高一数学等差数列与等比数列 新课标

多媒体辅助教学课件,等差数列与等比数列,公式,小结,目的,例题,等差数列与等比数列基本公式,等差数列an-an-1=d(常数)an=a1+(n-1)da,A,b等差,则A=,等比数列an/an-1=q(常数)an=a1qn-1a,G,b等比,则G2=abSn=,na1(q=1),Sn=,等差数列an,bn的性质:,m+n=k+l,则am+an=ak+al;nk等差,则,等差;,kan+b等差;k1an+k2bn等差;a1+a2+.+an,an+1+an+2+.+a2n,a2n+1+a2n+2+.+a3n,.等差.an等差Sn=cn2+bn(c0).,等比数列an,bn的性质:,m+n=k+l(m,n,k,lN),则aman=akal;nk等差,则,kan等比;k1ank2bn等比;a1+a2+.+an,an+1+an+2+.+a2n,a2n+1+a2n+2+.+a3n,.等比.公比qn;an等比Sn=c(qn-1)(c0)an等比且an0,则lgan等差;,等比;,例1:四个数,前三个成等比数列,它们的和是19;后三个成等差数列,和是12,求此四个数.,解法1:,如图:a1,a2,a3,a4,等比(a2)2=a1a3,等差2a3=a2+a4,已知:a1+a2+a3=19,已知:a2+a3+a4=12,a1+a2+a3=19(a2)2=a1a3a2+a3+a4=122a3=a2+a4,a1=9a2=6a3=4a4=2,a1=25a2=-10a3=4a4=18,或,例1:四个数,前三个成等比数列,它们的和是19;后三个成等差数列,和是12,求此四个数.,如图:a1,a2,a3,a4,解法2:,a-d,a,a+d,等差,等比a1,a-d,a,已知和为12=a-d+a+a+d=12,已知三数和为19=,=,或,四数为:9,6,4,2或25,-10,4,18.,19,为了便于解方程，应该充分分析条件的特征,尽量减少未知数的个数,用最少的未知数表达出数列的有关项的数量关系，促使复杂的问题转化为较简单的问题，获得最佳的解决方法。,归纳,练习1,练习1,1.已知等比数列an中,an0,且a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=()(A)5(B)10(C)15(D)20,2.数列an是等差数列,且S10=100,S100=10,则S110=()(A)88(B)-90(C)110(D)-110,3.ABC的三内角成等差数列,三边成等比数列,则三内角的公差为()(A)0(B)150(C)300(D)450,A,A,A,1.已知等比数列an中,an0,且a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=,a2a4=(a3)2,a4a6=(a5)2,原式=(a3+a5)2=25=a3+a5=5,(an0),提示:,2.数列an是等差数列,且S10=100,S100=10,则S110=()(A)88(B)-90(C)110(D)-110,S10,S20-S10,S30-S20,.,S110-S100成等差数列,公差10d.,解:,(S20-S10)-S10=10d),S110-S100=S10+(11-1)10d=100+10(-11/5)=78S110=78+S100=88,=10d=-11/5,S110-S100=S10+(11-1)10d,3.ABC的三内角成等差数列,三边成等比数列,则三内角的公差为(),解:A+B+C=1800,2B=A+C,b2=ac,B=600,A+C=1200,由正弦定理得:(sin600)2=sinAsinC,故A=B=C,公差d=0.,例2:已知数列an为等差数列,公差d0,an的部分项组成下列数列:恰好为等比数列,其中k10,k2=5,k3=17,求k1+k2+.+kn,即得出新数列的公比:q=3,再由,可解出kn,进而求出,根据数列an是等差数列,通项可写作:,an=a1+(n-1)d,可表示出:a1,a5=a1+4d,a17=a1+16d,再根据a1,a5,a17成等比数列,又可得:(a5)2=a1a17,于是可解出d=(1/2)a1.将解出的d代入a1,a5,a17,分析:,例2:已知数列an为等差数列,公差d0,an的部分项组成下列数列:恰好为等比数列,其中k10,k2=5,k3=17,求k1+k2+.+kn,解:,an为等比数列,设其首项为a1,则an=a1+(n-1)d,故(a1+4d)2=a1(a1+16d),(a1)2+8a1d+16d2=(a1)2+16a1d,例2:已知数列an为等差数列,公差d0,an的部分项组成下列数列:恰好为等比数列,其中k10,k2=5,k3=17,求k1+k2+.+kn,故,又q=3,d=(1/2)a1,归纳,1.本题是一个综合型的等差、等比数列问题，在解题过程中，分清那一步是用等差数列条件，那一步是用等比数列条件是正确解题的前提。2。仔细观察，找到两个数列序号间的联系，是使问题得解的关键。,练习2,练习2,1.如果a,b,c成等差数列,而a.c.b三数成等比数列,则a:b:c=_2.若数列1,2cos,22cos2,23cos3,.,前100项之和为0,则的值为_,1:1:1或4:1:(-2),2k(2/3)(kZ),1.如果a,b,c成等差数列,而a.c.b三数成等比数列,则a:b:c=_,a,b,c等差,2b=a+c,b=(a+c)/2,a.c.b等比,c2=ab,代,入,得:,c2=a(a+c)/2,解得:a=c或a=-2c,1:1:1或4:1:(-2),解:,2.若数列1,2cos,22cos2,23cos3,.,前100项之和为0,则的值为_,解:,经观察知,该数列是等比数列,首项为1,公比为2cos,它的前100项和:,Cos=-1/2,=2k(2/3),kZ.,例3.已知数列an中,a1a2,若存在常数p,使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立.(1)求p(2)证明an成等差数列,分析:本题已知Sn,需求p及an,所以必须根据公式求出a1,an.,因为条件中有a1a2,又可推测知:,本题需同时求a1,a2,才可利用a1a2排除增根.,故第一问的解答从计算a1,a2开始:,例3.已知数列an中,a1a2,若存在常数p,使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立.(1)求p(2)证明an成等差数列,（1）令n=1，s1=pa1，,因为S1=a1，故a1=pa1，a1=0或p=1,若p=1，则由n=2时，S2=2a2，即a2+a2=2a2,所以a1=a2，这与a1a2矛盾,故p1,所以a1=0，则由n=2，得a2=2pa2,因为a10，a20，p=1/2,解:,例3.已知数列an中,a1a2,若存在常数p,使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立.(1)求p(2)证明an成等差数列,(2)根据已求得的p=1/2,Sn=(1/2)nan,由等差数列定义,满足an-an-1=d(常数)的数列是等差数列,所以第一步求通项,第二步“作差”.,证明:,n2时,an=Sn-Sn-1=(1/2)nan-(1/2)(n-1)an-1,解得:(2-n)an=(1-n)an-1,例3.已知数列an中,a1a2,若存在常数p,使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立.(1)求p(2)证明an成等差数列,由(1)可得a1=0,a2-a1=a2,练习3,练习3,1.数列则是该数列的第_项.2.数列an对任意自然数n都满足且a3=2,a7=4,则a15=_,11,16,教学目的,1。系统掌握等差、等比数列定义与性质，灵活应用等差、等比数列的定义与性质。2。通过对问题的讨论，提高分析解决问题的能力。,小结,对等差等比综合问题1。要正确分清题目究竟是等差还是等比，不能混淆。2。掌握设元的技巧；3。要掌握分析数列问题的基本思想方法：抓两头，凑中间。,习题分析:,6.三数成等比数列,若将第三数减去32,则成等差数列,若再将等差数列的第二个数减去4,又成等比数列,原来三个是:_.,习题分析:,7.数列an各项均为正数,前n项和为An,数列b