函数与方程思想在数列中应用.doc

典例42015湖北高考设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q，已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)当d1时，记cn，求数列cn的前n项和Tn.解(1)由题意有，即解得或故或(2)由d1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn.可得Tn23，故Tn6.数列问题函数(方程)化法数列问题函数(方程)化法形式结构与函数(方程)类似，但要注意数列问题中n的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤是：第一步：分析数列式子的结构特征第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式第三步：研究函数性质结合解决问题的需要研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究第四步：回归问题结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题【针对训练4】2016东城模拟已知数列an是各项均为正数的等差数列(1)若a12，且a2，a3，a41成等比数列，求数列an的通项公式an；(2)在(1)的条件下，数列an的前n项和为Sn，设bn，若对任意的nN*，不等式bnk恒成立，求实数k的最小值解(1)因为a12，aa2(a41)，又因为an是正项等差数列，故公差d0，所以(22d)2(2d)(33d)，解得d2或d1(舍去)，所以数列an的通项公式an2n.(2)因为Snn(n1)，bn，令f(x)2x(x1)，则f(x)2，当x1时，f(x)0恒成立，所以f(x)在1，)上是增函数，故当x1时，f(x)minf(1)3，即当n1时，(bn)max，要使对任意的正整数n，不等式bnk恒成立，则须使k(bn)max，所以实数k的最小值为.数列1等差数列通项公式：ana1(n1)d.2等差数列前n项和公式：Snna1.3等比数列通项公式：ana1qn1.4等比数列前n项和公式：Sn.5等差中项公式：2anan1an1(nN*，n2)6等比中项公式：aan1an1(nN*，n2)7数列an的前n项和与通项an之间的关系：an.重要结论1通项公式的推广：等差数列中，anam(nm)d；等比数列中，anamqnm.2增减性：(1)等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列(2)等比数列中，若a10且q1或a10且0q0且0q1或a11，则数列为递减数列3等差数列an中，Sn为前n项和Sn，S2nSn，S3nS2n，仍成等差数列；等比数列bn 中，Tn为前n项和Tn，T2nTn，T3nT2n，一般仍成等比数列失分警示1忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条件2漏掉等比中项：正数a，b的等比中项是，容易漏掉.3忽略对等比数列的公比的讨论：应用等比数列前n项和公式时应首先讨论公式q是否等于1.4anan1d或q中注意n的范围限制5易忽略公式anSnSn1成立的条件是n2.6证明一个数列是等差或等比数列时，由数列的前n项和想当然得到数列的通项公式，易出错，必须用定义证明7等差数列的单调性只取决于公差d的正负，而等比数列的单调性既要考虑公比q，又要考虑首项a1的正负.考点数列的概念、表示方法及递推公式典例示法题型1利用递推关系求通项公式典例1(1)已知正项数列an满足a11，(n2)a(n1)aanan10，则它的通项公式为()Aan BanCan Dann解析由(n2)a(n1)aanan10，得(n2)an1(n1)an(an1an)0，又an0，所以(n2)an1(n1)an，即，an1an，所以ana1a1(n2)，所以an(n1适合)，于是所求通项公式为an.答案B(2)2015江苏高考设数列an满足a11，且an1ann1(nN*)，则数列前10项的和为_解析由a11，且an1ann1(nN*)得，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)123n，则2，故数列前10项的和S1022.答案题型2利用an与Sn的关系求an典例22015全国卷Sn为数列an的前n项和，已知an0，a2an4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和解(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.可得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由于an0，可得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an2n1.(2)由an2n1可知bn.设数列bn的前n项和为Tn，则Tnb1b2bn.求数列通项公式的常见类型及方法(1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法(2)已知Sn与an的关系，利用an求an.(3)累加法：数列递推关系形如an1anf(n)，其中数列f(n)前n项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)(4)累乘法：数列递推关系形如an1g(n)an，其中数列g(n)前n项可求积，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)(5)构造法：递推关系形如an1panq(p，q为常数)可化为an1p(p1)的形式，利用是以p为公比的等比数列求解；递推关系形如an1(p为非零常数)可化为的形式考点等差、等比数列的运算典例示法题型1等差、等比数列的基本运算典例32015全国卷已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2()A2 B1C. D.