2016年玉林、贵港、梧州市高考数学模拟试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 23 页） 2016 年广西玉林、贵港、梧州市高考数学模拟试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 A=x| 3 x 6， B=x|2 x 7，则 A（ =（ ） A（ 2， 6） B（ 2， 7） C（ 3， 2 D（ 3， 2） 2已知复数 z 满足 z（ 1+2= ，（ i 为虚数单位），则复数 z 的虚部为（ ） A 2 B 2 C 2i D 3 3命题 “若 b，则 a ”的逆否命题为（ ） A若 b，则 a 或 a B若 b，则 a 或 a C若 a 或 a ，则 b D若 a 或 a ，则 b 4已知变量 x， y 之间的线性回归方程为 = 变量 x， y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ） x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A变量 x， y 之间呈现负相关关系 B m=4 C可以预 测，当 x=11 时， y=由表格数据知，该回归直线必过点（ 9， 4） 5（ x+ ） 6 的展开式中，常数项为 15，则正数 a=（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 6已知函数 y=2x+）（ 0， 0 ）的图象上相邻两个最高点的距离为 ，若将函数 f（ x）的图象向左平移 个单位长度后，所得图象关于 x= 轴对称，则 f（ x）的解析 式为（ ） A f（ x） =2x+ ） B f（ x） =22x+ ） C f（ x） =2x+ ） D f（ x） =22x+ ） 7已知各项均为正数的数列 足 a1=， b =，且 9b = ，则（ ） A数列 是等比数列，且 B数列 是等差数列，且 第 2 页（共 23 页） C数列 是等比数列，且 2n 1） 3n 1 D数列 是等差数列，且 2n 1） 3n 1 8已知函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，且当 x 0 时， f（ x） =x+1），若 f（ ） 1，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， ） B（ 1， 1） C（ ， ） （ ， +） D（ ， 1） （ 1， +） 9已知 x， y 满足 ，若 z=4x y 的最大值为 ，则 a 的值为（ ） A 7 B 6 C 5 D 4 10网格纸上小正方形的边长为 1，如图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A 44 B 56 C 68 D 72 11已知双曲线 ，双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点分别为 M 是双曲线 条渐近线上的某一点，且 离心率相同，且 S =16，则双曲线 实轴长为（ ） A 4 B 8 C 16 D 32 12若关于 x 的不等式 ax+a 0 的解集为（ m， n）（ n 0），且（ m， n）中只有一个整数，则实数 a 的取值范围是（ ） A ， ） B ， ） C ， ） D ， ） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 . 13已知平面向量 ， 的夹角为 ， | |=4， | |=2，则 | 2 |= 14运行如图程序框图若输入的 n 的值为 3，则输出的 n 的值为 第 3 页（共 23 页） 15如图，三棱锥 S ， 平面 ， 2， ，则三棱锥 S 接球的表面积为 16已知数列 ， ，其前 n 项和为 ，若数列 的前 n 项和，则 n= 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 . 17在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c已知 （ ）求角 A 的大小； （ ）若 ， ，求 上的高 18为了调研某地区男性的身高情况，研究机构在该地区随机抽取了 30 位不同的男性居民进行身高测量，现将数据整理如下（单位： 157 168 169 172 159 175 175 176 176 191 159 159 173 174 180 181 170 181 187 157 158 161 162 164 165 178 168 182 184 （ 1）请将上述数据整理并绘制在如图的茎叶图中； （ 2）用样本估计总体若从该地区所有男性居民中随机选取 4 人，记 4 人中身高超过 175，求 X 的分布列和数学期望 第 4 页（共 23 页） 19已知四棱柱 ， 平面 面 菱形，点 F 在， 20， B=3， = （ 0 1） （ 1）若 平面 的值； （ 2）求平面 平面 成的锐二面角的余弦值 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，且（ 4， 