2013年高考北京文科数学试题及答案(word解析版).docx

精品文档2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1）【2013年北京，文1，5分】已知集合，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】，故选B（2）【2013年北京，文2，5分】设，且，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】：A选项中若小于等于0则不成立，B选项中若为正数b为负数则不成立，C选项中若，均为负数则不成立，故选D（3）【2013年北京，文3，5分】下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】A选项为奇函数，B选项为非奇非偶函数，D选项虽为偶函数但在上是增函数，故选C（4）【2013年北京，文4，5分】在复平面内，复数对应的点位于（ ）（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限【答案】A【解析】，其在复平面上的对应点为，该点位于第一象限，故选A（5）【2013年北京，文5，5分】在中，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】根据正弦定理，则，故选B（6）【2013年北京，文6，5分】执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）（A）1 （B） （C） （D）【答案】C【解析】依次执行的循环为，；，；，故选C（7）【2013年北京，文7，5分】双曲线的离心率大于的充分必要条件是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】该双曲线离心率，由已知，故，故选C（8）【2013年北京，文8，5分】如图，在正方体中，为对角线的三等分点，则到各顶点的距离的不同取值有（ ）（A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个【答案】B【解析】设正方体的棱长为a建立空间直角坐标系，如图所示则，则，故共有4个不同取值，故选B第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分（9）【2013年北京，文9，5分】若抛物线的焦点坐标为，则 ，准线方程为 【答案】2；【解析】根据抛物线定义，又准线方程为（10）【2013年北京，文10，5分】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 【答案】3【解析】由三视图知该四棱锥底面为正方形，其边长为3，四棱锥的高为1，根据体积公式，故该棱锥的体积为3（11）【2013年北京，文11，5分】若等比数列满足，则公比 ；前项和 【答案】2；【解析】由题意知由，（12）【2013年北京，文12，5分】设为不等式组所表示的平面区域，区域上的点与点之间的距离的最小值为 【答案】【解析】区域表示的平面部分如图阴影所示：根据数形结合知到的距离最小值为 到直线2x-y=0的距离（13）【2013年北京，文13，5分】函数的值域为_【答案】【解析】当时，即，当时，即；故的值域为（14）【2013年北京，文14，5分】向量，若平面区域由所有满足（，）的点组成，则的面积为 【答案】3【解析】，设，则得,，可得，如图可得，两直线距离，三、解答题：共6题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（15）【2013年北京，文15，13分】已知函数（1）求的最小正周期及最大值；（2）若，且，求的值解：（1）所以，最小正周期，当，即时，（2）因为，所以，因为，所以，所以，即（16）【2013年北京，文16，13分】下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天（1）求此人到达当日空气质量优良的概率；（2）求此在在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）解：（1）在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是（2）解法一：根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为解法二：此人停留的两天共有13种选择，分别是：，其中只有一天重度污染的为，共4种，所以概率为（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大（17）【2013年北京，文17，14分】如图，在四棱锥中，平面底面，和分别是和的中点，求证： （1）底面；（2）平面；（3）平面平面解：（1）因为平面底面，且垂直于这两个平面的交线，底面（2）因为，为的中点，所以，且所以为平行四边形所以又因为平面，平面，所以平面（3）因为，而且为平行四边形，所以，由（1）知底面，所以所以平面所以因为和分别是和的中点，所以所以所以平面所以平面平面（18）【2013年北京，文18，13分】已知函数（1）若曲线在点处与直线相切，求与的值；（2）若曲线与直线有两个不同的交点，求的取值范围解：（1）因为曲线在点处与直线相切，所以，解得，（2）解法一：令，得与的情况如下：0-0+1所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，是的最小值当时，曲线与直线最多只有一个交点；当时，所以存在，使得由于函数在区间和上均单调，所以当时曲线与直线有且仅有两个不同交点综上可知，如果曲线与直线有两个不同交点，那么的取值范围是解法二：因为，所以当时，单调递增；当时，单调递减 所以当时，取得最小值，所以的取值范围是（19）【2013年北京，文19，14分】直线，：相交于，两点，是坐标原点（1）当点的坐标为，且四边形为菱形时，求的长；（2）当点在上且不是的顶点时，证明四边形不可能为菱形解：（1）因为四边形为菱形，所以与相互垂直平分所以可设，代入椭圆方程得，即所以（2）解法一：假设四边形为菱形因为点不是的顶点，且，所以由，消并整理得设，则，所以的中点为因为为和的交点，且，所以直线的斜率为因为，所以与不垂直所以四边形不是菱形，与假设矛盾所以当点不是W的顶点时，四边形不可能是菱形解法二：因为四边形为菱形，所以，设，则，两点为圆与椭圆的交点，联立方程，得，所以，两点的横坐标相等或互为相反数因为点在上，若，两点的横坐标相等，点应为椭圆的左顶点或右顶点不合题意若，两点的横坐标互为相反数，点应为椭圆的上顶点或下顶点不合题意所以四边形不可能为菱形（20）【2013年北京，文20，13分】给定数列，对，该数列前项的最大值记为，后项，的最小值记为，（1）设数列为，写出，的值；（2）设，（）是公比大于的等比数列，且，证明，是等比数列；（3）设，是公差大于的等差数列，且，证明，是等差数列解：（1），（2）因为，（）是公比大于的等比数列，且，所以所以当时，所以当时，所以，是等比数列（3）解法一：若，是公差大于的等差数列，则， ，应是递