2017步步高《单元滚动检测卷》高考数学苏教版数学（理）精练八　立体几何与空间向量

1 高三单元滚动检测卷 数学 考生注意： 1 本试卷分第 卷 (填空题 )和第 卷 (解答题 )两部分，共 4 页 2 答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上 3 本次考试时间 120 分钟，满分 160 分 4 请在密封线内作答，保持试卷清洁完整 单元检测八 立体几何与空间向量 第 卷 一、填空题 (本大题共 14 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 70 分 请把答案填在题中横线上 ) 1 已知 、 是两个不同的平面 ， 给出下列四个条件 ： 存在一条直线 a， a ， a ； 存在一个平面 ， ， ； 存在两条平行直线 a、 b， a ， b ， a ， b ； 存在两条异面直线 a、 b， a ， b ， a ， b ， 可以推出 的是 _ 已知六棱锥 P 底面是正六边形 ， 平面 2则下列结论中 ： 平面 平面 直线 平面 45. 其中正确的有 _(把所有正确的序号都填上 ) 3 则下列命题正确的是 _ 4 设三棱柱的侧棱垂直于底面 ， 所有棱长都为 a， 顶点都在一个球面上 ， 则该球的表面积为_ 在正方体 E， 给出下列说法 ： 2 E， C， 5； 面 平面 其中 ， 正确说法的个数是 _ 6 (2015郑州第二次质量预测 )设 ， ， 是三个互不重合的平面 ， m， n 是两条不重合的直线 ， 则下列命题中正确的是 _ 若 ， ， 则 ； 若 ， m ， 则 m ； ， m， m ， 则 m ； m ， n ， ， 则 m n. 侧棱长为 2 3的正三棱锥 V ， 40， 过 A 作截面 则截面 _ 8 已知矩形 ， 当矩形周长最小时 ， 沿对角线 则三棱锥D _ 9 (2015无锡模拟 )如图 ， 边长为 ， 已知 A 则下列命题中正确的是 _ 动点 A 在平面 的射影在线段 ； 平面 A 三棱锥 A 10 (2015成都模拟 )如图 ， 在棱长为 4 的正方体 A B C D 中 ， E， D，A D 的中点 ， 长为 2 的线段 一个端点 M 在线段 运动 ， 另一个端点 N 在底面A B C D 上运动 ， 则线段 中点 曲面 )与二面角 A A D B 所围成的几何体的体积为 _ 3 11 (2015宁夏银川一中模拟 )已知直线 l， m， 平面 ， ， 且 l ， m ， 给出下列四个命题 ： 若 ， 则 l m； 若 l m， 则 ； 若 ， 则 l m； 若 l m， 则 . 其中为真命题的序号是 _ 12 如图所示 ， 四棱锥 P 侧棱 a， 2a， 则它的 5 个面中 ， 互相垂直的面有 _对 13 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 43， 半径为 18 扇形 ， 则圆锥母线与底面所成角的余弦值为 _ 14 (2015成都二诊 )已知单位向量 i， j， k 两两所成夹角均为 (0 ， 且 2)， 若空间向量 a zk(x， y， z R)， 则有序实数组 (x， y， z)称为向量 a 在 “ 仿射 ” 坐标系 O为坐标原点 )下的 “ 仿射 ” 坐标 ， 记作 a (x， y， z) 已知 a (2,0， 1)， b (1,0,2)， 则 ab 0； 已知 a (x， y,0)3， b (0,0， z)3， 其中 0， 则当且仅当 x y 时 ， 向量 a， b 的夹角取得最小值 ； 已知 a (， b (， 则 a b (； 已知 (1,0,0)3， (0,1,0)3， (0,0,1)3， 则三棱锥 O _(写出所有真命题的序号 ) 4 第 卷 二、解答题 (本大题共 6 小题 ， 共 90 分 解答时应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ) 15 (14 分 )(2015扬州模拟 )如图 ， 在平行六面体 E， M， D， 求证 ： (1) (2)平面 16 (14 分 )如图所示 ， 已知四棱锥 P 底面 等腰梯形 ， 且 O 是 平面 124， A 的中点 (1)证明 ： 平面 平面 (2)求平面 17.