解析设等比数列an的公比为q，a1，a3a54(a41)，由题可知q1，则a1q2a1q44(a1q31)，q64，q616q3640，(q38)20，q38，q2，a2，故选C.答案C题型2等差、等比数列性质的运算典例42016全国卷设等比数列an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_解析设an的公比为q，由a1a310，a2a45得a18，q，则a24，a32，a41，a5，所以a1a2ana1a2a3a464.答案641等差(比)数列基本运算中的关注点(1)基本量在等差(比)数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个基本量(2)解题思路求公差d(公比q)：常用公式anam(nm)d(anamqnm)；列方程组：若条件与结论的联系不明显时，常把条件转化为关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元及整体计算，以减少计算量2等差(比)数列的性质盘点考点等差、等比数列的判断与证明典例示法典例52014全国卷已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数(1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由解(1)证明：由题设，anan1Sn1，an1an2Sn11，两式相减得an1(an2an)an1.因为an10，所以an2an.(2)由题设，a11，a1a2S11，可得a21，由(1)知，a31.若an为等差数列，则2a2a1a3，解得4，故an2an4.由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2.因此存在4，使得数列an为等差数列在本例题(2)中是否存在，使得an为等比数列？并说明理由解由题设可知a11，a1a2S11，得a21，由(1)知a31，若an为等比数列，则aa1a3，即(1)21，解得0或3.当0时，anan11，又a11，所以a21，a31，an(1)n1，所以数列an为首项为1，公比为1的等比数列；当3时，a11，a22，a34，故可令an2n1，则anan122n1.Sn132n4，易得anan1与Sn1不恒相等，与已知条件矛盾综上可知，存在0，使得an为等比数列1等差数列的判定方法(1)证明一个数列an为等差数列的基本方法有两种利用等差数列的定义证明，即证明an1and(nN*)；利用等差中项证明，即证明an2an2an1(nN*)(2)解选择、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断通项法：若数列an的通项公式为n的一次函数，即anAnB，则an是等差数列前n项和法：若数列an的前n项和Sn是SnAn2Bn的形式(A，B是常数)，则an是等差数列2等比数列的判定方法(1)定义法：若q(q为非零常数)或q(q为非零常数且n2)，则an是等比数列(2)中项公式法：若数列an中，an0且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列(4)前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列提醒：若判断一个数列不是等差(等比)数列，则只需说明前三项不是等差(等比)数列即可针对训练2016云南统测在数列an中，a1，an12，设bn，数列bn的前n项和是Sn.(1)证明数列bn是等差数列，并求Sn；(2)比较an与Sn7的大小解(1)证明：bn，an12，bn11bn1，bn1bn1，数列bn是公差为1的等差数列由a1，bn得b1，Sn3n.(2)由(1)知：bnn1n.由bn得an11.anSn73n6.当n4时，y3n6是减函数，y也是减函数，当n4时，anSn7a4S470.又a1S170，a2S270，a3S371，a3a520，a2a664，则S5()A31 B36C42 D48答案A解析由等比数列的性质，得a3a5a2a664，于是由且公比q1，得a34，a516，所以解得所以S531，故选A.32016唐山统考设Sn是等比数列an的前n项和，若3，则()A2 B.C. D1或2答案B解析设S2k，S43k，由数列an为等比数列，得S2，S4S2，S6S4为等比数列，S2k，S4S22k，S6S44k，S67k，S43k，故选B.42015浙江高考已知an是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn.若a3，a4，a8成等比数列，则()Aa1d0，dS4 0 Ba1d0，dS40，dS40 Da1d0答案B解析由aa3a8，得(a12d)(a17d)(a13d)2，整理得d(5d3a1)0，又d0，a1d，则a1dd20，又S44a16dd，dS4d20，a1，如果an1是1与的等比中项，那么a1的值是_答案解析由题意可得，a(2an1anan11)(2an1anan11)0，又an0，2an1anan110，又2an0，an1an11，又可知an1，1，是以为首项，1为公差的等差数列，(n1)n1an，a11.三、解答题102016蚌埠质检已知数列an是等比数列，Sn为数列an的前n项和，且a33，S39.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog2，且bn为递增数列，若cn，求证：c1c2c3cn1.解(1)设该等比数列的公比为q，则根据题意有39，从而2q2q10，解得q1或q.当q1时，an3；当q时，an3n3.