初一升初二数学衔接.doc

2010年秋季初一升初二数学衔接第6讲几何初步与三角形一. 知识要点:几何初步三角形二. 典型例题：例1、已知：如图，ACBD，O是线段AB上一点，且使OAAC，OBBD求证：COOD分析：只需证COD90即可自我解答：证法二：如图2，作OEAC，AC/BD，AC/OE/BD， C3，D4，OAAC，OBOD，1C，4D，13，24，1324180，3490，COOD例2、在ABC中，ABC=123，M是AB的中点，且CM=3，求ABC的面积自我解答：分析：由三个内角的比值可知ABC是直角三角形，且有一个角是30，于是由斜边上的中线长得斜边长及30角所对直角边长，再由勾股定理求出另一条直角边长，可以求得面积解：如图，设A=x，ABC=123，B=2x，C=3x，而ABC=180，x2x3 x=180， x=30，A=30，B=60，C=90，在RtABC中，CM是AB边上的中线，CM=3，AB=2CM=6，又A=30，例3、求证：等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等分析: 解文字形式的证明题时，要根据题意画出图形，写出“已知”、“求证”和“证明”；已知：如图，在ABC中，ABAC，DBDC，DMAB于M，DNAC于N求证：DMDN自我解答：证明一：ABAC， BC，DMAB，DNAC，BMDCND90，又BDDC，BDMCDN， DMDN证明二：如图，连结AD，ABAC，BDDC， AD平分BAC，而DMAB，DNAC，DMDN证明三：如图，连结AD，D是BC的中点，又DMAB，DNAC，而ABAC，DMDN点评：在等腰三角形中，作底边上的中线或高或顶角的平分线是常用的辅助线例4、如图，点B是线段AC上一点，分别以AB、BC为边作等边ABD、BCE，连结AE、CD，AE交BD于M，CD交BE于N，连结MN求证：（1）AECD； （2）BMBN； （3）MNAC自我解答：分析：结论（1）、（2）中要证明两条线段相等，通过选择恰当的两个三角形全等达到目的；结论（3）要证明MN与AC的平行位置关系，可以通过找角与角之间的相等关系来实现证明：（1）ABD、BCE是等边三角形，ABBD，BEBC，1260，1323，即ABEDBC，ABEDBC， AEDC（2）ABEDBC45，而1260，123180，3160，在ABM和DBN中，ABBD，45，31，ABMDBN， BMBN（3）BMBN，360，BMN是等边三角形，BMN160，MNBC例5.已知如图(1)，ABC中，BAC90，ABAC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BDAE于D，CEAE于E，求证：(1)BDDECE；(2)若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BDCE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请予证明.(3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时，(BDCE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请直接写出结果，不须证明.(4)归纳(1)、(2)、(3)，请用简捷语言表述BD、DE、CE的关系. 自我解答：证明：(1)BDAE，CEAE(已知)，BDAAEC90(垂直定义)BADCAE90，BADABD90，CAEABD(同角的余角相等)在ABD和CAE中ABDCAE(AAS)BDAE，ADCE(全等三角形的对应边相等)AEADDEAECEDE，BDCEDE(2)BDDECE，证明方法与(1)相同(3)BDDECE(4)归纳(1)，(2)，(3)可知：结论表述为：当B、C在AE异侧时，BDDECE；当B、C在AE同侧时，BDDECE；点评：本题考查动态几何中的量的关系，其关键是猜想规律.再运用几何知识予以证明.例6、如图，在ABC中，C2B，12，求证：ABAC+DC分析：要证明AB是两线段AC、CD之和，只要把AC、CD放在同一条直线上，使其拼成为一条线段；即延长AC至E，使AEAB，再证明延长部分等于CD（或延长AC至E，使CECD，再证明AEAB）自我解答：证明一：如图，延长AC到E，使AEAB，连结DE，ABAE，12，ADAD，ABDAED，BE，又ACB32B，32E，而3E4，2EE4，E4，DCCE，ABAEACCE，ABACDC证明二. 证明：如图，在AB上截取AFAC，连结DF，在ADF和ADC中，AFAC，12，ADAD，ADFADC， DFDC，3C，又C2B， 32B，而3B4，B42B，4B， BFDF，BFDC，AFBFACDC，即ABACDC点评：证明一条线段等于两条线段的和的常用方法是：（1）延长一条短线段等于长线段，再证明延长部分与另一条短线段相等，或延长短线段，使延长的部分与另一条短线段相等，再证明延长后的线段与长线段相等；（2）在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下部分等于另一条短线段这种方法叫做截长或者补短法在证明线段间的和（或差）关系时常用到例 7. 如图所示，南北向的直线MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海上午9点50分，我缉私艇A发现正东方有一走私船C以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国缉私艇B密切注意A和C两艇的距离为13海里，A、B两艇的距离为5海里，缉私艇B测得B、C距离为12海里若走私船C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？分析 为降低题目难度，可将综合题化为若干个基本问题来解决思考：（1）ABC是什么类型的三角形？