向量组及其线性组合

向量组及其线性组合 或aT a1 a2 an 向量n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量 其中a称为列向量 即列矩阵 aT称为行向量 即行矩阵 由数组a1 a2 an所组成的n维向量可记为 上页 下页 铃 结束 返回 补充例题 首页 1 列向量用黑体小写字母a b 等表示 行向量则用aT bT T T等表示 所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时 都当作列向量 说明 下页 2 分量全为实数的向量称为实向量 分量为复数的向量称为复向量 或aT a1 a2 an 向量n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量 由数组a1 a2 an所组成的n维向量可记为 说明 3 规定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算 其中a称为列向量 即列矩阵 aT称为行向量 即行矩阵 下页 向量n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量 向量组若干个同维数的列向量 或同维数的行向量 所组成的集合叫做向量组 向量举例 在空间直角坐标系中 点P x y z 与3维向量r x y z T之间有一一对应的关系 我们把3维向量的全体所组成的集合R3 r r x y z T x y z R 叫做三维向量空间 下页 在空间直角坐标系中 点集 P x y z ax by cz d 是一个平面 a b c不全为0 在三维向量空间中 向量集 r r x y z T ax by cz d 也叫做向量空间R3中的平面 并把 作为它的图形 向量n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量 向量组若干个同维数的列向量 或同维数的行向量 所组成的集合叫做向量组 向量举例 下页 n维向量的全体所组成的集合Rn x x x1 x2 xn T x1 x2 xn R 叫做n维向量空间 n维向量的集合 x x x1 x2 xn T a1x1 a2x2 anxn b 叫做n维向量空间Rn中的n 1维超平面 向量n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量 向量组若干个同维数的列向量 或同维数的行向量 所组成的集合叫做向量组 向量举例 下页 向量n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量 向量组若干个同维数的列向量 或同维数的行向量 所组成的集合叫做向量组 向量举例 线性方程Am nx 0的全体解当R A n时是一个含无限多个n维列向量的向量组 下页 向量n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量 向量组若干个同维数的列向量 或同维数的行向量 所组成的集合叫做向量组 向量举例 一个m n矩阵对应一个m维列向量组 也对应一个n维行向量组 下页 向量n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量 向量组若干个同维数的列向量 或同维数的行向量 所组成的集合叫做向量组 向量举例 一个m n矩阵对应一个m维列向量组 也对应一个n维行向量组 下页 向量n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量 这n个数称为该向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量 向量组若干个同维数的列向量 或同维数的行向量 所组成的集合叫做向量组 向量举例 一个m n矩阵对应一个m维列向量组 也对应一个n维行向量组 下页 今后 由列向量组A a1 a2 am所构成的矩阵简记为A或 a1 a2 am 线性组合与线性表示设A a1 a2 am是一向量组 表达式k1a1 k2a2 kmam 称为向量组A的一个线性组合 其中k1 k2 km是一组实数 称为这线性组合的系数 如果向量b是向量组A的线性组合b 1a1 2a2 mam 则称向量b能由向量组A线性表示 定理1向量b能由向量组A a1 a2 am线性表示的充分必要条件是矩阵A a1 a2 am 与矩阵B a1 a2 am b 的秩相等 即R A R B 下页 例1设a1 1 1 2 2 T a2 1 2 1 3 T a3 1 1 4 0 T b 1 0 3 1 T 证明向量b能由向量组a1 a2 a3线性表示 并求出表示式 设A a1 a2 a3 B A b a1 a2 a3 b 因为 所以R A R B 因此向量b能由向量组a1 a2 a3线性表示 由上列行最简形 可得方程 a1 a2 a3 x b的通解为 从而得表示式b a1 a2 a3 x 3c 2 a1 2c 1 a2 ca3 其中c可任意取值 下页 注 bj k1ja1 k2ja1 kmjam j 1 2 l 向量组的等价若向量组B b1 b2 bl中的每个向量都能由向量组A a1 a2 am线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示 若向量组B组能由向量组A线性表示 则存在矩阵K kij 使 矩阵K称为这一线性表示的系数矩阵 若向量组A与B能相互表示 则称这两个向量组等价 下页 因此 若C AB 则 1 矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示 2 矩阵C的行向量组能由矩阵B的行向量组线性表示 向量组的等价若向量组B b1 b2 bl中的每个向量都能由向量组A a1 a2 am线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示 若向量组B组能由向量组A线性表示 则存在矩阵K kij 使 若向量组A与B能相互表示 则称这两个向量组等价 下页 提示 若矩阵A与B行等价 则这两个矩阵的行向量组等价 矩阵等价与向量组等价的关系 这是因为 矩阵A经初等行变换变成矩阵B 则B的每个行向量都是A的行向量组的线性组合 反之 由初等变换的可逆性 A的行向量组也能由B的行向量组线性表示 向量组的等价若向量组B b1 b2 bl中的每个向量都能由向量组A a1 a2 am线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示 若向量组A与B能相互表示 则称这两个向量组等价 下页 若矩阵A与B列等价 则这两个矩阵的列向量组等价 若矩阵A与B行等价 则这两个矩阵的行向量组等价 矩阵等价与向量组等价的关系 向量组的等价若向量组B b1 b2 bl中的每个向量都能由向量组A a1 a2 am线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示 若向量组A与B能相互表示 则称这两个向量组等价 下页 向量组的等价若向量组B b1 b2 bl中的每个向量都能由向量组A a1 a2 am线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示 若向量组A与B能相互表示 则称这两个向量组等价 定理2向量组B b1 b2 bl能由向量组A a1 a2 am线性表示的充分必要条件是R A R A B 注 A B a1 a2 am b1 b2 bl 推论向量组A a1 a2 am与向量组B b1 b2 bl等价的充分必要条件是R A R B R A B 下页 例2设a1 1 1 1 1 T a2 3 1 1 3 T b1 2 0 1 1 T b2 1 1 0 2 T b3 3 1 2 0 T 证明向量组a1 a2与向量组b1 b2 b3等价 记A a1 a2 B b1 b2 b3 证明 将 A B 化为行最简形 又R B R A B 2 于是知R B 2 因此R A R B R A B 根据定理2的推论 知向量组a1 a2与向量组b1 b2 b3等价 可见 R A 2 R A B 2 故R B 2 容易看出矩阵B中有不等于0的2阶子式 下页 定理3设向量组B b1 b2 bl能由向量组A a1 a2 am线性表示 则R b1 b2 bl R a1 a2 am 证明记A a1 a2 am B b1 b2 bl 按定理的条件 根据定理2有R A R A B 而R B R A B 因此R B R A