高中数学 5.1数列的概念与简单表示法课件 理 新人教A版.ppt

第一节数列的概念与简单表示法 1 根据数列的递推关系求通项公式和已知前n项和sn求an是高考考查的重点 2 多在解答题中出现 属中档题目 1 数列的定义 分类与通项公式 1 数列的定义 数列 按照 排列的一列数 数列的项 数列中的 一定顺序 每一个数 2 数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 项与项间的大小关系 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 常数列 项数 项数 an 1 an an 1 an an 1 an 其中n n 有限 无限 3 数列的通项公式如果数列 an 的第n项与 之间的关系可以用一个式子来表示 那么这个公式叫做这个数列的通项公式 序号n 即时应用 1 思考 数列的通项公式是唯一的吗 是否每个数列都有通项公式 提示 不唯一 如数列 1 1 1 1 的通项公式可以是an 1 n n n 也可以是有的数列没有通项公式 2 判断下列说法是否正确 请在括号中填写 或 数列1 3 5 7可表示为 1 3 5 7 数列1 0 1 2与数列 2 1 0 1是相同的数列 数列的第k项为 数列0 2 4 6 可记为 2n 解析 由数列的定义可知 错误 数列的第k项为故 正确 数列0 2 4 6 的通项公式为an 2n 2 故 错 综上知 正确 错误 答案 3 若数列 an 的通项公式为那么这个数列是 数列 填 递增 递减 摆动 解析 方法一 令在 0 上是增函数 则数列 an 是递增数列 方法二 an 1 an 数列 an 是递增数列 答案 递增 4 数列9 99 999 的通项公式an 解析 9 10 1 99 102 1 999 103 1 an 10n 1 答案 10n 1 2 数列的递推公式如果已知数列 an 的 或 且任何一项an与它的前一项an 1 或前几项 间的关系可以用一个式子来表示 即an f an 1 或an f an 1 an 2 那么这个式子叫做数列 an 的递推公式 第一项 前几项 即时应用 1 已知数列 an 中 a1 1 则a5 2 数列 an 满足a1 0 an 1 an 2n 则 an 的通项公式an 解析 1 a1 1 2 由已知 an 1 an 2n 故an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 0 2 4 2 n 1 n n 1 答案 1 2 n n 1 3 an与sn的关系若数列 an 的前n项和为sn 则 s1 sn sn 1 即时应用 1 数列 an 的前n项和sn n2 1 则an 2 数列 an 的前n项和为sn 且a1 1 sn nan 则an 解析 1 当n 1时 a1 s1 2 当n 2时 an sn sn 1 n2 1 n 1 2 1 n2 n 1 2 2n 1 将n 1代入an 2n 1得a1 1 2 2 当n 2时 an sn sn 1 nan n 1 an 1 an an 1 n 2 又 a1 1 an 1答案 1 2 1 已知数列的前几项归纳数列的通项公式 方法点睛 求数列的通项时 要抓住以下几个特征 1 分式中分子 分母的特征 2 相邻项的变化特征 3 拆项后的特征 4 各项符号特征等 并对此进行归纳 联想 例1 根据数列的前几项 写出下列各数列的一个通项公式 1 1 7 13 19 2 0 8 0 88 0 888 解题指南 1 从各项符号和各项绝对值的关系两方面考虑 2 从考虑数列0 8 0 88 0 888 和数列0 9 0 99 0 999 的关系着手 3 分子规律不明显 从考虑分子与分母的关系着手 规范解答 1 符号可通过 1 n表示 后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6 故通项公式为an 1 n 6n 5 2 数列变为 3 各项的分母分别为21 22 23 24 易看出第2 3 4项的分子分别比分母少3 因此把第1项变为原数列化为 反思 感悟 1 解答本题 3 时有两个困惑 一是首项的符号 二是各项分子规律不明显 解答时从分子与分母的关系入手 是求解的关键 2 归纳通项公式应从以下四个方面着手 1 观察项与项之间的关系 2 符号与绝对值分别考虑 3 分开看分子 分母 再综合看分子 分母的关系 4 规律不明显时适当变形 变式训练 根据数列的前几项 写出各数列的一个通项公式 1 3 5 7 9 解析 1 各项减去1后为正偶数 an 2n 1 2 每一项的分子比分母少1 而分母组成数列21 22 23 24 3 各项负正相间 故通项公式中含有因式 1 n 各项绝对值的分母组成数列 n 分子组成的数列中 奇数项为1 偶数项为3 即奇数项为2 1 偶数项为2 1 变式备选 根据数列的前4项 写出数列的一个通项公式 1 2 5 8 11 2 1 4 9 16 解析 1 