第3章 静定结构的内力分析

第3章静定结构的内力分析,静定结构的定义：,从几何组成的观点看，几何不变且无多余约束的结构称为静定结构。,从静力分析的观点看，静定结构的内力可以由三个平衡方程唯一确定。,平衡方程为：,或：,（A,B,C不在同一直线上）,3-1杆件内力计算,一.杆件内力正负号规定,在结构力学中，要求弯矩图画在杆件受拉边，不注正负号,剪力图和轴力图要注明正负号。上图中弯矩正负号的规定通常用于梁。,弯矩剪力轴力,二、荷载与内力之间的微分关系,y,M,MdM,x,q(x),dx,o,1）剪力图上某点切线的斜率等于该点横向分布荷载的集度，但正负号相反。,2）弯矩图上某点切线的斜率等于该点的剪力。,3）弯矩图上某点的曲率等于该点的横向分布荷载的集度，但正负号相反。,小结：,6,剪力、弯矩与外力间的关系,外力,无外力段,均布载荷段,集中力,集中力偶,FQ图特征,M图特征,水平直线,斜直线,自左向右突变,无变化,斜直线,曲线,自左向右折角,自左向右突变,与m反,分段叠加法作弯矩图,叠加原理：结构中由全部荷载所产生的内力或变形等于每一种荷载单独作用所产生的效果的总和。,只有线性变形体才适用叠加原理。,3-2静定梁,一、单跨静定梁,现在讨论分段叠加法的做法，见下图。,在求出各控制截面A、C、D、B在全部荷载作用下的弯矩后，任意直杆段的M图就转化为作相应简支梁在杆端力偶及杆间荷载作用下的M图的问题。,步骤：,1）选定控制截面，求控制截面在全部荷载作用下的M值，将各控制面的M值按比例画在图上，在各控制截面间连以直线基线。控制截面：集中力或者集中力偶作用截面，分布荷载的起点和终点以及梁的左、右端支座截面等。,2）对于各控制截面之间的直杆段，在基线上叠加该杆段作为简支梁时由杆间荷载产生的M图。,例3-2-1作图示单跨梁的M、FQ图。,1）求支座反力,解：,2）选控制截面A、C、D、F并求弯矩值。,已知MA0，MF0。,取右图AC段为隔离体：,取右图DF段为隔离体：,3)作M图,将MA、MC、MD、MF的值按比例画在图上，并连以直线（称为基线）；对AC、CD、DF段，再叠加上相应简支梁在杆间荷载作用下的M图即可。,4)作FQ图,小结：,1）弯矩叠加是指竖标以基线或杆轴为准叠加，而非图形的简单拼合；,2）应熟悉简支梁在常见荷载下的弯矩图；,3）先画M图后画FQ图，注意荷载与内力之间的微分关系。,二、多跨静定梁,1.构造特征,静定多跨梁由两部分组成，即基本部分和附属部分。组成的次序是先固定基本部分，再固定附属部分，见下图。,2.受力特征,由静定多跨梁的组成顺序可以看出，若荷载作用在基本部分上，则附属部分不受力；若荷载作用在附属部分上，则基本部分同样受力。因此，静定多跨梁的内力分析应从附属部分开始，即首先要求出附属部分传给基本部分的力。,3、内力分析,解题步骤：1）画组成次序图；,2）从附属部分开始求出约束力，并标注于图中。注意附属部分传给基本部分的力。,3）对于每一段单跨梁，用分段叠加法作M图。,例3-2-2作图示静定多跨梁的M图和FQ图。,解：,1）作组成次序图,组成次序图,2）求附属部分和基本部分的约束力,对于CE段梁:,对于AC段梁:,3）内力图如下图示,例3-2-3作图示静定多跨梁的M图和FQ图。,组成次序图,解：,1）作组成次序图,2）求附属部分和基本部分的约束力,梁各部分的受力如上图示，作用于铰结点D的集中力（80kN）可看作直接作用于基本部分AD上。,对于AD段梁：,对于FL段梁：,3）内力图如下图示,26,作业：3-13-2,3-3静定刚架,一、基本概念,平面刚架由梁和柱组成，梁和柱通常用刚结点相连接。,刚结点有如下特征：,几何特征一个简单刚结点相当于三个约束，能减少体系三个自由度。变形特征在刚结点处，各杆端截面有相同的线位移及角位移。静力特征刚结点能传递弯矩、剪力和轴力。