(2)证明：若an3，则bn0，与题意不符，故an3n3，此时a2n332n，bn2n，符合题意cn，从而c1c2c3cn10，bn的公比为q，则an1(n1)d，bnqn1.依题意有解得或(舍去)故ann，bn2n1.(2)由(1)知Sn12nn(n1)，2，22.第二讲数列求和及综合应用重要公式及结论1分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cnanbn形式的数列求和问题的方法，其中an与bn是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列2裂项相消法：将数列的通项分成两个代数式子的差，即anf(n1)f(n)的形式，然后通过累加抵消中间若干项的求和方法形如(其中an是各项均不为0的等差数列，c为常数)的数列等3错位相减法：形如anbn(其中an为等差数列，bn为等比数列)的数列求和，一般分三步：巧拆分；构差式；求和4倒序求和法：距首尾两端等距离的两项和相等，可以用此法，一般步骤：求通项公式；定和值；倒序相加；求和；回顾反思附：(1)常见的拆项公式(其中nN*).若等差数列an的公差为d，则；.()(2)公式法求和：要熟练掌握一些常见数列的前n项和公式，如123n；135(2n1)n2；122232n2n(n1)(2n1)失分警示1公比为字母的等比数列求和时，注意公比是否为1的分类讨论2错位相减法求和时易漏掉减数式的最后一项3裂项相消法求和时易认为只剩下首尾两项4裂项相消法求和时注意所裂式与原式的等价性考点数列求和问题典例示法题型1分组转化求和典例1设数列an满足a12，a2a48，且对任意nN*，函数f(x)(anan1an2)xan1cosxan2sinx满足f0.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn2，求数列bn的前n项和Sn.解(1)由题设可得f(x)anan1an2an1sinxan2cosx.对任意nN*，fanan1an2an10，即an1anan2an1，故an为等差数列由a12，a2a48，解得an的公差d1，所以an21(n1)n1.(2)因为bn222n2，所以Snb1b2bn(222)2(12n)2n2n23n1.题型2错位相减法求和典例22015湖北高考设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q.已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)当d1时，记cn，求数列cn的前n项和Tn.解(1)由题意有，即解得或故或(2)由d1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn，可得Tn23，故Tn6.题型3裂项相消法求和典例32016洛阳统考设数列an的前n项和为Sn，对任意正整数n都有6Sn12an.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlogan，求Tn.解(1)由6Sn12an，得6Sn112an1(n2)两式相减得6an2an12an，即anan1(n2)，由6S16a112a1，得a1，数列an是等比数列，公比q，所以ann12n1.(2)an2n1，bn2n1，从而.Tn.1分组求和的常见方法(1)根据等差、等比数列分组(2)根据正号、负号分组，此时数列的通项式中常会有(1)n等特征2裂项相消的规律(1)裂项系数取决于前后两项分母的差(2)裂项相消后前、后保留的项数一样多3错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列an与等比数列bn对应项相乘(anbn)型数列求和(2)步骤：求和时先乘以数列bn的公比把两个和的形式错位相减整理结果形式考点数列与函数、不等式的综合问题典例示法题型1数列与函数的综合典例42014四川高考设等差数列an的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)2x的图象上(nN*)(1)若a12，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列an的前n项和Sn；(2)若a11，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2，求数列的前n项和Tn.解(1)由已知得，b72a7，b82a84b7，有2 a842 a72a72.解得da8a72.所以，Snna1d2nn(n1)n23n.(2)f(x)2xln 2，f(a2)2 a2ln 2，故函数f(x)2x在(a2，b2)处的切线方程为y2 a22 a2ln 2(xa2)，它在x轴上的截距为a2.由题意得，a22，解得a22.所以da2a11.从而ann，bn2n.所以Tn，2Tn.因此，2TnTn12.所以，Tn.题型2数列与不等式的综合典例52016广州模拟(利用单调性证明不等式)设Sn为数列an的前n项和，已知a12，对任意nN*，都有2Sn(n1)an.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列的前n项和为Tn，求证：Tn0，所以11.因为f(n)在N*上是递减函数，所以1在N*上是递增的，所以当n1时，Tn取最小值.所以Tn1.典例62014全国卷(利用放缩法证明不等式)已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明.证明(1)由an13an1得an13.又a1，所以是首项为，公比为3的等比数列an，因此an的通项公式为an.(2)由(1)知.因为当n1时，3n123n1，所以.于是1.