这两人会面的概率P解以表示甲到达的时刻，以表示乙到达的时刻XY要这两个人会面，其充要条件是20X记事件表示“两人能会面”，表示所有可能，则A，,YXYA，600X95462PP8结束语通过大学对高等数学的学习，我们知道高等数学应用题种类很多，而本文中主要介绍了六类高等数学中的应用题类型，即高等数学中导数的