数学建模案例之线性规划ppt课件

数学建模案例之线性规划奶制品的生产与销售 优化问题及其一般模型 引言 优化问题是人们在工程技术 经济管理和科学研究等领域中最常遇到的问题之一 例如 设计师要在满足强度要求等条件下选择材料的尺寸 使结构总重量最轻 公司经理要根据生产成本和市场需求确定产品价格 使所获利润最高 调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排从各供应点到需求点的运量和路线 使运输总费用最低 投资者要选择一些股票 债券下注 使收益最大 而风险最小 一般地 优化模型可以表述如下 这是一个多元函数的条件极值问题 其中x x1 x2 xn 许多实际问题归结出的这种优化模型 但是其决策变量个数n和约束条件个数m一般较大 并且最优解往往在可行域的边界上取得 这样就不能简单地用微分法求解 数学规划就是解决这类问题的有效方法 引言 数学规划模型分类 数学规划是运筹学和管理科学中应用及其广泛的分支 在许多情况下 应用数学规划取得的如此成功 以致它的用途已超出了运筹学的范畴 成为人们日常的规划工具 H P Williams 数学规划模型的建立 数学规划包括线性规划 非线性规划 整数规划 几何规划 多目标规划等 用数学规划方法解决实际问题 就要将实际问题经过抽象 简化 假设 确定变量与参数 建立适当层次上的数学模型 并求解 引言 建立数学规划模型的步骤 当你打算用数学建模的方法来处理一个优化问题的时候 首先要确定寻求的决策是什么 优化的目标是什么 决策受到那些条件的限制 如果有限制的话 然后用数学工具 变量 常数 函数等 表示它们 最后用合适的方法求解它们并对结果作出一些定性 定量的分析和必要的检验 引言 引言 Step1 寻求决策 即回答什么 必须清楚 无歧义 阅读完题目的第一步不是寻找答案或者解法 而是 Step2 确定决策变量第一来源 Step1的结果 用变量固定需要回答的决策第二来源 由决策导出的变量 具有派生结构 其它来源 辅助变量 联合完成更清楚的回答 Step3 确定优化目标用决策变量表示的利润 成本等 Step4 寻找约束条件决策变量之间 决策变量与常量之间的联系 第一来源 需求 第二来源 供给 其它来源 辅助以及常识 Step5 构成数学模型将目标以及约束放在一起 写成数学表达式 内容 如何建立线性规划模型举例线性规划模型的求解方法要求 掌握线性规划模型的建立方法掌握利用数学软件LINDO Matlab等求解线性规划模型的方法理解单纯形法的计算步骤重点 难点 重点 线性规划模型的建立与软件求解难点 线性规划问题的理论求解方法 单纯形法 简介 线性规划是最简单 应用最广泛的一种数学规划方法 也是应用最早的一种最优化方法 线性规划的数学模型是目标函数和全部约束式都是变量的线性函数 线性规划是学习运筹学的首要课程之一 1947年 丹茨格 Dantzig 提出了单纯形法 使线性规划的算法趋于成熟 在数学上讲 线性规划问题就是研究一类条件极值问题 即在一组线性约束条件 包括等式及不等式约束 下 找出一个线性函数的最大值或最小值 例1 加工奶制品的生产计划 一奶制品加工厂用牛奶生产A1 A2两种奶制品 一桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1 或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2 根据市场需求 生产的A1 A2全部能够售出 且每公斤A1获利24元 每公斤A2获利16元 现在加工厂每天能够得到50桶牛奶的供应 每天正式工人总的劳动时间为480小时 并且设备甲每天至多能加工100公斤A1 设备乙的加工能力没有限制 试为该厂制定一个生产计划 使每天获利最大 并进一步讨论以下三个附加问题 1 若用35元可以买到一桶牛奶 应否作这项投资 若投资 每天最多购买多少桶牛奶 2 若可以聘用临时工人以增加劳动时间 付给临时工人的工资最多是每小时多少元 3 由于市场需求变化 每公斤A1的获利增加到30元 应否改变生产计划 问题分析 企业内部的生产计划有各种不同的情况 空间层次工厂级 根据外部需求和内部设备 人力 原料等条件 以最大利润为目标制订产品生产计划车间级 根据生产计划 工艺流程 资源约束及费用参数等 以最小成本为目标制订生产批量计划时间层次若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化 可制订单阶段生产计划 否则应制订多阶段生产计划 问题分析 每天 50桶牛奶 时间480小时 至多加工100公斤A1 制订生产计划 使每天获利最大 35元可买到1桶牛奶 买吗 若买 每天最多买多少 可聘用临时工人 付出的工资最多是每小时几元 A1的获利增加到30元 公斤 应否改变生产计划 模型构成 引入决策变量x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2 每天 目标函数 每天获利 生产A1获利 24 3x1生产A2获利 16 4x2每天获利总额 z 72x1 64x2约束条件原料供应 x1 x2 50劳动时间 12x1 