一元函数微分学练习题.doc

高等数学()练习 第二章 一元函数微分学 系 专业 班 姓名 学号 习题一 导数概念一填空题 1若存在，则= , 2若存在，= .= .3设, 则 4已知物体的运动规律为(米)，则物体在秒时的瞬时速度为 5曲线在处的切线方程为 ，法线方程为 6用箭头或表示在某一点处函数极限存在、连续、可导之间的关系， 极限存在 连续 可导。二、选择题 1设,且存在，则= B （A） ( B) (C) (D) 2. 设在处可导，,为常数，则 = B （A） ( B) (C) (D) 3. 函数在点处连续是在该点处可导的条件 B （A）充分但不是必要 （B）必要但不是充分 （C）充分必要 （D）即非充分也非必要4设曲线在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为 B （A）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1)5设函数，则 在处 B （A）不连续。 （B）连续，但不可导。 (C)可导，但不连续。 （D）可导，且导数也连续。三、设函数为了使函数在处连续且可导，应取什么值。四、如果为偶函数，且存在，证明=0。而因为存在,故,所以=0.五、 证明：双曲线上任一点处的切线与两坐标轴构成三角形的面积为定值。 证: 设双曲线上的任意一点为,则,又因,所以双曲线在该点的切线方程为,故它与两坐标轴的交点分别为和,所以三角形的面积为定值.高等数学()练习 第二章 一元函数微分学 系 专业 班级 姓名 学号 习题二 求导法则（一）一、 填空题1, = ; , = .2，= ; y =，= .3, = ，= ;4. , = . ， 5. ; ( = .6. = ; ( = .二、 选择题1已知y= ，则 = B （A） (B) (C) (D)2. 已知y= ，则 = C （A） (B) (C) (D) 3. 已知，则 = A （A） (B) (C) (D)4. 已知，则 = A （A） (B) (C) (D) 5. 已知，则 = D （A）1 （B）2 （C） (D) 6. 已知 ，则 = B （A） (B) (C) (D) 三、 计算下列函数的导数：(1) (2) (3) (4 ) (5) (6) 四、 设可导，求下列函数y的导数（1） (2)高等数学()练习 第二章 一元函数微分学 系 专业 班级 姓名 学号 习题三 求导法则（二）一、填空题：1， ； ， 2， ； ， 3， 4设，则 5设，则 6设有连续的导数，且，若函数 在处连续，则常数A = 二、选择题：1设，则 D （A） （B） （C） （D）2设周期函数在可导，周期为4, 又 , 则曲线 在点处的切线的斜率为 D （A） （B） （C） （D）3. 已知 ，则 = C （A） (B) (C) (D) 4. 已知，则 = C （A） (B) (C) (D) 三、已知，求： 四、设时，可导函数满足：，求 五、 已知，且，证明：六、 证明：可导的奇函数的导数是偶函数。高等数学()练习 第二章 一元函数微分学 系 专业 班 姓名 学号 习题四 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一、填空题1设，则= , 2. 设，则= , 3. 设,则= , 4设 ，则= ，= 。二、选择题1. 由方程所确定的曲线在（0，0）点处的切线斜率为 A （A） （B）1 （C） （D）2. 设由方程所确定的隐函数为，则= A （A） （B） （C） （D）3. 设由方程所确定的隐函数为，则= A （A） （B） （C） （D）4. 设由方程所确定的函数为，则在处的导数为 B （A） （B）1 （C）0 （D）5.设由方程所确定的函数为，则 B （A） （B） （C）； （D）.三、求下列函数的导数1 ， 2. 3 4. 四、求曲线 在处的切线方程，法线方程高等数学()练习 第二章 一元函数微分学 系 专业 班 姓名 学号 习题五 高阶导数一、 填空题设，则= , = .2. 设,则 ， 3. 若, 且 存在，则 ，= 4. 设，则 ， 5设，且，则= 。6. 设,则 = .7. 设，则 二、选择题1若, 则= D （A） （B） （C） （D）2.设，,则= B （A） （B） （C） （D）3设则 A （A） （B）（C） （D） 4. 