轴向拉压变形课件

轴向拉压变形,(4.2,4.3),引言,目的:(1)分析轴向拉压刚度问题;提出刚度要求ll(2)求解轴向拉压静不定问题.静定问题:静不定问题(超静定问题):,方法和基础:,(1)虎克定律(2)几何关系(3)叠加法(4)能量法*,4-2杆拉压变形与叠加原理,一.纵向线应变与横向线应变,横向应变,纵向线应变,E为弹性模量，EA称抗拉刚度。,m称为横向变形系数或泊松(Poisson)比。,或,拉压虎克定律:当受力在一定的范围内杆件的伸长与外力成正比。,即,注意到：,即,三.横向变形,单向应力状态下,时,二.拉压虎克定律,虎克定律(单向应力状态),弹性模量E和泊松(Poisson)比为材料弹性常数。,表4-1材料的弹性摸量与泊松比,对于各向同性材料：,例3-1图示螺栓，l=600mm，直径d=100mm,L=0.3mm,E=210GPa,=0.3。求:应力?,螺栓的横向变形?,解:,1、求正应力,由虎克定律：,2、求螺栓的横向变形,四.叠加原理,如图所示，杆件AC同时受到F1与F2的作用。,解法：由截面法画出轴力图。,AB与BC段的轴向变形：,解法：（叠加法）,两者之和：,几个载荷同时产生的作用效果，等于个载荷单独作用产生的效果的总和,叠加原理适用的条件：因变量与自变量成线性关系。在弹性范围内，一般杆件的应力及变形与外力成正比。,用叠加原理,外力的作用效果：求应力和变形,叠加原理,2）构件的工作应力,（线弹性范围内）；,3）轴力N、横截面面积A为常量等直杠两端受轴向力；,讨论：,1.轴力变化时,1）L为“+”时伸长，为“-”时宿短，符号规定与轴力一致。拉为“+”，压为“-”。,2.横截面变化时：,阶梯状杆,五.公式的应用范围与注意事项,徐变截面杆：,锥角较度小，如10,例3-2图示圆杆，F=4kN,l1=l2=100mm,E=200GPa,l=0.10mm。求杆的直径d=?,解:,1、变形分析,FN1=2FFN2=F,AC杆的总伸长：,2、杆直径设计：,例3-3图示杆，1段为直径d1=20mm的圆杆，2段为边长a=25mm的方杆，3段为直径d3=12mm的圆杆。已知2段杆内的应力2=-30MPa，E=210GPa，求整个杆的伸长l.,解:,例3-4求两端直径分别为d1，d2的受拉锥度杆的总伸长量。,解：,徐变截面杆取dx微段研究：,故：,由,4-3桁架的节点位移,桁架有1，2杆组成，A点受F力作用。杆1：钢，E1=200GPa,A1=100mm2,l1=1m杆2：铝，E2=70GPa,A2=250mm2,l2=707mmF=10kN，求A点的位移。,解：求出杆1与杆2的轴力：,B,A,C,1,2,F,求出杆1与杆2的变形：,分别已B,C为圆心，BA1,CA2为半径画弧，交于A(变形后的A点）,45,4-3桁架的节点位移,桁架有1，2杆组成，A点受F力作用。杆1：钢，E1=200GPa,A1=100mm2,l1=1m杆2：铝，E2=70GPa,A2=250mm2,l2=707mmF=10kN，求A点的位移。,B,A,C,1,2,F,切线代替弧线！,过A2垂直与AC,过A1垂直与AB,交于A3;,A3与A近似重合,如图的几何关系：节点A的水平和铅直位移,45,总结：,1、小变形：变形与原结构尺寸相比；2、约束反力与内力：原结构尺寸；3、位移：切线代替圆弧的方法确定位移；,例3-5求图示结构结点A的垂直位移。,解:,解:,例2-5求图示结构结点A的垂直位移和水平位移。,1、画圆弧，求A,2、解直角三角形AAA”,解:,例2-5求图示结构结点A的垂直位移和水平位移。,1、画圆弧，求A,2、解直角三角形AAA”,O1:半径l1+l1,O2:半径l2+l2,例3-6图示结构中三杆的刚度均为EA,AB为刚体，P、l、EA皆为已知。求C点的垂直和水平位移。,解:,P,解：1）求轴力N（x）,P,x,x,x,2）求变形：,dx,dx,N（x）,N（x）,取微段dx研究,N（x）,x,P+AL,P,N（x）,例3-7考虑自重影响的等直杆变形。已知P、杆长L、A、E、容重。若已知求许可杆长。,(3）求许可杆长,积分：,B,D,C,4m,3m,BC杆为圆钢，直径d=20mm，BD杆为8号槽钢。=160MPa，E=200GPa，P=60KN，试求B点的位移。,解：,（1）分析构件受力：,取B点研究,P,P,（“-”表示,与图示方向相反，为压力）,B,例3-8简单托架如图。,B,D,C,3m,P,P,4m,（2）分析计算B点的位移：,假想把B节点松开，,B,受力后B点移到,其位移,4-4拉（压）超静定问题,静定问题：若未知力（外力或内力）的个数等于独立的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程即可解出全部未知力，这类问题称为静定问题，相应的结构称静定结构。,一.静定与超静定的概念,超静定问题：若未知力（外力或内力）的个数多于独立的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程便无法确定全部未知力，这类问题称为超静定问题或静不定问题.,引例:在日常生活中乃至在工程中我们常常遇到仅靠静力平衡方程无法求得约束反力的例子。“两个和尚抬水吃，三个和尚没水吃”，恐怕是最早说到超静定问题的例子了。1774年，欧拉在研究桌子四条腿的受力问题时才真正开始研究超静定问题。