8x2 480加工能力 3x1 100非负约束 x1 x2 0 模型构成 数学模型 LP模型 线性规划模型具有的三条性质 比例性 可加性 连续性 xi对目标函数的 贡献 与xi取值成正比 xi对约束条件的 贡献 与xi取值成正比 xi对目标函数的 贡献 与xj取值无关 xi对约束条件的 贡献 与xj取值无关 A1 A2每公斤的获利是与各自产量无关的常数 每桶牛奶加工出A1 A2的数量和时间是与各自产量无关的常数 A1 A2每公斤的获利是与相互产量无关的常数 每桶牛奶加工出A1 A2的数量和时间是与相互产量无关的常数 加工A1 A2的牛奶桶数是实数 xi取值连续 LP问题的一般概念 1 LP模型的一般形式求一组决策变量x1 x2 xn的值 使其满足约束条件 并使目标函数取得最大 或最小 值 其中aij bi cj为已知量 LP问题的一般概念 2 标准形式其中 LP问题的一般概念 3 将一般线性规划模型转化为标准形例题 将下述LP模型转化成标准形式解 转化分为目标函数 大于等于约束 小于等于约束和自由约束变量几个不同部分 LP问题的一般概念 目标函数maxz 4x1 5x2 7x3 x4 minz1 4x1 5x2 7x3 x4约束条件大于等于约束x1 x2 2x3 x4 1添加剩余变量x5 0 x1 x2 2x3 x4 x5 1小于等于约束2x1 6x2 3x3 x4 3添加松弛变量x6 0 2x1 6x2 3x3 x4 x6 3自由变量 无 LP问题的一般概念 化成标准型为 LP问题的一般概念 4 单纯形法G B Dantzig的单纯形法 Simplexmethod 是一个顶点迭代算法 即从一个顶点出发 沿着凸多面体的棱迭代到另一个顶点 使目标函数值下降 至少不升 由顶点个数的有限性 可以证明经过有限次迭代一定可以求得最优解或者判定该问题无最优解 这就是单纯形法的基本思想 而几何上一个的顶点对应在代数上的一个基可行解 因此 单纯形法求解线性规划问题只需要关心基可行解 LP问题的一般概念 基本理论参见任何一本运筹学教材上的相关内容 下面仅以一个例子说明单纯形法的步骤 利用单纯形法求解下述LP问题 LP问题的一般概念 Step1 将一般的LP问题划成标准形式引入松弛变量x3 x4 x5将原问题化成标准形式 LP问题的一般概念 Step2 建立初始单纯形表 求出初始的基本可行解x 0 及对应的目标函数值z0建立初始单纯形表求出基本可行解x 0 0 0 350 200 150 T 求出目标函数值z0 0 LP问题的一般概念 Step3 判断现行解是否是最优解 若是 计算结束 否则转第4步 判断方法 计算检验数rj cj zj 其中zj cBTaij j 1 2 n 若所有的rj 0 j 1 2 n 则现行解为最优解 检验数中r1 0 r2 0 上面的结果x 0 不是最优解 LP问题的一般概念 Step4 确定进基向量计算min rj rj 0 rk 则xk进基 因min rj rj 0 r2 1500 所以进基变量为x2 LP问题的一般概念 Step5 确定主元素和离基向量若aik 0 i 1 2 m 则LP问题的可行域R无界 LP问题没有优先的最优值 计算结束 否则计算min bi aik aik 0 bl ark 此时主元素为ark xl应离基 因为150 50 b3 a32 3 主元素为a32 5 原来的基变量x5离基 LP问题的一般概念 Step6 以ark为主元素 进行换基计算 即进行一次Gauss消元计算 求得一个新的基本可行解 然后返回Step3 将xk所对应的列向量化为单位向量 使主元素处为1 其余元素均为0 新的基本可行解为x 0 0 30 200 50 0 T最优值为 45000 由于r1 4000 所以还没有达到最优解 LP问题的一般概念 重复Step4 Step6x1进基 x4离基 a21 2为主元素 作Gauss消去法后得到 LP问题的一般概念 重复Step3 判断是否为最优解因为所有的检验数rj 0 所以现行解为最优解 即最优解为x 0 25 20 25 0 0 T 最优值为w z0 55000 模型求解 1 图解法 目标函数 z c 常数 等值线 在B 20 30 点得到最优解 目标函数和约束条件是线性函数 可行域为直线段围成的凸多边形 目标函数的等值线为直线 最优解一定在凸多边形的某个顶点取得 2 单纯形法Step1 将一般的LP问题划成标准形式引入松弛变量x3 x4 x5将原问题化成标准形式 Step2 建立初始单纯形表 求出初始的基本可行解x 0 及对应的目标函数值w0建立初始单纯形表求出基本可行解x 0 0 0 50 480 100 T 求出目标函数值w0 0 Step3 判断现行解是否是最优解 若是 计算结束 否则转第4步 判断方法 计算检验数rj cj zj 其中zj cBTaij j 1 2 n 若所有的rj 0 j 1 2 n 则现行解为最优解 检验数中r1 0 r2 0 上面的结果x 0 不是最优解 Step4 确定进基向量计算min rj rj 0 rk 则xk进基 因min rj rj 0 r1 72 所以进基向量为x1 Step5 确定主元素和离基向量若aik 0 i 1 