设，则 A （A） （B） （C） （D）三、设存在，求下列函数的二阶导数1 2四、求下列函数的二阶导数1. 2. 或五、设，求高等数学()练习 第二章 一元函数微分学 系 专业 班 姓名 学号 习题六 函数的微分一 已知，计算在处 （1）当时， ，= （2）当时,= , = 。 二 （1）函数在处的近似表达式为 （2）函数在处的近似表达式为 （3）计算近似值 三 填空（求函数的微分）1、= 2、= d3、= 4、= 5、= 6、 7、= 8、 四 将适当的函数填入下列括号内,使等号成立。 (1). ( ); (2). ( -cos(3x-2) +C ); (3). ( ); (4). ( ); (5). ( ); (6). ( );(7). ( ); （8）( ) (9). =d ( ) ; (10). ( );五求下列函数或隐函数的微分(1). , 求(2). ，求 (3).，求 高等数学()练习 第二章 一元函数微分学 系 专业 班 姓名 学号 习题七 综合练习（一）一、 填空题1设存在，为常数，则= 。2若抛物线在点（1，1）处的切线平行于直线, 则 ， .3.若可导，且，则= .4.若 , 且, 则= .5.若，则 .6. 若则= .二、选择题1若=，且在（0，）内0， 0,则在（-，0）内 A （A） 0， 0 （B） 0（C）0，0， 02设函数可导，当自变量在处取得增量时，相应地函数增量的线性主部为0.1，则 D （A） （B）0.1 （C）1 （D）0.53设，则 C （A） （B） （C） （D）不存在4设， 则= B （A） （B） （C） （D）.三、设函数由方程所确定，求.四、求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数及二阶导数.1. 2. 五、设，用对数求导法求高等数学()练习 第二章 一元函数微分学 系 专业 班 姓名 学号 习题八 综合练习（二）一.填空题1.设存在，则 = .2当 时，两曲线，相切，切线方程是 3若在（，）内有一阶连续导数且，当 时，g(x)= 在（，）内连续。4 ，= 5( ) =， d( ) = . 6 若 ，则= ， = 。二选择题1设，则其导数为 C （A） （B） （C） （D）2. C ； ； 3. 设，且可导 则= C （A） （B）（C）（D）4. 设具有任意阶导数，且，当， A (A) (B) ( C) (D) 5设函数则在处 B (A) 不连续 (B) 连续，但不可导。 (C)可导，但不连续。 (D)可导，且导数也连续。三 计算题1设 （其中，为常数），试求 2已知 ，用对数求导法求 。4已知 , 求. 高等数学()练习 第二章 一元函数微分学 系 专业 班 姓名 学号 习题九 微分中值定理一选择题1 在区间上，下列函数满足罗尔中值定理的是 A (A) （B） （C） （D）2 若在内可导,、是内任意两点，且，则至少存在一点，使得 C （A） （）； （B） （）；（C） （）；（D） （）3下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理条件的有 B （A）, （B）, （C）, 0,1 （D）,4 若和对于区间内每一点都有, 则在内必有 B （A） （B） （C） （D）二填空题1 对函数在区间上应用拉格朗日定理时,所求的拉格朗日定理结论中的，总是等于 .2 若在上连续，在内可导,则至少存在一点,使得 成立3设,则有 4 个根,它们分别位于区间 内.4设在闭区间上满足拉格朗日定理，则定理结论中的= 三证明题1 当，试证：2 证明： 3 证明方程只有一个正根.高等数学()练习 第二章 一元函数微分学 系 专业 班 姓名 学号 习题十 洛比达法则一 填空题1 23= 4=5= 66下列极限能够使用洛必达法则的是 C ：（A）； （B） ； （C）； （D）的值， 二、判断题：（正确的括号内打“”，错误的在括号内打“”）1（不存在） 2 三 计算题1 2 3 45 67 8高等数学()练习 第二章 一元函数微分学 系 专业 班 姓名 学号 习题十一 函数的单调性与极值 一 填空题1函数在区间 内单调减少, 在区间 内单调增加2在区间 内单润减少，在区间 内单调增加3函数的单调增区间是 。4函数在区间 内单调减少, 在区间 内单调增加5当时，函数有极值，那么 6函数，在区间上的极大值点 .