2019-2020学年内蒙古乌兰察布市集宁区高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年内蒙古乌兰察布市集宁区高一上学期期末数学试题一、单选题1已知集合,则( )ABCD【答案】C【解析】计算得到，再计算得到答案.【详解】因为,所以.故选：【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.2已知直线经过两点，则直线的倾斜角是( )ABCD【答案】A【解析】求出直线的斜率，根据斜率得倾斜角【详解】由题意直线的斜率为，倾斜角为故选：A【点睛】本题考查直线的倾斜角，可先求出斜率根据斜率是倾斜角的正切值求出倾斜角3若函数,则( )A9B6C4D3【答案】B【解析】求得对应的值，由此求得函数值.【详解】由，解得，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查函数值的求法，属于基础题.4函数的零点所在的区间是( )ABCD【答案】A【解析】根据函数单调递增和,得到答案.【详解】是单调递增函数,且,所以的零点所在的区间为故选：【点睛】本题考查了零点所在的区间，意在考查学生对于零点存在定理的应用.5已知,则的边上的中线所在的直线方程为( )ABCD【答案】B【解析】计算得到，再计算直线方程得到答案.【详解】的中点为,边上的中线所在的直线方程为,即.故选：【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力.6若直线被圆截得的弦长为,则( )AB5C10D25【答案】B【解析】圆的圆心坐标为,半径，根据弦长得到，计算得到答案.【详解】圆的圆心坐标为,半径,直线被圆截得的弦长为,可得圆心到直线的距离为,则.故选：【点睛】本题考查了根据弦长求参数，意在考查学生的计算能力.7已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆,则该圆锥的体积是( )ABCD【答案】D【解析】先计算圆锥的半径和母线长分别为2和4，再计算圆锥的高为，得到体积.【详解】因为半圆的弧长为,半圆的弧长为圆锥的底面周长,所以该圆锥的底面半径.由题意可知该圆锥的母线长为4,则圆锥的高为,故该圆锥的体积是.故选：【点睛】本题考查了圆锥的体积，抓住扇形和圆锥的线段长度关系是解题的关键.8已知，则( )ABCD【答案】B【解析】把化为同底数的幂比较大小，再借助于数2与比较【详解】，又，而，故选：B【点睛】本题考查比较大小，比较幂的大小尽量化为同底数的幂或化为同指数的幂，同样比较对数大小也尽量化为同底数的对数，如果不能化为同底数（或同指数）或不同类型的数则要借助于中间值比较，如等等9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） ABCD【答案】A【解析】由三视图可知，直观图是由半个球与一个圆锥拼接，即可求出表面积【详解】由三视图可知，该几何体由半个球与一个圆锥拼接而成，所以该几何体的表面积.故选：A【点睛】本题考查三视图，考查表面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题10已知,点是圆:上的动点,则的最小值为( )A9B14C18D26【答案】D【解析】设为坐标原点，化简得到，再计算得到答案.【详解】设为坐标原点,则,又,所以.故选：【点睛】本题考查了圆相关的最值问题，变换是解题的关键.11如图,在长方体中,点是的中点,点是底面内(不包括边界)一动点,且三棱锥体积为,则的最小值是( ) ABCD【答案】D【解析】计算得到，点到的距离为，点在底面内(不包括边界)与平行,且距离为的线段上，得到最值.【详解】因为三棱锥的体积,所以.设点到的距离为,则,解得,所以点在底面内(不包括边界)与平行,且距离为的线段上,要使最小,则点是过作的垂线与线段的交点.因为点到的距离为,此时.故选：【点睛】本题考查了立体几何中的最值问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.12设,分别是方程,的实根,则( )ABCD【答案】C【解析】将方程有实根转化为两函数有交点,利用图像判断交点的位置,进而判断选项【详解】由题,对于,由与的图像,如图所示,可得；对于,由与的图像,如图所示,可得；对于,由与的图像,如图所示,可得或故【点睛】本题考查零点的分布,考查转化思想与数形结合思想二、填空题13若直线:与直线:互相垂直,则_.【答案】【解析】直接利用直线垂直公式计算得到答案.【详解】因为,所以,所以.故答案为：【点睛】本题考查了根据直线垂直求参数，意在考查学生的计算能力.14已知函数,则_.【答案】13【解析】直接代入计算得到答案.【详解】因为,所以.故答案为：【点睛】本题考查了分段函数的函数值，意在考查学生的计算能力.15已知长方体的每个顶点都在球的球面上.