徐州市高中数学第一章导数及其应用1.3.1导数在研究函数中的应用_单调性教案7苏教版.docx

导数在研究函数中的应用单调性【教学目标】1通过实例，利用几何画板借助函数图象直观地引导学生探索并了解函数的单调性与导数的关系，初步掌握利用导数方法研究函数单调性。2在整体把握高中数学课程的理念下，通过初等方法与导数方法在研究函数单调性过程中的比较，让学生不断体会导数方法在研究函数单调性中的一般性和有效性。并在原有基础上进一步加深对函数单调性的理解，同时感受和体会数学自身发展的一般规律。 3通过对导数与函数单调性关系的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。同时，着重培养学生的合作、探究、积极努力等核心素养。【教学重点】 导数在研究函数单调性中的应用【教学难点】 导数与函数单调性关系的探究和发现，以及理论分析。【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习【教学手段】 计算机、实物投影仪【教学过程】一、复习回顾，引入课题引言：函数单调性是函数的一个非常重要的性质，刻画了函数值随自变量的变化而的变化情况，进而可以讨论函数的最值或值域，甚至画出函数的图象。因此，今天我们再次来研究函数的单调性。揭示课题：单调性问题：函数单调性是如何定义的？学生：一般地，设函数的定义域为A，区间如果对于区间I内的任意两个值，当时，都有，那么就说在区间I上是单调增函数，I称为的单调增区间。如果对于区间I内的任意两个值，当时，都有，那么就说在区间I上是单调减函数，I称为的单调减区间。问题：如何判断函数的单调性？引例：确定函数的单调增区间和减区间。学生练习，实物投影仪投影板书。设计意图：以实际数学问题为载体，通过解决问题引导学生复习回顾已掌握的讨论函数单调性的初等方法。学生：(1)图象法：依性作图，以图识性。渗透数形结合思想。(2)定义法：取值、作差、变形、断号、定论。渗透解题的规范意识。教师小结：运用定义或图象讨论函数的单调性都属于初等方法，定义法就是根据函数的单调性定义，用数学符号语言来描述，过程比较严谨；图象法就是利用图形语言来描述，非常直观。当然，我们还有以利用复合函数的性质、函数加减运算的性质等去判断函数的单调性。问题：你们能利用这些初等方法讨论研究所有函数的单调性吗？大家能否找出一些反例?学生：有三次以上的函数、含对数的函数、含三角的函数等。教师：根据同学们的意见，列举其中三个函数：(1)；（2）；（3）。问题：困难在哪里？学生：作差难以变形，图象难以画出。教师小结：对基本初等函数进行复合或运算后，例如上述函数判断单调性，要么用定义法作差后变形非常困难，要么不能利用已有数学知识快速、准确地画出图象。设计意图：让学生在学习中遇到困难，探究新方法，培养好奇心，引入新课。让学生随意推荐函数，既可以激发学生学习的兴趣，又第一次初步感受导数法研究单调性具有一般性和有效性。二、归纳探索，发现结论 1借助图象，直观感知当今社会科技发达，我们拥有非常先进的信息技术，今天我用几何画板作出上述函数的图形。问题：根据上述连续函数的图象，能判断函数的单调性吗？学生：函数（1）可以，而第（2）、（3）两个函数不能，难以确定单调区间的分点。设计意图：学生的困难是难以确定单调区间分界点的确切位置。通过讨论，使学生感受到即使画出函数图象，用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，还需要寻找其它方法进行严密化、精确化的研究。问题：除了初等方法，还有其它的更为有效的方法来研究这些复杂函数的单调性吗？函数单调性是对函数变化趋势的一种刻画，最近所学的数学知识中还有什么也可以刻画函数变化的趋势？如何刻画的？学生：导数。函数的导数主要刻画了函数在每一点处的瞬时变化率，反映了函数上升或下降的陡峭程度。问题：导数的几何意义是什么？在某区间内，伴随着函数图象切线的变化，导数值具有什么特征时，函数单调递增；导数值又具有什么特征时，函数单调递减？两者有什么关联？学生：对于函数（1）如果在某区间上，那么为该区间上增函数；（2）如果在某区间上，那么为该区间上减函数；（3）如果，那么为单调区间的分点。（备案）师生共同探究，分组讨论，猜想出导数法的一般结论，板书结论。设计意图：通过实例，借助几何图形的直观，引导学生观察、分析、总结和提炼出导数与函数单调性的密切关系，培养学生由特殊到一般的归纳总结能力。问题：虽然上述三个函数是由大家随意找出的，但能代表所有连续可导函数吗？也就是说上述结论具有一般性吗？学生：（1）（2）对任何可导函数均成立，具有一般性；（3）当满足时，不一定是分点。例如：虽然，但函数在上单调递增，所以不是分点。教师指出：上述结论是由上述三个特殊的函数图象得到的，只是一种猜想，是否具有一般性，还需要严格的数学证明。设计意图：观察特殊函数图象切线的变化，发现单调性与导数的关系，从而找出研究函数单调性的又一种方法导数法。2抽象思维，严密论证问题：对任意连续可导函数在区间上恒成立，几何意义是什么？学生：函数图象在区间上任意一点处切线的斜率都大于零。问题：要证明函数在区间上单调递增，根据定义就是要证明什么？学生：（1）任取,且,有成立； （2）任取，都有成立； （3）函数图象在区间上连结任意两点割线的斜率都大于零。教师指出：原来函数在区间上单调也具有类似的几何意义。问题：如果图象连续的函数在区间上恒成立，则函数在区间上单调递增，你能简单说明理由吗？ 