二 选择题1设函数满足，不存在，则 D (A) 及都是极值点 (B) 只有是极值点(C) 只有是极值点 (D) 与都有可能不是极值点2下列命题为真的是 D (A) 若为极值点，则 (B) 若，则为极值点 (C) 极值点可以是边界点 (D) 若为极值点，且存在导数，则3设，是恒大于零的可导函数，且，则当时，有 A （A） （B）（C） （D）4设函数连续，且，则存在，使得 C （A）在内单调增加 （B）在内单调减少（C）对任意的有 （D）对任意的有5当时,当时,则必定是函数的 D (A) 极大值点; (B) 极小值点; (C) 驻点; (D) 以上都不对三求函数的单调区间与极值四证明题：证明 高等数学()练习 第二章 一元函数微分学 系 专业 班 姓名 学号 习题十二 函数的极值与最大值和最小值一填空题1当 时，函数在处取得极 值时，其极 值为 .2函数在上的最大值为 ，最小值为 3. 在 处取得最大值 , 在 处取得最小值 .二. 选择题3如果在达到极大值,且存在，则 A (A) ; (B) ; (C) ; (D) 0yx4设函数在内连续，其导数的图形如图所示，则有 C （A）一个极小值点和两个极大值点（B）两个极小值点和一个极大值点（C）两个极小值点和两个极大值点（D）三个极小值点和一个极大值点5函数在定义域内 A （A）无极值 （B）极大值为 （C）极小值为 （D）为非单调函数6若函数的极大值点是，则函数的极大值是 D (A) (B) (C) (D)7在上没有 A （A）极大值 （B）极小值 （C）最大值 （D）最小值2函数在内的最小值是 D （A）0 （B）1 （C）任何小于1的数 （D）不存在3函数在区间上的最大值是 D （A）0 （B）1 （C）2 （D）不存在4设有一根长为L的铁丝，将其分为两断，分别构成圆形和正方形，若记圆形面积为S1，正方形面积为，当最小时， C (A) (B) (C) (D) 三求下列函数的极值四. 某地区防空洞的截面积拟建成矩形加半圆如下图，截面的面积为m2，问底宽为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省高等数学()练习 第二章 一元函数微分学 系 专业 班 姓名 学号 习题十三 曲线的凹凸性与拐点一 填空题1曲线的凸(向上凸)区间是_，凹(向下凸)区间是 .2若曲线在处有拐点，则与应满足关系 。3当 , ， 时, 点为曲线的拐点。4若曲线在处取得极值，点是拐点，则 ， ， ， 二选择题1. 曲线在区间内 B （A）凹且单调增加 （B）凹且单调减少 （C）凸且单调增加 （D）凸且单调减少2若二阶可导，且，又时，则在内曲线 C （A）单调下降，曲线是凸的 （B）单调下降，曲线是凹的（C）单调上升，曲线是凸的 （D）单调上升，曲线是凹的3曲线的拐点个数为 C (A) 0 （B）1 （C）2 （D）3三证明题：利用函数的凹凸性证明 四作函数的图形 解：（1）所给函数的定义域为R，= =（2）的零点为， 的零点为， 这些点把定义域分成四个部分 (3) 在各个区间，得符号，相应的曲线的升降性及凹凸性，以及拐点，如下表： x000图形拐点极大值拐点 （4），所以，是函数的水平渐进线。 （5）描点作图（略）高等数学()练习 第二章 一元函数微分学 系 专业 班 姓名 学号 习题十四 曲率 一、填空题1抛物线在点处的曲率 ，曲率半径 .2曲线，在处的曲率 ，曲率半径 .3曲线在点的曲率为 二、选择题：椭圆 在长轴端点的曲率 B （A）0 （B） （C） （D）不存在三、计算题：1求曲线上曲率最大的点及该点处的曲率半径解：， 令 ， 且可知 当时取得最大值。 曲率半径 1 汽车连同载重共5吨，在抛物线拱桥上行驶，速度为21.6（公里/小时）桥的跨度为10米，拱的矢高为0.25米，求汽车越过桥顶时对桥的压力。解：取桥顶为原点，竖直向下为y轴的正方向，则抛物线的方程为桥端点（5，0.25）在抛物线上，所以抛物线的方程为， ，所以 所以在桥顶处抛物线的曲率半径为，向心力为 所以汽车越过桥顶时对桥的总压力为 高等数学()练习 第二章 一元函数微分学 系 专业 班 姓名 学号 习题十五 综合练习一填空题1函数在上满足罗尔定理的条件,由罗尔定理确定的 。 2极限 。3在区间 内单调减少；在区间 内单调增加。4在 处取得极小值5在的最大值点为 。6曲线的凸区间是 , 凹区间是 拐点是 。二选择题1设，则