（2）走私船C距我领海最近距离是多少？（3）走私船C最早在什么时间进入我领海？将问题分解成几个基本问题，达到了化繁为简的目的自我解答：解 设MN与AC相交于E，则BEC =90又，ABC为直角三角形，ABC =90由于MNCE，走私船C进入我领海的最近距离CE设，则 即 解得 （h），（min）9时50分51分10时41分答：走私船C最早在10时41分进入我领海例 8. 如图所示，在ABC中，ABAC5，P为BC边上任意一点求证：AP2PBPC25分析 在要证的结论中出现了线段的平方，联想勾股定理，因此作辅助线构造直角三角形自我解答：证明 过A作于D，则有在RtAPD中，由勾股定理，得，又由勾股定理，有，所以 因此 AP2PBPC25说明：涉及有关线段长的关系式或计算时，常作高构造直角三角形，把已知线段和要求的线段集中在一个三角形中，利用勾股定理来解决问题例 9. 已知a、b、c为ABC的三边，且满足.求证：这个三角形是直角三角形. 分析：要证明是直角三角形，应从它的三边a、b、c入手，如果有关系或或成立，那么这个三角形一定是直角三角形. 从已知条件，可以求出、的长. 自我解答：解答：由已知得：. 即 ，即，即有，是直角三角形. 点评：直角三角形适用于勾股定理，而利用逆定理是判断一个三角形是直角三角形的方法，当由边之间的关系判断三角形的形状时，我们用勾股定理先行考证，没有条件时，创造条件，从而求出边长或边长之间的关系，进而判断. 2010年秋季初一升初二数学衔接第6讲课后练习姓名： 一、填空题（每小题2分，共20分）1若B=A-C，则ABC是 三角形；2A=B=C，则ABC是 三角形。2如图，若1=30，2=95，3=40，则4= 。3ABC中，若A=100，I为三条角平分线的交点，则BIC= 。4如图，ABC中，ADBC于D，要使ABDACD，若加条件B=C，则可用 判定,若根据“HL”判定，还需要加条件 。5如图，在ABC中，ADBC，BEAC，CFAB，它们相交于H点，则1=35，则2=_.6到三角形三边距离相等的点是 的交点；到三角形三顶点距离相等的点是 的交点。7如图，BAC=30，P是BAC平分线上一点，PMAC，PDAC，AM=4，则PD= 。8如图，已知ABC的B和C的外角平分线交于D，D=65，那么A= 。9如图，B=40，C=20，1=2A，那么A= 。10已知AD是ABC的高，BAD=62，CAD=28，则ABC按角的大小分类是 。二、选择题（每小题3分，共30分）1已知等腰三角形的两边长是5cm和9cm，则此三角形的周长是（ ） A19cm B23cm C22cm D19cm或23cm2.如图，（ ） A1对 B2对 C3对 D4对3有四根木条，长度为12cm,10cm,8cm,4cm，选其中三根能组成三角形的组数是（ ） A1 B2 C3 D44只有一条高线在三角形内部的三角形是（ ）A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D钝角三角形或直角三角形5如图直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A一处 B二处 C三处 D四处6直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（ ）A45 B135 C45或135 D都不对7在四边形ABCD中，ABCD，ADBC，AC，BD相交于O，则图中能够全等的三角形共有（ ）对。A1 B2 C3 D48.如图,把CDE纸片沿AB折叠,当点E落在四边形ABCD内部时,若1=15，2=20，则3为 ( ) A. 20 B.15 C.17.5 D.189.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的方法是( ) A.带去 B.带去 C.带去 D.带和去10.如图，ABC中，C=90,AC=BC,AD是ABC的角平分线，DEAB于E，若AB=6cm，则BDE的周长为（ ） A.5cm B. 6cm C. 7cm D.8cm三、计算与说理（共34分）1.已知ABC中,BC=2cm，AB=8cm，AC的长度是奇数，求ABC的周长.（4分）2.已知:如图,在 ABC中AB=AC, AD=BD=BC，则A的度数为多少?（5分）3. 已知:如图,在 RtABC中AB=AC,BAC=90.分别过B、C作过A点的直线的垂线，垂足为D、E，若BD=4cm，CE=3cm，求DE的长度。（6分）4已知，如图：点D、E在ABC的边BC所在的直线上，BD=CE，1=2，那么AD=AE吗？你能说明理由吗？（6分）5已知:如图, AC、BD交于O，AC=BD，AB=CD，试判断OA与OD的关系，说明理由。（6分） 6已知：如图，AD是等腰RtABC的底角的平分线，C=90，试探索AC+CD与AB的关系。（7分）四、作图题（6分）如图，在公路L的同旁有两个仓库A、B。现需要在公路旁建一个货物中转站，要求到A、B两仓库的距离和最短，这个中转站M应建在公路的哪个位置比较合理？保留作图痕迹，说明M的位置。五、探索与思考（共10分）（1）如图，A、B、C三点在一直线上，分别以AB、BC为边在AC同侧作等边ABD和等边BCE，AE交BD于点F， DC交BE于点G。（1）AE=DC吗？请说明理由。（5分）（2）BFG是等边三角形吗？请说明理由？（5分）2010年秋季第6讲课后练习参考答案一、填空题（每小题2分，共20分）1直角 锐角（或等腰三角形）21531404AAS AC=AB5356三角形角平分线 三角形中垂线7285096010直角三角形或钝角三角形二、选择题（每小题3分，共30分）DDCDD CDCCB三、计算与说明1点评：由8-2AC8+2得AC=7或9当AC=7时，周长=17当AC=9时，周长=192A=453点评：先证ABDCAE（AAS）得AD=CE,BD=AEDE=BD+CE=7cm4点评：由1=2可