ch4-解析函数的局域性展开

解析函数的局域性展开,解析函数的泰勒展开解析函数的洛朗展开,解析函数的局域性展开,讲授要点,Taylor展开展开定理讨论基本函数展开式Taylor展开举例级数乘法与待定系数法多值函数的Taylor展开在无穷远点的Taylor展开解析函数的唯一性解析函数零点的孤立性解析函数的唯一性,解析函数的泰勒展开,幂级数解析函数的泰勒展开,定义（幂级数）,收敛特性：以a为中心的幂级数在某个圆内收敛且绝对收敛在上绝对一致收敛在圆外发散收敛圆收敛半径,定理（泰勒展开）,设函数f(z)在以a为圆心的圆C内及C上解析,则对于圆内的任何z点,f(z)可用幂级数展开为(或者说,f(z)可在a点展开为幂级数),其中,C取逆时针方向,定理（泰勒展开）,其中,证,根据柯西积分公式，对于圆C内任意一点z,有,讨论,定理的条件可以放宽，只要f(z)在C内解析即可,这里泰勒展开的形式和实变函数中的泰勒公式相同，但是条件不同,在实变函数中，f(x)的任何阶导数存在，还不足以保证泰勒公式存在（或泰勒公式收敛）,在复变函数中，解析的要求（一阶导数存在）就足以保证泰勒级数收敛,收敛范围：函数f(z)的奇点完全决定了泰勒级数的收敛半径.设b是f(z)的离a点最近的奇点,则一般说来,收敛半径R=b-a,f(z)在圆z-ab-a内处处解析，f(z)可以在圆内展开为泰勒级数（或者说，泰勒级数在圆z-ab-a内收敛）.这就是说，f(z)的泰勒级数收敛半径不小于b-a,收敛半径一般也不能大于b-a.否则，b点就包含在收敛圆内，因而幂级数在收敛圆内处处解析，与b点为奇点的假设矛盾(除非b点是可去奇点).,收敛半径R=i=1,实数范围内，泰勒级数的收敛半径与函数性质之间的联系就难以讨论,泰勒展开的唯一性：给定一个在圆C内解析的函数，则它的泰勒展开式是唯一的，即展开系数an是完全确定的,基本函数展开式,泰勒展开举例,求泰勒级数的方法难以一一罗列,这里只介绍一些普通常见的方法,中心指导思想：设法建立起与基本函数的关系,例1,有理函数总可以用部分分式的方法化简,例2,有些函数可以表示成更简单的函数的导数或积分，从而可以容易地求出其Taylor级数,例3,讲授要点,Taylor展开展开定理讨论基本函数展开式Taylor展开举例级数乘法与待定系数法多值函数的Taylor展开在无穷远点的Taylor展开解析函数的唯一性解析函数零点的孤立性解析函数的唯一性,例4,级数乘法,幂级数在收敛圆内绝对收敛，故级数相乘是合法的，乘积在两收敛圆的公共区域内仍绝对收敛,待定系数法,例5求tanz在z=0的泰勒展开,由于tanz是奇函数，故在z=0的泰勒展开应只有奇次幂,此恒等式在何区域内成立？,根据泰勒展开的唯一性，比较系数,逐次代入n=0,1,2,即可求出系数a1,a3,a5,应用待定系数法，能得到系数之间的递推关系，原则上可以逐个求出展开系数,但一般不容易求出级数的通项公式（即展开系数an的解析表达式）,如果只需要求出级数中德某一项或某几项系数，也可以采用待定系数法,讲授要点,Taylor展开展开定理讨论基本函数展开式Taylor展开举例级数乘法与待定系数法多值函数的Taylor展开在无穷远点的Taylor展开解析函数的唯一性解析函数零点的孤立性解析函数的唯一性,对于多值函数，在适当规定单值分枝后，即可像单值函数那样做泰勒展开,级数的收敛区域，还要视割线的做法而定，收敛半径等于z=0到割线的最短距离最大可能的收敛区域z1，R=1,例7求多值函数f(z)=ln(1+z)在z=0的泰勒展开,规定,在上述规定下，函数ln(1+z)可表示为定积分,例7：求多值函数f(z)=ln(1+z)在z=0的泰勒展开,规定,收敛区域也要看割线怎么作.收敛半径等于z=0到割线的最短距离，最大可能的收敛区域是z1,R=1,思考题：单值分枝的规定ln(1+z)z=0=0体现在何处？