学生分组讨论。学生：让经过两点的割线平行移动，与函数图象相切，设切点为。因此得到教师指出：虽然还不是十分的严密，但分析过程已非常接近于严格的数学证明了，大家发现了连续可导函数在区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部的瞬时变化率的关系。等式就是高等数学中的拉格朗日定理，法国数学家拉格朗日于1797年在其著作解析函数论的第六章提出了该结论，并进行证明，感兴趣的同学课后可以做进一步的研究。上述结论就是导数在研究函数中的重要应用。补充完善课题：导数在研究函数中的应用单调性设计意图：使学生明确猜想只是一种合情推理，判断是否正确还必须经过严格的数学证明。对证明上述结论的高等数学中的拉格朗日定理，采用中学生能够接受的方式，用直观的方法来分析和说明，培养学生严密的逻辑思维能力和意识。问题：该结论反之成立吗？能举反例吗？学生：(1) 成立；(2)不成立。对于学生错误的回答，引导学生举反例说明。例如：虽然函数在上单调递增，但，所以逆命题不真。设计意图：把对导数法的认识由感性上升到理性认识的高度,第二次强化了导数法研究函数单调性的一般性，培养学生严密的逻辑思维能力。三、掌握方法，适当延展例1.讨论确定下列函数的单调区间：(1)；（2），（3）；1分析解决问题针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流。强调单调区间的区间形式、不能取并集等注意点。第（1）题教师板书过程；（2）、（3）小题学生板书。2归纳解题步骤引导学生分组讨论，归纳导数法讨论函数单调性的基本步骤：确定定义域，求导数，解不等式，确定单调区间。 练习：1.利用导数法研究函数 的单调性2.（1）讨论函数的单调性； （2）讨论函数的单调性。设计意图：掌握导数法研究函数单调性的方法和步骤，并与初等方法进行对比，第三次感受导数法对研究函数单调性的一般性和有效性。同时渗透极限的思想，为今后画出函数图象，研究函数的其它性质打下基础。四、归纳小结，提高认识问题：本节课你感受最深的是什么？学生交流本节课学习过程中的体会和收获。课外探究：利用函数单调性，画出函数的草图。导数在研究函数中的应用单调性教学设计说明只有在整体把握高中数学课程的理念下，进行单元教学设计，充分尊重学生的认知规律、心理和生理发展特点，充分遵循高中数学内在的知识结构和逻辑思想体系，充分体现高中数学课程的整体性、规律性、结构性和连续性，才能抓住事物的本质，让学生的数学知识和能力不断呈现螺旋式上升，使教师的教和学生的学更轻松、更高效，也才能让学生真正走进高中数学，感受数学的应用和文化价值，培养学生严格的逻辑思维能力、科学的思想和精神。一、教学内容的分析函数的单调性是学生了解的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，在必修一中学生已掌握了用定义法和图象法等初等方法研究函数的单调性。本章学生是在掌握基本初等函数的性质和学习导数的概念和运算的基础上，特别是了解导数的几何意义的前提下，学会运用导数法研究函数的单调性，为进一步研究函数的极值、最值，进而画出函数的草图，讨论“恒成立问题”、“存在性问题”、“零点问题”等打下基础，同时，也帮助学生了解函数整体的平均变化率与某点处的瞬时变化率的关系，进一步加深对函数单调性的理解。利用导数研究函数的单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）导数与函数单调性关系的探索发现。高等数学是用极限思想给予严格的证明，而高中阶段只能利用几何意义，由特殊函数在同一单调区间内导数值的特征来观察、分析、归纳和总结规律，这种非常抽象的、由特殊到一般的发现式的猜想对学生来讲是比较困难的；（2）由于导数法是由特殊函数的图象观察发现的，是否具有一般性，学生还存有疑问，如何进行理论分析、如何处理是一大难点。根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点。二、教学目标的确定在整体把握高中数学课程的理念下，根据本节课在整个高中数学教学大纲中的地位和教学要求、教材中的特点以及学生现有的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标。通过实例，利用几何画板借助函数图象直观地引导学生探索并了解函数的单调性与导数的关系，初步掌握利用导数方法研究函数单调性。在整体把握高中数学课程的理念下，通过初等方法与导数方法在研究函数单调性过程中的比较，让学生不断体会导数方法在研究函数单调性中的一般性和有效性。并在原有基础上进一步加深对函数单调性的理解，同时感受和体会数学自身发展的一般规律。通过对导数与函数单调性关系的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。同时，着重培养学生的合作、探究、积极努力等核心素养。三、教学方法和教学手段的选择本节课是导数研究函数单调性的第一节课，采用教师启发引导，学生观察、总结的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终发现结论，获得方法。本节课使用了多媒体实物投影和计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对抽象数学问题的理解和认识。四、教学过程的设计为达到本节课在整个高中数学课