0）在椭圆 C 上，圆 M：x2+y2=直线 l： y=8x 的一个交点的横 坐标为 1 （ 1）求椭圆 C 的方程与圆 M 的方程； （ 2）已知 A（ m， n）为圆 M 上的任意一点，过点 A 作椭圆 C 的两条切线 探究直线 位置关系，并说明理由 21已知函数 f（ x） =4 1）求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若函数 g（ x） = +3a 0），证明：函数 g（ x）有且仅有 1 个零点 选修 4何证明选讲 22如图， 圆 O 的直径， A 为圆 O 上一点，过点 A 的直线与圆 O 相切，且与线段 交于点 D， E 为线段 长线上的一点，且 （ 1）求证 D=D； （ 2）若 ， ，求 长 选修 4标系与参数方程选讲 23已知曲线 C 的参数方程为 ，（ 为参数），以坐标原点为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点 A 的极坐标为（ 2 ， ） （ 1）写出曲线 C 的极坐标方程，并求出曲线 C 在点（ ， 1）处的切线 l 的极坐标方程； （ 2）若过点 A 的直线 m 与曲线 C 相切，求直线 m 的斜率 k 的值 第 5 页（共 23 页） 不等式选讲 24已知 m， n R+，且 m n （ 1）若 n 1，比较 m2+n 与 mn+m 的大小关系，并说明理由； （ 2）若 m+2n=1，求 + 的最小值 第 6 页（共 23 页） 2016 年广西玉林、贵港、 梧州市高考数学模拟试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 A=x| 3 x 6， B=x|2 x 7，则 A（ =（ ） A（ 2， 6） B（ 2， 7） C（ 3， 2 D（ 3， 2） 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 求出 B 的补集，从而求出其和 A 的交集即可 【解答】 解： B=x|2 x 7， =x|x 2 或 x 7， A（ =（ 3， 2， 故选： C 2已知复数 z 满足 z（ 1+2= ，（ i 为虚数单位），则复数 z 的虚部为（ ） A 2 B 2 C 2i D 3 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 首先利用虚数单位 i 的运算性质化简，变形后再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解：由 z（ 1+2= ，得 z= ， ， 复数 z 的虚部为 2， 故选： B 3命题 “若 b，则 a ”的逆否命题为（ ） A若 b，则 a 或 a B若 b，则 a 或 a C若 a 或 a ，则 b D若 a 或 a ，则 b 【考点】 四种命题 【分析】 根据原命题和逆否命题的关系判断即可 【解答】 解：原命题的形式为 “若 p 则 q”， 则逆否命题的形式为 “若 q 则 p”， 故逆否命题为：若 a 或 a ，则 b， 故选： C 第 7 页（共 23 页） 4已知变量 x， y 之间的线性回归方程为 = 变量 x， y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ） x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A变量 x， y 之间呈现负相关关系 B m=4 C可以预测，当 x=11 时， y=由表格数据知，该回归直线必过点（ 9， 4） 【考点】 线性回归方程 【分析】 求出 ，代入回归方程解出 ，列方程解出 m 【解答】 解： = =9， = 9+ ，解得 m=5 故选 B 5（ x+ ） 6 的展开式中，常数项为 15，则正数 a=（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 写出二项展开式的通项，由 x 得指数为 0 求得 r 值，结合常数项为 15 即可求得正数 a 的值 【解答】 解：由 = ， 令 ，得 r=4， x+ ） 6 的展开式中的常数项为 ， 解得： a=1（ a 0） 故选： A 6已知函数 y=2x+）（ 0， 0 ）的图象上相邻两个最高点的距离为 ，若将函数 f（ x）的图象向左平移 个单位长度后，所得图象关于 x= 轴对称，则 f（ x）的解析式为（ ） A f（ x） =2x+ ） B f（ x） =22x+ ） C f（ x） =2x+ ） D f（ x） =22x+ ） 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由周期求出 ，根据 y=x+）的图象变换规律、正弦函数的对称性，求出 的值，可得函数的解析式 第 8 页（共 23 页） 【解答】 解：由题意知： =，得 =2，向左平移 个单位长度后得 f（ x） =22x+）， 因为，所得图象关于 x= 轴对称， 所以， + +=， k Z， 所以， =， k Z， 因为， 0 ， 所以， = 可得 f（ x）的解析式为 f（ x） =22x+ ） 故选： B 7已知各项均为正数的数列 足 a1=， b =，且 9b = ，则（ ） A数列 是等比数列，且 B数列 是等差数列，且 C数列 是等比数列，且 2n 1） 3n 1 D数列 是等差数列，且 2n 1） 3n 1 【考点】 数列递推式 【分析】 由 9b =可得 q=3，化简 = 可得 =2，从而求得 【解答】 解： 9b =， q=3， n 1； 又 = ， 第 9 页（共 23 页） = = +2， =2， 数列 是以 =1 为首项， 2 为公差的等差数列， =1+2（ n 1） =2n 1； 2n 1） 3n 1 故选 D 8已知函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，且当 x 0 时， f（ x） =x+1），若 f（ ） 1，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， ） B（ 1， 1） C（ ， ） （ ， +） D（ ， 1） （ 1， +） 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 根据函数的奇偶性不等式 f（ 1） 1 等价为 f（ |1|） f（ 2），利用函数的单调性解不等式即可得到结论 【解答】 解：由于函数 y=f（ x）的图象 关于 y 轴对称，且在 x 0 上为增函数， f（ 2） =1 不等式 f（ 1） 1 等价为 f（ |1|） f（ 2） 即 |1| 2，由此解得 a ， 故选： A 9已知 x， y 满足 ，若 z=4x y 的最大值为 ，则 a 的值为（ ） A 7 B 6 C 5 D 4 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，和目标函数取得最大值时的直线方程求出交点坐标A，利用 A 也在直线 y=3x a 上，代入求解即可 【解答】 解：作出不等式组 对应的平面区域如图： z=4x y 的最大值为 ， 作出 z=4x y= 的图象， 第 10 页（共 23 页） 由图象知 z=4x y= 与 y=x+ ，相交于 A， 由 得 ，即 A（ ， ）， 同时 A 也在 y=3x a 上， 则 =3 a， 即 a=4， 故选： D 10网格纸上小正方形的边长为 1，如图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A 44 B 56 C 68 D 72 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体为一个长方体切掉一个三棱柱和一个棱锥得到的几何体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体体积公式求出几何体的体积 【解答】 解：由三视图可知，该几何体为一个长方体切掉一个三棱柱和一个棱锥得到的几何体， 且长方体长、宽、高为 4、 4、 6； 三棱 柱的底面是直角边分别为 4、 3 的直角三角形，高为 4； 三棱柱的底面是直角边分别为 2、 4 的直角三角形，高为 3； 第 11 页（共 23 页） 该几何体的体积 V=4 4 6 =68， 故选： C 11已知双曲线 ，双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点分别为 M 是双曲线 条渐近线上的某一点，且 离心率相同，且 S =16，则双曲线 实轴长为（ ） A 4 B 8 C 16 D 32 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得双曲线 离心率，求得双曲线 条渐近线方程为 y= x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和三角形的面积 公式，化简整理解方程可得 a=8，进而得到双曲线的实轴长 【解答】 解：双曲线 的离心率为 ， 设 c， 0），双曲线 条渐近线方程为 y= x， 可得 | = =b， 即有 | =a， 由 S =16，可得 6， 即 2，又 a2+b2= = ， 解得 a=8， b=4， c=4 ， 即有双曲线的实轴长为 16 故选： C 12若关于 x 的不等式 ax+a 0 的解集为（ m， n）（ n 0），且（ m， n）中只有一个整数，则实数 a 的取值范围是（ ） A ， ） B ， ） C ， ） D ， ） 【考点】 其他不等式的解法 第 12 页（共 23 页） 【分析】 设 g（ x） =y=a，求出 g（ x）的最小值，结合函数的图象求出 a 的范围即可 【解答】 解：设 g（ x） =y=a， 由题设原不等式有唯一整数解， 即 g（ x） =直线 y=a 下方， g（ x） =（ x+1） g（ x）在（ ， 1）递减，在（ 1， +）递增， 故 g（ x） g（ 1） = ， y=a 恒过定点 P（ 1， 0）， 结合函数图象得 a 即 a ， ， 故选： B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 . 