,二、静定平面刚架分类,悬臂刚架梁为悬臂杆，如火车站台上用的T型钢架；,简支刚架用三根链杆或一个铰和一根链杆与基础相连组成的刚架；,三铰刚架三个刚片(包括基础)用三个铰两两相连组成的刚架。在竖向荷载作用下，三铰刚架的支座存在水平推力。,例3-3-1作图示三铰刚架内力图。,解：1)支座反力,整体平衡：,三、静定平面刚架内力分析举例,由CEB部分平衡：,由整体平衡：,2)作M图,AD杆：,MDAql2/16(右拉),M中ql2/16(右拉),3)作FQ、FN图,很容易作出剪力图和轴力图如下图示。,例3-3-2作图示三铰刚架内力图。,解：,1)支座反力,考虑整体平衡:,由BEC部分平衡：,2)作M图,斜杆DC中点弯矩为：,弯矩图见下图。,3)作FQ图,斜杆用力矩方程求剪力，竖杆、水平杆用投影方程求剪力。,对于DC杆：,对于EC杆：,竖杆AD、BE的剪力用投影方程很容易求得。,剪力图见下页图。,FQ图(kN),4)作FN图,竖杆、水平杆及斜杆均用投影方程求轴力。,结点D：,结点E：,右下图中，将结点C处的水平力和竖向力在杆DC的轴向投影得：,轴力图见下页图。,FN图(kN),44,作业：3-4，3-7，3-9,45,3-4三铰拱,三铰拱式结构广泛应用于实际工程建设中:桥梁、渡槽、屋架等。,三铰拱的构造特征为:杆轴通常为曲线，三个刚片(包括基础)用不在同一直线上的三个铰两两相连组成三铰拱结构。,三铰拱的受力特征为:在竖向荷载作用下，拱脚处产生水平推力;因此，拱轴任一截面轴力FN比较大，弯矩较小。有时用拉杆来承受水平推力，称为拉杆拱。,一、概述,46,通常在11/10之间变化，的值对内力有很大影响。,47,二、三铰拱的计算,下面以图示三铰拱为例加以说明。,48,解：,拱轴方程为,1.支座反力,整体平衡,49,考虑拱AC部分平衡：,下面求支座水平推力。,上式中，为代梁C截面弯矩。,50,小结：,1)水平推力与拱高f成反比。,2)支座反力FAy、FBy、FAx、FBx与拱轴形状无关，只与三个铰A、B、C及荷载的相对位置和荷载的大小有关。,将本例题数据代入得：,51,2.弯矩计算公式,求任意截面D的弯矩。由AD段隔离体可得：,52,求MK,求MJ,下面求K、J截面的弯矩MK和MJ。,53,3.求FQ、FN的计算公式,拱轴任意截面D切线与水平线夹角为。,小结：,1)左半拱0，右半拱0。,相应代梁中，设为正方向。,54,2)FQD是代梁截面D的剪力，设为正方向。故FQD可能大于零、等于零或小于零。,b,下面用上述公式求FQK、FNK。,xK4m,FQK左12.5kNFQK右2.5kN,55,56,求FQJ右、FNJ右。,xJ12m,FQK右7.5kN,57,三、三铰拱的合理轴线,在给定荷载作用下，三铰拱任一截面弯矩为零的轴线就称为合理拱轴。,若用压力线作为三铰拱轴线，则任一截面弯矩都为零，故压力线为合理拱轴。,三铰拱任一截面弯矩为,令,得到,合理拱轴方程的表达式,58,例3-6-1求三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴。,59,解：,可见合理拱轴为抛物线方程。,60,作业：3-16,3-5静定桁架,一、概述,1.桁架分类,按几何组成分为：,1）简单桁架从基础或者从一个基本的铰接三角形开始，依次用两根不在同一直线上的链杆固定一个结点的方法组成的桁架称为简单桁架。,2）联合桁架两个简单桁架用一个铰及与之不共线的一根链杆连结，或者用三根不全平行也不全交于一点之链杆连结而成的桁架称为联合桁架。,2.基本假定,各杆均为直杆，且位于同一平面内，杆轴线通过铰结点中心。荷载及支座反力作用在结点上，且位于桁架平面内。3)铰结点为理想铰，即铰绝对光滑，无摩擦。,所以，桁架的杆件只产生轴力，各杆均为二力杆。,3.轴力正负号,轴力以拉力为正，压力为负。