2 m 则LP问题的可行域R无界 LP问题没有优先的最优值 计算结束 否则计算min bi aik aik 0 bl ark 此时主元素为ark xl应离基 因为50 1 480 12 100 3 所以min bi ai1 ai1 0 b3 a31 100 3 主元素为a31 3 原来的基向量x5离基 Step6 以ark为主元素 进行换基计算 即进行一次Gauss消元计算 求得一个新的基本可行解 然后返回Step3 将xk所对应的列向量化为单位向量 使主元素处为1 其余元素均为0 新的基本可行解为x 0 100 3 0 50 3 80 0 T最优值为 2400 由于r2 640 所以还没有达到最优解 重复Step4 Step6x2进基 x4离基 a22 8为主元素 作Gauss消去法后得到 重复Step3 判断是否为最优解新的基本可行解为x 0 100 3 10 20 3 0 0 T最优值为 3040 由于r5 80 所以还没有达到最优解 重复Step4 Step6x5进基 x3离基 a15 1 6为主元素 作Gauss消去法后得到 重复Step3 判断是否为最优解因为所有的检验数rj 0 所以现行解为最优解 即最优解为x 0 20 30 0 0 40 T 最优值为z w0 3360 3 Mathematica软件求解 方法一 Mathematica软件所采用的线性规划模型是 式中 X是n维列向量 即X x1 x2 xn T 为未知向量 CT是n维行向量 称为目标函数f的系数向量 b是m维列向量 称为约束函数右端向量 A是m n维矩阵 称为约束函数系数矩阵 符号minf表示对函数f x 求局部极小 3 Mathematica软件求解 方法二 Mathematica软件中的NMaximize和NMinimize函数可以解线性规划问题 还能解非线性规划问题 其使用格式如下 4 Matlab软件求解 线性规划问题的数学模型 式中f x b beq lb ub为向量A和Aeq为矩阵 Linprog函数的调用格式如下 x linprog f A b x linprog f A b Aeq beq x linprog f A b Aeq beq lb ub x linprog f A b Aeq beq lb ub x0 x fval linprog x fval exitflag linprog 5 Lindo软件求解 5 1软件介绍LINDO是Linear INteractive andDiscreteOptimizer的缩写可求解问题线性规划 LinearProgramming LP 整数规划 IntegerProgramming IP 二次规划 QuadraticProgramming QP 5 2求解线性规划问题举例利用Lindo软件求解例题1 奶制品的生产软件操作演示用户输入程序max72x1 64x2st2 x1 x2 503 12x1 8x2 4804 3x1 100end运行程序 输出结果 不进行灵敏度分析 解释1 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 3360 000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120 0000000 000000X230 0000000 000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2 0 00000048 0000003 0 0000002 0000004 40 0000000 000000NO ITERATIONS 2 20桶牛奶生产A1 30桶生产A2 利润3360元 输出结果 不进行灵敏度分析 解释2 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 3360 000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120 0000000 000000X230 0000000 000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2 0 00000048 0000003 0 0000002 0000004 40 0000000 000000NO ITERATIONS 2 资源 剩余为零的约束为紧约束 有效约束 max72x1 64x2st2 x1 x2 503 12x1 8x2 4804 3x1 100end 输出结果 不进行灵敏度分析 解释3 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 3360 000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120 0000000 000000X230 0000000 000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2 0 00000048 0000003 0 0000002 