13已知平面向量 ， 的夹角为 ， | |=4， | |=2，则 | 2 |= 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由条件即可求出 ，且 ，从而进行数量积的运 算便可求出 的值，从而便可得出 的值 【解答】 解：根据条件： ； =16+16+16 =16 3； 故答案为： 14运行如图程序框图若输入的 n 的值为 3，则输出的 n 的值为 1 第 13 页（共 23 页） 【考点】 程序框图 【分析】 计算循环中 n 与 i 的值，当 i=7 时满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可 【解答】 解：模拟执行程序，可得 i=0， n=3 执行循环体，满足条件 n 为奇数， n=10， i=1 不满足条件 i 7，执行循环体，不满足条件 n 为奇数， n=5， i=2 不满足条件 i 7，执行循环体，满足条件 n 为奇数， n=16， i=3 不满足条件 i 7，执行循环体，不满足条件 n 为奇数， n=8， i=4 不满足条件 i 7，执行循环体，不满足条件 n 为奇数， n=4， i=5 不满足条件 i 7，执行循环体，不满足条件 n 为奇数， n=2， i=6 不满足条件 i 7，执行循环体，不满足条件 n 为奇数， n=1， i=7 满足条件 i 7，退出循环，输出 n 的值为 1 故答案为： 1 15如图，三棱锥 S ， 平面 ， 2， ，则三棱锥 S 接球的表面积为 216 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【分析】 由 平面 得 长度由于 得 0可把此三棱锥补成长方体，其外接球的直径为 长 【解答】 解： 平面 =6 2+122=180= = 0 可把此三棱锥补成长方体，其外接球的直径为 长 =216，解得 ， 第 14 页（共 23 页） 2R=6 ，解得 R=3 故所求的外接球的表面积 S=4 =216 故答案为： 216 16已 知数列 ， ，其前 n 项和为 ，若数列 的前 n 项和，则 n= 99 【考点】 数列的求和 【分析】 通过 ，利用 = 简可知数列 通项公式，进而裂项可知 = ，并项相加、比较即得结论 【解答】 解： ， = ， 整理得： ， 又 ， =2， 数列 通项公式 an=n， = = = ， 又 =1 = ， n=99， 故答案为： 99 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 . 17在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c已知 （ ）求角 A 的大小； （ ）若 ， ，求 上的高 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ ） 由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知 等式可得 0，解得 合 A 的范围即可得解 第 15 页（共 23 页） （ ）由余弦定理可解得： ，设 上的高为 h，由 ，即可解得 h 的值 【解答】 （本题满分为 15 分） 解：（ ）由 及正弦定理可得： ， 因为 A+B） = 所以 ， 因为 0，所以 ， 因为 0 A ，所以 （ ）由余弦定理可知： ， 所以： ， 解得： 设 上的高为 h，由 ， 得： ， 解得： h=1 18为了调研某地区男性的身高情况，研究机构在该地区随机抽取了 30 位不同的男性居民进行身高测量，现将数据整理如下（单位： 157 168 169 172 159 175 175 176 176 191 159 159 173 174 180 181 170 181 187 157 158 161 162 164 165 178 168 182 184 （ 1）请将上述数据整理并绘制在如图的茎叶图中； （ 2）用样本估计总体若从该地区所有男性居民中随机选取 4 人，记 4 人中身高超过 175，求 X 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）由该地区随机抽取了 30 位不同的男性居民身高测量数据，能作出茎叶图 （ 2）抽取 30 人中 10 人身高超过 175率为 ， X 的 可能取值为 0， 1， 2， 3， 4，且 XB（ 4， ），由此能求出 X 的分布列和数学期望 【解答】 解：（ 1）由该地区随机抽取了 30 位不同的男性居民身高测量数据，能作出茎叶图： 第 16 页（共 23 页） （ 2）抽取 30 人中 10 人身高超过 175率为 ， X 的可能取值为 0， 1， 2， 3， 4，且 X B（ 4， ）， P（ X=0） =（ ） 4= ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， P（ X=3） = = ， P（ X=4） = = ， X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P X B（ 4， ）， 19已知四棱柱 ， 平面 面 菱形，点 F 在， 20， B=3， = （ 0 1） （ 1）若 平面 的值； （ 2）求平面 平面 成的锐二面角的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）取 