所以0)，因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，是一个公差为d的等差数列与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利这就是说，如果固定年利率为r(r0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1r)n1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1r)n2，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额(1)写出Tn与Tn1(n2)的递推关系式；(2)求证：TnAnBn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列解(1)由题意知：n2时，TnTn1(1r)an，其中ana1(n1)d，TnTn1(1r)a1(n1)d，n2.(2)证明：Tna1(1r)n1a2(1r)n2an1(1r)an，(1r)Tna1(1r)na2(1r)n1an2(1r)3an1(1r)2an(1r)，得rTna1(1r)nd(1r)n1(1r)n2(1r)ana1(1r)nda1(n1)d(1r)n，Tn(1r)n.令An(1r)n，Bnn，则1r(定值)，Bn1Bn(定值)，即TnAnBn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列全国卷高考真题调研12015全国卷设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.答案解析an1Sn1Sn，Sn1SnSn1Sn，又由a11，知Sn0，1，是等差数列，且公差为1，而1，1(n1)(1)n，Sn.22016全国卷Sn为等差数列an的前n项和，且a11，S728.记bnlg an，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，lg 991.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列bn的前1000项和解(1)设an的公差为d，据已知有721d28，解得d1.所以an的通项公式为ann.b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.(2)因为bn所以数列bn的前1000项和为1902900311893.其它省市高考题借鉴32016浙江高考设数列an的前n项和为Sn.若S24，an12Sn1，nN*，则a1_，S5_.答案1121解析由于解得a11.由an1Sn1Sn2Sn1得Sn13Sn1，所以Sn13，所以是以为首项，3为公比的等比数列，所以Sn3n1，即Sn，所以S5121.42015安徽高考已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于_答案2n1解析an为递增的等比数列，设公比为q，则q1.a2a38，a1a48.又a1a49，a11，a48，q2.前n项和为2n1.52015广东高考数列an满足：a12a2nan4，nN*.(1)求a3的值；(2)求数列an的前n项和Tn；(3)令b1a1，bnan(n2)，证明：数列bn的前n项和Sn满足Sn22ln n.解(1)由题意，知3a3(a12a23a3)(a12a2)4，a3.(2)由条件知，nan(a12a2nan)a12a2(n1)an1(n2)，nan，an.又a141时也符合此式，an(nN*)Tn1n12.(3)证明：依题意，得bnan，b1a1，b2a2，b3a3，Snb1b2bn(a1a2an)Tn1)，则f(x)0，f(x)在(1，)上是增函数又f(1)0，即f(x)0，又k2且kN*时，1，fln10，即ln，ln，ln，ln，即有lnlnlnln n，222ln n，即Sn 0)及两点A1(x1,0)和A2(x2,0)，其中x2x10.过A1，A2分别作x轴的垂线，交曲线C于B1，B2两点，直线B1B2与x轴交于点A3(x3,0)，那么()Ax1，x2成等差数列 Bx1，x2成等比数列Cx1，x3，x2成等差数列 Dx1，x3，x2成等比数列答案A解析由题意，得B1，B2两点的坐标分别为，.所以直线B1B2的方程为y(xx1)，令y0，得xx1x2，所以x3x1x2，因此，x1，x2成等差数列62016江西南昌模拟设无穷数列an，如果存在常数A，对于任意给定的正数(无论多小)，总存在正整数N，使得nN时，恒有|anA|1，所以对于正数01，不存在正整数N，使得nN时，恒有|an2|0成立，即2不是数列的极限对于，|an2|，令1log2，所以对于任意给定的正数(无论多小)，总存在正整数N，使得nN时，恒有|an2|1，所以对于正数01，不存在正整数N，使得nN时，恒有|an2|0，an13an，an为等比数列，且公比为3，Sn3n1.82016唐山统考Sn为等比数列an的前n项和，若2S4S22，则S6的最小值为_答案解析由题意得2(a1a1qa1q2a1q3)a1a1q2，整理，得(a1a1q)(12q2)2，即S2(12q2)2.因为12q20，所以S20.又由2S4S22，得S4S21.由等比数列的性质，得S2，S4S2，S6S4成等比数列，所以(S4S2)2S2(S6S4)，所以S6S4S21S22，当且仅当S2，即S2时等号成立，所以S6的最小值为.92016武昌调研设Sn为数列an的前n项和，Sn(1)nan(nN*)，则数列Sn的前9项和为_答案解析因为Sn(1)nan，所以Sn1(1)n1an1(n2)，两式相减得SnSn1(1)nan(1)n1an1，即an(1)nan(1)nan1(n2)，当n为偶数时，ananan1，即an1，此时n1为奇数，所以若n为奇数，则an；当n为奇数时，ananan1，即2anan1，所以an1，此时n1为偶数，所以若n为偶数，则an.所以数列an的通项公式为an所以数列Sn的前9项和为S1S2S3S99a18a27a36a43a72a8a9(