(14 分 )如图 ， 三棱柱 侧棱垂直于底面 ， 90， 12是棱 (1)证明 ： 平面 平面 (2)平面 求这两部分体积的比 5 18 (16 分 )(2015云南第二次统测 )如图 ， 在三棱锥 P 底面 的正三角形 ， 2 3， 侧面 底面 M， B， (1)求证 ： (2)求二面角 N 19.(16 分 )(2015北京朝阳区期末 )如图 ， 在三棱锥 P 平面 (1)求证 ： (2)设 O， C， 点 且满足 13( )， 求证 ： 平面 (3)若 2， 4， 求二面角 A 20.(16 分 )(2014安徽 )如图 ， 四棱柱 底面 梯形 ， 且 1， C， ， 的交点为 Q. (1)证明 ： (2)求此四棱柱被平面 所分成上 、 下两部分的体积之比 ； (3)若 4， 2， 梯形 ， 求平面 与底面 成二面角的大小 6 答案 解析 1 解析 对于 ，平面 与 还可以相交； 对于 ，当 a 一定能推出 ， 所以 是错误的，易知 正确 2 解析 由 平面 平面 又由正六边形的性质得 A， 得 平面 又 平面 正确； 平面 平面 平面 平面 成立， 错； 由正六边形的性质得 又 平面 面 平面 直线 平面 错； 在 2 45， 正确 3 解析 对于 ，通过常见的图形正方体， 从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，得到 错； 对于 ， 0， 又 0， 对； 对于 ，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故 错； 对于 ，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故 错 析 根据题意条件可知三棱柱是棱长都为 下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为 R 02 712的表面积 S 44735 3 解析 E， C， 正确； 1点在 7 正确； 1 其正切值为 22 ，故 错误； 平面 正确； C， 错误 6 解析 错，两平面可平行； 错，直线可在平面内； 正确，符合线面平行的判定定理条件； 错，两直线可平行，综上可知 正确 7 6 解析 沿着侧棱 正三棱锥 V 图， 则 即为截面 3 40 120. 在 中，由余弦定理可得 6，故答案为 6. 8 16 解析 设矩形的两邻边长度分别为 a， b，则 8，此时 2a 2b 4 8 2，当且仅当 a b 2 2时等号成立，此时四边形 中心到四个顶点的距离相等，均为 2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为 2 的球面上，这个球的表面积是 4 22 16. 9 解析 中由已知可得面 A 面 点 A 在面 根据线面平行的判定定理可得 平面 A 当面 A 面 棱锥 A 析 连结 8 平面 A B C D ， 又 点 N 的中点， 121， 即得点 为球心，半径为 1 的球在二面角 A A D B 内的部分， 即为球的 14，其体积 V 14 43 13 3. 11 解析 正确，因为 l ， l ，又 m ，故 l m； 错，当两平面相交且交线为直线 错，各种位置关系均有可能； 正确， l ， l m m ，又 m，所以 ，综上可知命题 为真命题 12 5 解析 底面 侧棱 a， 2a， 可得 底面 平面 平面 可得：平面 平面 面 平面 平面 得平面 平面 平面 得平面 平面 平面 得平面 平面 析 设母线长为 l，底面半径为 r，则依题意易知 l 18 2代入数据即可得 r 12 此所求角的余弦值即为 1218 23. 