高中数学 3.3.2 均匀随机数的产生同步学案 新人教A必修

3.3.2均匀随机数的产生,自学导引,1.了解均匀随机数产生的方法与意义.2.利用计算机或计算器产生随机数,并能直接统计出频数,计算出频率.3.会设计简单的模拟试验的试验方法.,课前热身,1.0,1上均匀随机数的产生利用计算器的RAND函数可以产生0,1的均匀随机数,试验的结果是区间0,1内的任何一个实数,而且出现任何一个实数是等可能的,因此,可以用计算器产生的0到1之间的均匀随机数进行随机模拟.2.a,b上均匀随机数的产生利用计算器或计算机产生0,1上的均匀随机数x=RAND,然后利用伸缩平移变换,x=x1*(b-a)+a就可以得到a,b内的均匀随机数,试验的结果是a,b上的任何一个实数,并且任何一个实数都是等可能的.,3.随机数的产生方法实例法有:(1)掷骰子;(2)从一叠纸牌中抽牌.计算器法:按SHIFT、RAN#键都会产生01之间的随机数.计算机软件法:几乎所有的高级编程语言都有随机函数,借助随机函数可以产生一定范围的随机数.VFP、Scilab中的RAND()函数,还有几何画板中的ROUND()函数等等.,名师讲解,1.随机数就是在一定范围内随机产生的数,并且得到这个范围内的每一个数的机会是一样的.它有很广阔的应用,可以帮助我们安排和模拟一些试验,这样可以代替我们自己做大量重复试验,我们常用的是0,1上的均匀随机数(实数).2.利用随机模拟方法可求概率问题,其实质是先求频率,用频率近似代替概率.其关键是设计好“程序”或者说“步骤”,并找到各数据需满足的条件.,(1)由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数的组数,如长度型角度型需用一组,面积型需用两组;(2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围;(3)由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式.,典例剖析,题型一用随机模拟法估计长度型几何概型的概率例1:取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大?分析:在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍0,3内的任意数,并且每一个实数被取到都是等可能的.因此在任意位置剪断绳子的结果(基本事件)对应0,3上的均匀随机数,其中取得的1,2内的随机数就表示剪断位置与端点距离在1,2内,也就是剪得两段长都不小于1m.这样取得1,2内的随机数个数与0,3内个数比就是事件A发生的频率.,解:解法1:(1)利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数,a1=RAND.(2)经过伸缩变换,a=a1*3.(3)统计出1,2内随机数的个数N1和0,3内随机数的个数N.(4)计算频率即为概率P(A)的近似值.,解法2:做一个带有指针的圆盘,把圆周三等分,标上刻度0,3(这里3和0重合).转动圆盘记下指针指在1,2(表示剪断绳子位置在1,2范围内)的次数N1及试验总次数,则即为概率P(A)的近似值.,规律技巧:用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围.解法2用转盘产生随机数,这种方法可以亲自动手操作,但费时,费力,试验次数不可能很大;解法1用计算机产生随机数,可以产生大量的随机数,又可以自动统计试验的结果,同时可以在短时间内多次重复试验,可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识.,变式训练1:在区间0,3内任取一个实数,求该实数大于2的概率.,解:(1)利用计算机或计算器产生一组0,1上的均匀随机数a1=RAND;(2)经过伸缩变换a=a1*3,得到一组0,3上的均匀随机数;(3)统计出2,3内随机数的个数N1和0,3内的随机数的个数N;(4)计算出频率,即得概率P(A)的近似值.,题型二用随机模拟法估计面积型几何概型的概率,例2:现向下图中正方形内随机地投掷飞镖,求飞镖落在阴影部分的概率.,分析:我们有两种方法计算该事件的概率:(1)利用几何概型的公式;(2)用随机模拟的方法.,解:解法1:由于随机地投掷飞镖,飞镖落在正方形内每一个点的机会是等可能的,所以符合几何概型的条件.,解法2:(1)利用计算器或计算机产生两组0至1区间内的均匀随机数a1、b1(共N组);(2)经平移和伸缩变换a=(a1-0.5)*2,b=(b1-0.5)*2;(3)数出满足不等式b4的数组数N1,规律技巧:用随机模拟的方法估计几何概型的维数,以确定随机数的组数,其次由对应区域的长度确定随机数的范围,同时对于各组变量的随机试验还要正确处理变量间的函数关系.,变式训练2:如图,在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板,上面画了小中大三个同心圆,半径分别为2cm4cm6cm,某人站在3m之外向此板投镖,设投镖击中线上或没有投中木板时不算,可重投,问:,(1)投中大圆内的概率是多少?(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少?(3)投中大圆之外的概率是多少?解析:记事件A=投中大圆内,事件B=投中小圆与中圆形成的圆环,事件C=投中大圆之外.(1)用计算机产生两组0,1上的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND.,(2)经过伸缩平移变换,a=a1*16-8,b=b1*16-8,得到两组-8,8的均匀随机数.(3)统计投在大圆内的次数N1,投中小圆与中圆形成的圆环内的次数N2,投中木板的总次数N.(4)计算频率即分别为概率P(A)P(B)P(C)的近似值.,题型三利用随机模拟试验估计图形的面积,例3:利用随机模拟方法计算下图中阴影部分的面积(曲线为,分析:设(a,b)为阴影内一点,则构造矩形ABCD,显然S矩=42=8,问题转化为由矩形ABCD的面积求阴影部分面积,只须求的比值P即可.而此P值可看成求落在阴影部分的概率,利用随机模拟求解.,解:(1)利用计算机(或器)产生两组0至1间的均匀随机数,a1=RAND(),b1=RAND();(2)进行平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*4,b=(b1-0.5)*2;(3)数出落在阴影内的样本点数N1(即满足的点(a,b)的个数),用几何概型计算阴影部分的面积.如做500次试验,即N=500,模拟得到N1=387,所以,规律技巧:利用几何概型的模拟方法可以计算平面不规则图形的面积.其实质是几何概型概率公式的逆用,计算机(或计算器)的作用是利用随机模拟的方法产生概率近似值.,变式训练3:利用随机模拟方法计算如下图中阴影部分(曲线y=2x与x轴、x=1围成的部分)的面积.,分析:在坐标系中画出正方形,用随机模拟的方法求出阴影部分与正方形面积之比,从而求得阴影部分面积的近似值.解:(1)利用计算机产生两组0,1上的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND.(2)经过平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2,b=b1*2,得到一组-1,1的均匀随机数和一组0,2上的均匀随机数.(3)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1(满足条件b,只要AOB大于90.记“弦长|AB|超过”为事件C,则C表示的范围是AOB(90,270),由几何概型公式得,10.在集合(x,y)|0x5,且0y4内任取1个元素,能使代数式的概率是多少?,解:如图,集合(x,y)|0x5,且0y4为矩形(包括边界)内的点的