,例6和例7中的结果,也作为基本的函数展开式，应该熟记,讲授要点,Taylor展开展开定理讨论基本函数展开式Taylor展开举例级数乘法与待定系数法多值函数的Taylor展开在无穷远点的Taylor展开解析函数的唯一性解析函数零点的孤立性解析函数的唯一性,如果函数f(z)在z=点解析，则也可以在z=点展开成泰勒级数,f(z)在z=点解析，则f(1/t)在t=0点解析,所谓f(z)在点展开成泰勒级数，就是作变换z=1/t，而将f(1/t)在t=0点展开成泰勒级数,f(1/t)在t=0点的泰勒展开f(1/t)=a0+a1t+a2t2+antn+t1/r，也就是说，级数在以为圆心的某个圆内收敛,讲授要点,Taylor展开展开定理讨论基本函数展开式Taylor展开举例级数乘法与待定系数法多值函数的Taylor展开在无穷远点的Taylor展开解析函数的唯一性解析函数零点的孤立性解析函数的唯一性,解析函数的零点如果f(z)在a点及其邻域内解析，f(a)=0,则称z=a为f(z)的零点,因为f(z)在z=a点及其邻域内解析，故当z-a充分小时,若z=a为零点，则必有,相应地,z=a点为f(z)的m阶零点,解析函数的零点如果f(z)在a点及其邻域内解析，f(a)=0,则称z=a为f(z)的零点,零点的阶数都是确定的正整数-在函数的解析区域内，不可能有分数次的零点解析函数零点的一个重要性质是它的孤立性,讲授要点,Taylor展开展开定理讨论基本函数展开式Taylor展开举例级数乘法与待定系数法多值函数的Taylor展开在无穷远点的Taylor展开解析函数的唯一性解析函数零点的孤立性解析函数的唯一性,根据解析函数零点的孤立性定理，可以推出解析函数零点的下列性质：,推论2的成立范围是以z=a点为圆心的圆域，但是很容易推广到一半形状的区域,可以将,改写为,也可以将,改写为,作为它的特殊情形，还有,解析函数的洛朗展开,讲授要点,洛朗展开展开定理举例多值函数的洛朗展开单值函数的孤立奇点孤立奇点孤立奇点的分类函数在无穷远处的奇异性解析延拓一个例子解析延拓的概念,解析函数的洛朗展开,这就是洛朗展开,C是环域内绕内圆一周的任意一条闭合曲线,展开定理（洛朗展开）,将环域的内外边界分别记为C1和C2，根据复连通区域的柯西积分公式，对于环形区域内的任意一点z，有,下面分别计算沿C1和C2的积分,展开定理（洛朗展开）,对于沿C1的积分,展开定理（洛朗展开）,对于沿C1的积分,展开定理（洛朗展开）,对于沿C2的积分，可直接引用泰勒展开的结果,展开定理（洛朗展开）,将两部分合并起来，就有,积分路径统一写成了C，为什么能这样？,讨论,洛朗展开的条件也可以放宽为f(z)在环形区域R1z-bR2内单值解析即可,f(z)在C1内不解析,一般说来，在C1上有奇点,至于b点，可能是f(z)的奇点，也可能是f(z)的解析点,如果b点是C1内的唯一奇点，则C1可以无限缩小，收敛范围就变成能是f(z)的奇点，也可能是f(z)的解析点0z-bR.这时就得到f(z)在孤立奇点b的邻域内的洛朗展开,f(z)在C2外不解析,一般说来，在C2上有奇点,外周C2的半径也可以为，甚至在点也收敛,洛朗展开既有正幂项，又有负幂项,正幂项在圆C2内（z-bR1）绝对收敛，在C1外的任意一个闭区域中一致收敛，称为洛朗级数的主要部分,两部分合起来，就构成洛朗级数，在环域R1z-bR2内绝对收敛，在环域内的任意一个闭区域中一致收敛,当R1=0时，洛朗级数的主要部分就完全反映了f(z)在z=b点的奇异性,洛朗展开的唯一性,设f(z)在R1z-bR2内有两个洛朗级数,评述,洛朗展开的唯一性告诉我们,不论用什么方法，得到的f(z)在同一个环形区域内的洛朗展开式唯一的,如果(在同环域的)两个泰勒级数相等，则可以逐项比较系数,在无穷远点的洛朗展开,如果无穷远点是函数f(z)的奇点，而在无穷远点的邻域内单值解析的话，则可将f(z)在点的邻域内作洛朗展开(有时就简单地说成在点作洛朗展开),讲授要点,洛朗展开展开定理举例多值函数的洛朗展开单值函数的孤立奇点孤立奇点孤立奇点的分类函数在无穷远处的奇异性解析延拓一个例子解析延拓的概念,求洛朗展开，可以直接利用公式求系数(这时要计算围道积分，一般比较麻烦).