若,则球的体积是_.【答案】【解析】计算得到，再计算体积得到答案.【详解】在长方体中,设长方体的外接球的半径为,所以,所以,则球的体积.故答案为：【点睛】本题考查了长方体的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.16设函数，若对任意的，不等式恒成立，则a的取值范围是_.【答案】【解析】先证明函数为奇函数，根据，结合对数运算法则可得，根据复合函数的单调性，可判断在上为减函数，再结合奇偶性和在处连续，可得在R上为减函数，于是等价转化为，得，即对任意的， 从而有，即可求解.【详解】因为，所以为奇函数，且定义域为R.又因为函数在上为增函数所以在上为减函数，从而在R上为减函数.于是等价于，所以，即.因为，所以，所以，解得.故答案为:.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用函数的奇偶性和单调性，将不等式等价转化，化归为函数的单调性和奇偶性是解题的难点，属于较难题.三、解答题17已知集合或,.(1)当时,求;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1)或;(2).【解析】（1）计算，或，再计算得到答案.（2）根据得到，故或，计算得到答案.【详解】(1)因为,所以,即,当时,或,所以或.(2)因为,所以, ,则或,即或,所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查了并集的计算，根据包含关系求参数，意在考查学生对于集合知识的综合应用.18计算或化简:(1);(2).【答案】(1);(2).【解析】（1）根据对数指数运算法则计算得到答案.（2）根据对数运算法则计算得到答案.【详解】(1)原式.(2)原式.【点睛】本题考查了指数对数的计算，意在考查学生的计算能力.19已知直线经过点.（1）若与直线平行，求的方程（结果用一般式表示）；（2）若在轴上的截距与在轴上的截距相等，求的方程（结果用一般式表示）.【答案】（1）（2）或.【解析】（1）根据平行得到的斜率为2，得到点斜式为，化简得到答案.（2）根据直线是否过原点两种情况分别计算得到答案.【详解】（1）因为与直线平行，所以的斜率为2，由点斜式可得，的方程为，即.（2）当直线过原点时，的斜率为，所以的方程为.当直线不过原点时，设直线的方程为，代入，得，所以的方程为.综上所述：的方程为或.【点睛】本题考查了直线方程，讨论直线是否过原点是解题的关键，意在考查学生的计算能力.20已知二次函数,且.(1)求的解析式;(2)若在上的最大值为-1,求的值以及的最小值.【答案】(1);(2), .【解析】（1）将函数代入等式化简得到答案.（2），讨论和两种情况分别计算得到答案.【详解】(1)由,得,所以,所以,故.(2).当,即时,得,此时的图象的对称轴为,.当,即时,得,无解.综上所述：,的最小值为.【点睛】本题考查了函数的解析式，函数的最值，意在考查学生对于函数知识的综合应用.21已知圆C经过A（5，3），B（4，4）两点，且圆心在x轴上.（1）求圆C的标准方程；（2）若直线l过点（5，2），且被圆C所截得的弦长为6，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）根据题意可设圆的方程为，根据点在圆上可得关于的方程组，解出方程组即可得到圆的方程.（2）由直线截圆所得的弦长结合垂径定理可得圆心到直线的距离为4，当直线斜率不存在时显然成立，当直线斜率存在时，可设为点斜式，根据点到直线的距离公式求出斜率即可.【详解】（1）因为圆心在x轴上，所以可设圆的方程为. 因为圆C经过A（5，3），B（4，4）两点，所以解得，. 故圆C的标准方程是. （2）因为直线l被圆C所截得的弦长为6，所以圆C的圆心到直线l的距离.当直线l的斜率不存在时，因为直线l过点，所以直线l的方程为，所以圆C的圆心到直线l的距离，符合题意； 当直线l的斜率存在时，可设出直线l的方程为，即，则圆C的圆心到直线l的距离，解得， 故直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或.【点睛】本题考查了用待定系数法求圆的方程，通常用一般式计算要简单；另外圆与直线相交时，半径、弦长的一半和弦心距的关系，注意用到斜率考虑是否存在问题，属于中档题22已知函数，其中为自然对数的底数.(1)证明:在上单调递增；(2)函数，如果总存在，对任意都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）用增函数定义证明；（2）分别求出和的最大值，由的最大值不小于的最大值可得的范围【详解】（1）设，则，即，在上单调递增；（2）总存在，对任意都成立，即，的最大值为，是偶函数，