a1 3 1 1 2a2 3 2 1 5a3 3 3 1 8a4 3 4 1 11 an 3n 1 2 a1 12 1a2 22 4a3 32 9a4 42 16 an n2 已知sn求an 方法点睛 已知sn求an时应注意的问题 1 应重视分类讨论思想的应用 分n 1和n 2两种情况讨论 特别注意an sn sn 1中需n 2 2 由sn sn 1 an推得an 当n 1时 a1也适合 an式 则需统一 合写 3 由sn sn 1 an推得an 当n 1时 a1不适合 an式 则数列的通项公式应分段表示 分写 即 例2 已知数列 an 的前n项和sn 分别求它们的通项公式an 1 sn 2n2 3n 2 sn 3n 1 解题指南 解决本题的关键是明确通项公式an与前n项和sn的关系 利用进行求解 规范解答 1 由题可知 当n 1时a1 s1 2 12 3 1 5 当n 2时 an sn sn 1 2n2 3n 2 n 1 2 3 n 1 4n 1 当n 1时 4 1 1 5 a1 an 4n 1 2 当n 1时 a1 s1 3 1 4 当n 2时 an sn sn 1 3n 1 3n 1 1 2 3n 1 当n 1时 2 31 1 2 a1 反思 感悟 解答此类题目易犯的错误是没有分n 1和n 2两种情况求解 而是直接根据an sn sn 1求得an 变式训练 已知数列 an 的前n项和为sn 求下列条件下数列的通项公式 1 sn 2 5n 2 2 sn 2 3n 1 1 解析 1 当n 1时 a1 s1 2 5 2 8 当n 2时 an sn sn 1 2 5n 2 2 5n 1 2 8 5n 1 当n 1时 8 8 a1 故an 8 5n 1 2 当n 1时 a1 s1 1 当n 2时 an sn sn 1 2 3n 1 1 2 3n 2 1 2 3n 1 2 3n 2 2 3n 2 3 1 4 3n 2 当n 1时 故数列 an 的通项公式为 由递推公式求数列的通项公式 方法点睛 1 累加法 求an已知a1且an an 1 f n n 2 可以用 累加法 即an an 1 f n an 1 an 2 f n 1 a3 a2 f 3 a2 a1 f 2 所有等式左右两边分别相加 代入a1得an 2 累乘法 求an已知a1且可以用 累乘法 即所有等式左右两边分别相乘 代入a1得an 提醒 在求解出通项公式后 记得验证a1是否满足公式 例3 根据下列条件 确定数列 an 的通项公式 1 a1 2 an 1 an ln 1 2 a1 1 nan 1 n 1 an 解题指南 1 求an an 1 累加求和并验证n 1的情形 2 求累乘求积并验证n 1的情形 规范解答 1 an 1 an ln 1 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1又a1 2适合上式 故an 2 lnn n n 2 a1 1 nan 1 n 1 an 又a1 1适合上式 故an n n n 互动探究 将本例 1 中 an 1 an ln 1 改为 如何求解 解析 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1当n 1时 a1 2也适合上式 故 反思 感悟 解答此类题目应注意两个方面的问题 一是何时应用 累加 或 累乘 法 可从所给递推公式的结构上分析 二是如何 累加 或 累乘 这是求通项公式an的关键 应注意对 累加 式或 累乘 式的变形 变式备选 求出满足条件a1 0 an 1 an 2n 1 n n 的数列的通项公式 解析 由题意得 an an 1 2n 3 n 2 an a1 a2 a1 an an 1 0 1 3 2n 5 2n 3 n 1 2 又a1 0适合上式 所以数列的通项公式为an n 1 2 易错误区 忽视数列的项数n的范围致误 典例 2012 武汉模拟 已知数列 an 满足a1 33 an 1 an 2n 则的最小值为 解题指南 先用 累加法 求出an 再根据的单调性求最小值 规范解答 an 1 an 2n an an 1 2 n 1 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 2n 2 2n 4 2 33 n2 n 33 n 2 又a1 33适合上式 an n2 n 33 令令f x 0得 当时 f x 0 即f x 在区间上递减 在区间上递增 又且 f 5 f 6 当n 6时 有最小值答案 阅卷人点拨 通过阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2012 荆州模拟 设数列 an 的前n项和sn n2 n 则a7的值为 a 13 b 14 c 15 d 16 解析 选b a7 s7 s6 72 7 62 6 14 2 2012 中山模拟 数列的第10项是 解析 选c 由已知得数列的通项公式 3 2012 咸宁模拟 已知数列 an 若a1 b b