除此之外，没有求洛朗展开的特殊方法,由于函数在给定环域内的洛朗展开是唯一的，因此，不论用什么方法，只要得到了在这个环域内收敛到f(z)的幂级数，那它就一定是f(z)的洛朗展开,洛朗展开中讲过的方法，以及有关的结果，都可以应用来求洛朗展开,例1求在0|z|1内的展开式,在0|z|1内的展开式,此题中的函数与例1相同，但展开区域不同,评述,这个级数可以看成是函数在z=0为心的环域1|z|内的展开,也可以看成是函数在z=邻域内的幂级数展开式,而且是函数在z=邻域内的泰勒展开,事实上，函数在z=处解析,例3用待定系数法求cotz在z=0领域内的洛朗展开,令n=0,1,2,逐次求解，即得,由此得到递推关系,例3用待定系数法求cotz在z=0领域内的洛朗展开,根据cotz的奇点分布，可判别此级数的收敛范围为0|z|0,其中,评述,讲授要点,洛朗展开展开定理举例多值函数的洛朗展开单值函数的孤立奇点孤立奇点孤立奇点的分类函数在无穷远处的奇异性解析延拓一个例子解析延拓的概念,讲授要点,洛朗展开展开定理举例多值函数的洛朗展开单值函数的孤立奇点孤立奇点孤立奇点的分类函数在无穷远处的奇异性解析延拓一个例子解析延拓的概念,孤立奇点设f(z)为单值函数(或多值函数的一个单值分枝)，b点是它的奇点.如果在b点存在一个邻域，在该邻域内(除b点外)，f(z)处处可导，则称b为f(z)的孤立奇点,非孤立奇点的例子,z=0是这些奇点的聚点：在z=0的任意一个邻域中，总存在无穷多个奇点,因此z=0是非孤立奇点,讲授要点,洛朗展开展开定理举例多值函数的洛朗展开单值函数的孤立奇点孤立奇点孤立奇点的分类函数在无穷远处的奇异性解析延拓一个例子解析延拓的概念,可能出现三种情况,级数展开式不含负幂项b点称为f(z)的可去奇点,级数展开式只含有限个负幂项b点称为f(z)的极点,级数展开式只有无穷多个负幂项b点称为f(z)的本性奇点,可去奇点,举例,z=0是可去奇点,函数在可去奇点处的行为,由于在可去奇点处，级数展开式中不含负幂项，故级数不只是在环域内收敛，而且在环域的中心，即可去奇点z=b处也收敛,收敛区域是一个圆，圆心在可去奇点z=b，级数在收敛圆内的任一闭区域中一致收敛,函数在可去奇点处的行为,极点,函数在极点邻域内洛朗展开有有限个负幂项,函数在极点处的行为,（证明见下页）,函数在极点处的行为,利用这个关系，可以帮助我们寻找极点,本性奇点,函数在本性奇点邻域内的洛朗展开具有无穷多个负幂项,本性奇点,当z以不同方式趋于0时，就有不同的结果：,本性奇点,特别是,本性奇点,本性奇点,本性奇点,本性奇点,总结,函数在可去奇点处的极限值是有限的,函数在极点处的极限值是，或者说，函数在极点附近时无界的,讲授要点,洛朗展开展开定理举例多值函数的洛朗展开单值函数的孤立奇点孤立奇点孤立奇点的分类函数在无穷远处的奇异性解析延拓一个例子解析延拓的概念,函数在无穷远处的奇异性,函数在无穷远处的奇异性,讲授要点,洛朗展开展开定理举例多值函数的洛朗展开单值函数的孤立奇点孤立奇点孤立奇点的分类函数在无穷远处的奇异性解析延拓一个例子解析延拓的概念,在圆外，级数发散,可以预期在理论上得到什么结论？,？,重复这个步骤，就可能超出原来的定义范围，甚至可能扩展到整个z平面,讲授要点,洛朗展开展开定理举例多值函数的洛朗展开单值函数的孤立奇点孤立奇点孤立奇点的分类函数在无穷远处的奇异性解析延拓一个例子解析延拓的概念,采用解析延拓的办法，可以扩大