,多余约束：在静定结构上加上的一个或几个约束，对于维持平衡来说是不必要的约束（但对于特定地工程要求是必要的）称多余约束。对应的约束力称多余约束反力（B固端约束）,由于超静定结构能有效降低结构的内力及变形，在工程上（如桥梁等）应用非常广泛。,超静定次数：未知力个数与平衡方程数之差，也等于多余约束数,相应的结构称超静定结构或静不定结构。,二.拉（压）杆超静定问题的解法：,1.比较变形法,把超静定问题转化为静定问题解，但必须满足原结构的变形约束条件。,（1）选取基本静定结构（静定基如图），B端解除多余约束，代之以约束反力,解：,（3）比较两次计算的变形量，其值应该满足变形相容条件，建立方程求解。,（2）求静定基仅在原有外力作用下以及仅在代替约束的约束反力作用下在解除约束处的位移,解:画A结点受力图，建立平衡方程,未知力个数2个，平衡方程数1个，故为一次超静定。,2.几何分析法,例2-6.结构如图，,解超静定问题的关键是找出求解所有未知约束反力所缺少的补充方程。结构变形后各部分间必须象原来一样完整、连续、满足约束条件-即满足变形相容条件。,3）代入物理关系，建立补充方程,2）如图三杆铰结，画A节点位移图,列出变形相容条件。要注意所设的变形性质必须和受力分析所中设定的力的性质一致。由对称性知,4）联立、求解：,解：,本题为一次超静定,用几何法分析变形,1）变形相容条件：,A,c,b,设A点横移（左、右任选）、设右移：,图中几何关系：,即：,例2-7图示结构，各杆EA不同列出求解该结构杆静力平衡方程和相容方程。,把物理方程代入变形相容方程,可求得用内力表示的相容方程。,3）平衡方程：,须注意各杆内力应与所设变形一致,取节点A研究：,2）物理方程,图中1，2杆伸长，对应为拉力，3杆缩短，应对应为压力。,A,(1)建立坐标系,桌腿下部四个端点坐标是,(2)平衡方程,(3)变形相容方程-四点共平面,例2-8桌腿间距2aa，高为h的长方桌，在对角线的1/4处受力F作用(如图),求出桌腿所受的力。,(4)物理方程,、式联立求解：,RA=RC=F/4,RB=0,RD=F/2,例2-9三个杆受力如图，列出平衡方程、变形相容条件,解:,1）画受力图,写静力平衡方程,2）画变形图，找变形相容条件,变形以后三杆的端点仍共直线。,三杆下端坐标为,(-a,L+L3),(0,L+L2+),(b,L+L1),得到:b(L3-L2-)=a(L2+-L1),建立坐标系,三.拉（压）杆超静定问题解法的讨论,解拉（压）超静定问题必须正确地画出结构的变形图，然后分析结构特点，找出结构变形前后的不变量或者等量关系，再用数学方法刻画它,从而给出补充方程。观察问题的角度不同所采用的方法也会有很大差异。同一题，不同的解法难、易、繁、简也相去甚远。我们必须仔细分析找出最恰当的办法来。,1.比较变形法,常用于结构较为简单，一些特定节点位移已知且计算也较为简单的问题。,2.几何法分析变形,是求解超静定杆系的基本方法，常用于各杆的变形关系较为简单，超静定次数较低的杆系的求解。但是，一般情况下分析变形寻找等量关系较为困难。要注意利用对称与反对称关系。,例如：三根杆EA相同，求杆的内力。,解：本题可将荷载P向C点平移,正对称,反对称,正对称部分,反对称部分,N2=0,对称与反对称的利用,如下非对称问题也可以转化为对称与反对称问题。,=,+,3.解析法分析变形,对于变形较为复杂，几何分析较为困难的问题可以把结构放到坐标系中，给出变形后各节点的坐标。根据约束条件，就重要节点的共线、共面、共圆以及直线和圆的共点等特征，用解析几何的方法刻画变形相容关系。,（1）变形相容方程：,（2）三角形的面积关系：,以如图不对称结构为例，各点座标为：AO(xo,yo),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD),+,=,6.有限元法解超静定问题,对一些结构超静定次数很高的结构，只有借助有限元法利用计算机进行计算。这要等到以后再继续学习这方面的内容。,4.比拟法,可以把桌子腿受力问题比拟成合质量与质心坐标已知，求四个位置上质点的质量分布问题（如图）。,5.用能量法解超静定问题,对于较为复杂的结构来说，用能量法求解就会稍微容易些由于各杆的内力与变形方向一致,所以各杆的内力功之和必等于外载荷所做的功,补充方程为:,例2-9刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆材料相同，许用应力为，材料的弹性模量为E，杆长均为l，横截面面积均为A，试求结构的许可载荷P,解：静力平衡条件：,变形协调条件：,代入物理方程：,联立求解(1)和(2),得：,3杆轴力为最大,其强度条件为:,3-6热应力与初应力,一、热应力概念温度变化引起物体热胀冷缩。,在静不定杆或杆系中，各杆段或各杆的轴向变形必须服从变形协调条件，因此，当各杆段或各杆因温度变化发生变形时，一般将引起热应力。,al-热胀系数,例：如图所示，钢柱与铜管等长为，置于二刚性平板间,受轴向压力.钢柱与铜管的横截面积、弹性模量、线膨胀系数分别为s、s、s，及c、c、c。试导出系统所受载荷仅由铜管承受时，所需增加的温度。（二者同时升温）,CL2TU22,解：变形协调条件为铜管伸长等于钢柱伸长，即,解：变形协调条件为铜管伸长等于钢柱伸长，即