在结点和截面隔离体中，已知的荷载及轴力按实际方向表示，数值为正；未知轴力一律设为拉力。,二、结点法,结点法可以求出简单桁架全部杆件的轴力。为求各杆轴力，需作结点隔离体。若隔离体只包含一个结点，则称为结点法。,作用在结点上的力系为平面汇交力系，有两个平衡方程，可以求出两个未知力。当结点上的未知力有三个或三个以上时结点法失效，但有时能求得其中的一个未知力。,66,例3-5-1已知:P=10kN,尺寸如图；求:桁架各杆件受力.,解:,取整体，画受力图.,取节点A，画受力图.,解得,(压),解得,(拉),67,取节点C,画受力图.,解得,(压),解得,(拉),取节点D,画受力图.,解得,(拉),例3-5-2用结点法求各杆轴力。,解：,1）支座反力,2）判断零杆,FyA=FyB=30kN()FxA=0,见图中标注。,3）求各杆轴力,取结点隔离体顺序为：A、E、D、C。,结构对称，荷载对称，只需计算半边结构。,结点A,（压）,结点E,结点D,将FNDF延伸到F结点分解为FxDF及FyDF,结点C,小结：,2)判断零杆及特殊受力杆；,3)结点隔离体中，未知轴力一律设为拉力，已知力按实际方向标注；,1)支座反力要校核；,三、截面法,对于联合桁架或复杂桁架，单纯应用结点法不能求出全部杆件的轴力，因为总会遇到有三个未知轴力的结点而无法求解，此时要用截面法求解。即使在简单桁架中，求指定杆的轴力用截面法也比较方便。,截面法选取的隔离体包含两个或两个以上的结点，隔离体上的力系是平面不汇交力系，可以建立三个平衡方程Fx0、Fy0、M0。所以作一个截面隔离体最多可以求出三个未知轴力。,75,例3-5-2,已知:,各杆长度均为1m;,求:,1,2,3杆受力.,解:,取整体,求支座约束力.,解得,解得,76,用截面法,取桁架左边部分.,解得,(压),解得,(拉),解得,(拉),77,四、结点受力的特殊情况,1）,结点上无荷载，则FN1FN20。,由FS0，可得FN20，故FN10。,2）,78,3）,4）,79,上图为对称结构、对称荷载的情况，结点A在对称轴上。由Fy0FN1FN2=0Fx0FN3FN4,80,上图为对称结构、对称荷载的情况，但结点A不在对称轴上。由Fy0FN1-FN2,6）,81,作业：3-18（a）3-193-20（c）,一、静定结构解答的唯一性定理,静定结构的全部内力和支座反力均可由静力平衡方程唯一确定。或者表述为：对于静定结构，凡是能满足全部静力平衡条件的解答就是它的真实解答。,根据唯一性定理，可以得到如下结论：在静定结构中，除荷载外，任何其它外界因素温度变化、支座移动、材料伸缩及制造误差等均不产生内力和支座反力。,3-6静定结构的内力分析和受力特点,温度变化时，结构有变形而无内力。,支座移动时，只产生刚体位移（见图a)。,a),制造误差，装配后与原设计形状不同（见图b)。,b),二、静定结构的局部平衡特性,当平衡力系作用在结构上的一个几何不变部分时，只有该几何不变部分受力，其余部分不受力。,AB部分几何不变,阴影部分几何不变,三、静定结构的荷载等效特性,具有相同合力的各种荷载称为静力等效荷载。,所谓静力等效变换，就是用有相同合力的另一种荷载替换原来荷载的变换。,当静定结构的一个几何不变部分上的荷载进行静力等效变换时，只有该几何不变部分的内力发生变化，结构其余部分内力不变。,、均表示CD部分以外杆段的内力状态。由图c)可知，因为CD部分作用一平衡力系，根据静定结构局部平衡特性，CD杆段以外部分内力等于零，即，所以。于是就证明了静定结构的荷载等效特性。,四、静定结构的构造变换特性,当静定结构的一个内部几何不变部分作构造变换时，结构其余部分内力不变。,此外需要指出，静定结构的内力和支座反力仅仅与结构类型及荷载有关，而与杆件的材料性质及刚度无关。而结构的变形则还与杆件的材料性质及刚度有关。,89,3-7组合结构受力分析,下面讨论组合