14 解析 对 ， a 2i k， b i 2k， 9 则 ab (2i k)(i 2k) 2 3ik 2 3， 当且仅当 2时， 3 0，故 错误； 如图所示在正方体中设 x， y， 若 a (x， y,0)， b (0,0， z)， 则当且仅当在平面 使 平面 a， 时， x y 0，故 错误； 由题意 a b 所以 a b ( (x2)i (y2)j (z2)k，故 正确； 如图所示，正方体的边长为 22 ，三棱锥 O 边长为 1 的正四面体， 其体积为 ( 22 )3 13 12 ( 22 )2 22 4 212， 故 正确 15 证明 (1) M， D， 又 四边形 又 而 (2)方法一 连结 1点，连结 四边形 1 面 平面 所以 平面 10 方法二 取 点，连结 E， 1四边形 又 面 平面 平面 又 1H，则四边形 又 面 平面 平面 H， 平面 平面 而 平面 平面 16 (1)证明 因为 O， B， 所以 又因为 面 平面 所以 平面 因为 12以 又因为 以四边形 所以 又因为 面 平面 所以 平面 因为 B， O， 所以平面 平面 (2)解 方法一 延长 于点 E，连结 平面 平面 B以 等 过点 A 作 点 Q，连结 二面角定义可知， 易求得 8， 8， 4 2， 11 由等积法求得 2 7 所以 Q 28 28 642 2 7 2 7 170， 所以所求角为 所以 17， 因此平面 7. 方法二 以 立如图所示的空间直角坐标系 则 P(0,0,4)， B( 4,0,0)， A(4,0,0)， C( 2， 2 3， 0)， D(2， 2 3， 0) 因为 ( 4,0， 4)， (2， 2 3， 0)， 所以易求得平面 ( 3， 1， 3) 又 (4,0， 4)， ( 2， 2 3， 0)， 所以易求得平面 ( 3， 1， 3) 设 为平面 则 | 3 3 1 1 3 3|3 1 3 3 1 3 17， 所以平面 7. 17 (1)证明 由题设知 C， 平面 又 平面 由题设知 45， 90，即 又 C， 平面 又 平面 平面 平面 12 (2)解 设棱锥 B 1， 1. 由题意得 13 1 22 1 1 12. 三棱柱 1， (V 1 1. 平面 1. 18 (1)证明 取 ，连结 又 平面 平面 平面 面 由已知得 A(2,0,0)， B(0,2 3， 0)， C( 2,0,0)， P(0,0,2 2)， M(1， 3， 0)， N(0， 3， 2) ( 4,0,0)， (0,2 3， 2 2)， 0， . (2)解 (3， 3， 0)， ( 1,0， 2)， 设 n (x， y， z)为平面 n 3x 3y 0，n x 2z 0，取 z 1，得 x 2， y 6. n ( 2， 6， 1)为平面 又 (0,0,2 2)为平面 二面角 N ，由已知得二面角 N nn| 13. 二面角 N 3. 19 (1)证明 因为 平面 平面 13 所以 B A， 所以 平面 又因为 平面 以 (2)证明 方法一 因为 平面 以 又因为 以以 别以 立如图所示的空间直角坐标系 A C 2a， b， 2c，则 A(0,0,0)， B(0， b,0)， C(2a,0,0)，P(0,0,2c)， D(0,0， c)， O(a,0,0)， 又因为 13( )，所以 G(0)， 于是 ( c)， (2a， b,0)， (0， b， 2c) 设平面 n ( 则有 n 0n 0，即 20，20. 不妨设 1，则有 2 所以 n (21) 因为 n (21)( c) ca21( c) 0， 所以 n ， 又因为 面 以 平面 方法二 取 ，连结 12( ) 14 由已知 13( )可得 23， 则点 连结 延长交 ，连结 因为 O， C， 以 又因为 A 的中点， 所以 G平面 平面 所以 平面 (3)解 由 (2)可知平面 n (21) (2,2,1) 又因为 平面 所以面 C (2,0,0) 又 n， nn| 43 2 23， 由图可知，二面角 A 所以二面角 A 3. 20 (1)证明 因为 B， A，所以平面 平面 从而平面 即 故 对应边相互平行， 于是 所以 12，即 (2)解 如图 (1)，连结 h，梯形 高为 d，四棱柱被平面 所分成上下两部分的体积分别为 V 上 和 V 下 ， a，则 2a. 图 (1) 13122 ahd 13 15 13a 2d(12h) 14 所以 V 下 712 又 132 所以 V 上 1V 下 327121112故 V 上 V 下 11 7. (3)解 方法一 如图 (1)，在 足为 E，连结 又 A， 所以 平面 是 所以 与底面 因为 2以 S