点 G，连结 别以 在直线为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 的值 （ 2）求出平面 一个法向量和平面 一个法向量，由此能求出平面 平面成的锐二面角的余弦值 【解答】 解：（ 1）如图所示，取 点 G，连结 第 17 页（共 23 页） 20， 面 分别以 在直线为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系， 则 D（ 0， 3， 1）， B（ ， ， 0）， C（ ）， F（ 0， 0， 1）， 0， 0， 3）， =（ 0， 3， 1）， =（ ， ， 0）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 x= ，得 =（ ）， = =（ 0， 3， 3），则 = =（ ， ， 3 3）， 平面 = ，解得 （ 2）设平面 一个法向量为 =（ x， y， z）， =（ ）， =（ 0， 3， 3）， ，取 x=1，得 =（ 1， ）， = = = ， 平面 平面 成的锐二面角的余弦值为 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，且（ 4， 0）在椭圆 C 上，圆 M：x2+y2=直线 l： y=8x 的一个交点的横坐标为 1 （ 1）求椭圆 C 的方程与圆 M 的方程； 第 18 页（共 23 页） （ 2）已知 A（ m， n）为圆 M 上的任意一点，过点 A 作椭圆 C 的两条切线 探究直线 位置关系，并说明理由 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由题意列关于 a， b， c 的方程组，求解方程组得到 a， b 的值，则椭圆方程可求；求得直线和圆的交点（ 1， 8），即可得到圆的方程； （ 2）当过点 A 与椭圆 C 相切的一条切线的斜率不存在时，切线方程为 x= 4，得到直线 y= 7 恰好为过点 A 与椭圆相切的另一条切线，于是两切线 相垂直；当过点 A（ m， n）与椭圆 C 相切的切线的斜率存在时，设切线方程为 y n=k（ x m），联立直线方程和椭圆方程，得到关于 x 的一元二次方程，利用判别式等于 0 能推导出直线 终相互垂直 【解答】 解：（ 1）由题意得 b=4， e= = ， 又 6， 解得 a=7， b=4， c= 椭圆 C 的方程为 + =1； 由题意可得圆 M： x2+y2=直线 l： y=8x 的一个交点为（ 1， 8）， 即有 5， 则圆 M 的方程： x2+5； （ 2）如图， 当过点 A 与椭圆 C： + =1 相切的一条切线的斜率 不存在时， 此时切线方程为 x= 4， 点 A 在圆 M： x2+5 上，则 A（ 4， 7）， 直线 y= 7 恰好为过点 A 与椭圆相切的另一条切线，于是两切线 相垂直； 当过点 A（ m， n）与椭圆 C 相切的切线的斜率存在时， 设切线方程为 y n=k（ x m）， 由 ， 得（ 49+162k（ n x+1632649 16=0， 由于直线与椭圆相切， =1024n 2 4（ 49+16 1632649 16） =0， 整理，得（ 16 9 ， ， P（ m， n）在圆 x2+5 上， m2+5， 16 m2=49， 1，则两直线互相垂直 综上所述，直线 终相互垂直 第 19 页（共 23 页） 21已知函数 f（ x） =4 1）求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若函数 g（ x） = +3a 0），证明：函数 g（ x）有且仅有 1 个零点 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间即可；（ 2）通过讨论 a 的范围结合函数的单调性以及根的判别式证明即可 【解答】 （ 1）解： f（ x）的定义域是（ 0， +）， f（ x） = ， 故 0 x 时， f（ x） 0， x 时， f（ x） 0， f（ x）在（ 0， ）递减，在（ ， +）递增； （ 2）证明： g（ x） = +g（ x） = ， 令 g（ 0） =0，得： =0， 当 =4 0，即 0 a 2 时， g（ x） 0， g（ x）在（ 0， +）递增， g（ x）最多只有一个零点； g（ x） = x（ x 2a） +0 x 2a 且 x 1 时， g（ x） 0， 当 x 2a 且 x 1 时， g（ x） 0， g（ x）有且只有一个零点； 当 =4 0，即 a 2 时，不妨设方程 =0 的两根是 则 0 1 在区间（ 0， ，（ +）递增，在（ 减， 由于 =0， g（ = + 1， 令 h（ t） =1， t （ 0， 1），则 h（ t） = t 0， h（ t）在（ 0， 1）递增， h（ h（ 1） = 0， 由此得 g（ g（ 0， 又 x 2a 且 x 1 时， g（ x） 0，故 g（ x）在（ 0， +）有且只有一个零点， 综上， a 0 时， g（ x）有且只有一个零点 选修 4何证明选讲 第 20 页（共 23 页） 22如图， 圆 O 的直径， A 为圆 O 上一点，过点 A 的直线与圆