0000004 40 0000000 000000NO ITERATIONS 2 最优解下 资源 增加1单位时 效益 的增量 原料增加1单位 利润增长48 时间增加1单位 利润增长2 加工能力增长不影响利润 影子价格 35元可买到1桶牛奶 要买吗 35 48 应该买 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元 2元 输出结果 有灵敏度分析 解释4 RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX172 00000024 0000008 000000X264 0000008 00000016 000000RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250 00000010 0000006 6666673480 00000053 33333280 0000004100 000000INFINITY40 000000 最优解不变时目标函数系数允许变化范围 约束条件不变 x1系数范围 64 96 x2系数范围 48 72 A1获利增加到30元 千克 应否改变生产计划 不变 x1系数由24 3 72增加为30 3 90 在允许范围内 输出结果 有灵敏度分析 解释5 RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX172 00000024 0000008 000000X264 0000008 00000016 000000RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250 00000010 0000006 6666673480 00000053 33333280 0000004100 000000INFINITY40 000000 影子价格有意义时右端约束的允许变化范围 目标函数不变 原料最多增加10 时间最多增加53 35元可买到1桶牛奶 每天最多买多少 最多买10桶 例2 奶制品的生产销售计划 例1给出了A1 A2两种奶制品的生产条件 利润及工厂的 资源 限制全都不变 为增加工厂的获利 开发了奶制品的深加工技术 用2小时和3元的加工费 可将1公斤A1加工成0 8公斤高级奶制品B1 也可将1公斤A2加工成0 75公斤高级奶制品B2 每公斤B1能获利44元 每公斤B2能获利32元 试为该厂制订一个生产销售计划 使每天的净利润最大 并讨论以下问题 1 若投资30元可以增加供应1桶牛奶 投资3元可以增加1小时劳动时间 应否作这些投资 若每天投资150元 可赚回多少 2 每公斤高级奶制品B1 B2的获利经常有10 的波动 对制订的生产销售计划有无影响 若每公斤B1的获利下降10 计划应该变化吗 例2奶制品的生产销售计划 在例1基础上深加工 制订生产计划 使每天净利润最大 30元可增加1桶牛奶 3元可增加1小时时间 应否投资 现投资150元 可赚回多少 50桶牛奶 480小时 至多100公斤A1 B1 B2的获利经常有10 的波动 对计划有无影响 销售x1千克A1 x2千克A2 x3千克B1 x4千克B2 原料供应 劳动时间 加工能力 决策变量 目标函数 利润 约束条件 非负约束 x5千克A1加工B1 x6千克A2加工B2 附加约束 模型求解 软件实现 LINDO6 1 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 3460 800VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX10 0000001 680000X2168 0000000 000000X319 2000010 000000X40 0000000 000000X524 0000000 000000X60 0000001 520000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2 0 0000003 1600003 0 0000003 2600004 76 0000000 0000005 0 00000044 0000006 0 00000032 000000NO ITERATIONS 2 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 3460 800VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX10 0000001 680000X2168 0000000 000000X319 2000010 000000X40 0000000 000000X524 0000000 000000X60 0000001 520000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2 0 0000003 1600003 0 0000003 2600004 76 0000000 0000005 0 00000044 000000