面面垂直的判定

二面角 复习回顾 1 在平面几何中 角 是怎样定义的 2 在立体几何中 异面直线所成的角 是怎样定义的 3 在立体几何中 直线和平面所成的角 是怎样定义的 a b a b 新课引入 一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分 其中的每一部分都叫做半平面 一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分 其中的每一部分都叫做射线 1 二面角的相关概念 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 这两个半平面叫做二面角的面 平面角由射线 点 射线构成 二面角由半平面 线 半平面构成 l A B P Q 2 二面角的表示 l 二面角 l 二面角C AB D 3 二面角的画法 如何度量二面角的大小 能否转化为平面角来处理 找一个能变化的平面角 AOB 把它放入二面角的模型内 将顶点O放在棱上 两边紧贴在两个面上 AO l BO l A O B A O B A O B l l l 怎样才能找到这样的一个角 它的大小唯一 且由二面角的大小决定 OA OB不可随意 要使 AOB唯一确定 只有OA OB与棱垂直 缓慢打开教室的门 门打开的角度可以用哪个角来表示 1 二面角的平面角的定义 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 角的平面角 一个平面垂直于二面角 的棱 并与两半平 面分别相交于射线PA PB 垂足为P 则 APB叫做二面 定义二 PA l PB l A B 定义一 二 二面角的平面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角 相交成直二面角的两个平面 叫做互相垂直的平面 二面角的平面角的三个特征 1 点在棱上 2 边在面内 3 边与棱垂直 二面角的大小 二面角的大小可以用它的平面角来度量 二面角的平面角是多少度 就说这个二面角是多少度 二面角的大小的范围 互相垂直的平面 两个平面垂直的判定 两个平面互相垂直 定义 一般地 如果两个平面相交 且其所成二面角为直二面角 则两个平面垂直 记作 A B C 画法 问题引入 建筑工人砌墙时 如何检测所砌的墙面和地面是否垂直 问题引入 方法一 建筑工人砌墙时 常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和地面垂直 如果系有铅锤的线和墙面紧贴 问题引入 那么所砌的墙面与地面垂直 大家知道其中的理论根据吗 它就是本节课的内容之一 平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 猜想 如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 已知 AB AB B AB 求证 证明 C D A B 在平面 内过B点作直线BE CD 则 ABE就是二面角 CD 的平面角 设 CD 则B CD 两个平面垂直的判定定理 线线垂直 线面垂直 面面垂直 一个平面过另一个平面的垂线 则这两个平面垂直 关键是找或作其中一个平面的垂线 课堂练习 1 如果平面 内有一条直线垂直于平面 内的一条直线 则 3 如果平面 内的一条直线垂直于平面 内的两条相交直线 则 一 判断 4 若m m 则 2 如果平面 内有一条直线垂直于平面 内的两条直线 则 1 过平面 的一条垂线可作 个平面与平面 垂直 2 过一点可作 个平面与已知平面垂直 二 填空题 3 过平面 的一条斜线 可作 个平面与平面 垂直 4 过平面 的一条平行线可作 个平面与 垂直 一 无数 无数 一 例1 设AB是圆O的直径 PA垂直于圆O所在平面 C是圆周上的任意点 求证 面PAC 面PBC P A B C O 例题讲解 例2 空间四边形ABCD中 已知AB 3 AC AD 2 DAC BAC BAD 600 求证 平面BCD 平面ADC A C B D O 例题讲解 例 已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面 A为垂足 求证 平面PAC 平面PBD 证明 A B D P C O 例题讲解 例4 如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行 那么这两个平面互相垂直 已知 a a 求证 b 例5 已知PA 平面ABCD ABCD为矩形 PA AD M N分别是AB PC的中点 求证 1 MN 平面PAD 2 平面PMC 平面PDC 练习 1 已知 ABC中 O为AC中点 ABC 900 P为 ABC所在平面外一点 PA PB PC 求证 平面PAC 平面ABC P A B C O 2 PD 面ABCD 四边形ABCD为正方形 在所有的平面中共有多少对互相垂直的平面 P D A B C 归纳小结 1 判定面面垂直的两种方法 定义法 根据面面垂直的判定定理 2 面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据 而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依