高等数学不定积分讲义

第 3、4 次课 4 学时课程安排：1学期，周学时 2 , 共 48学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程本次课题：不定积分的概念与性质教学要求：1. 理解不定积分的概念 2. 理解不定积分的性质；3. 熟记基本积分表。重 点：不定积分的性质和基本积分表难 点：不定积分的概念教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配：1. 不定积分的概念 （25）2. 不定积分的性质 （30）3. 基本积分表 （30） 4. 习题 （90）课后作业参考资料不定积分的概念与性质1、 复习13个基本导数公式.2、原函数与不定积分的概念. （1）定义1 在区间I上，如果可导函数的导函数为，即对任一xI，都有或=，那么函数就称为(或)在区间I上的原函数. （2）原函数存在定理 如果函数在区间I上连续, 那么在区间I上存在可导函数, 使对任一x I 都有F (x)=. 注： 1、如果函数在区间I上有原函数, 那么就有无限多个原函数. 都是的原函数. (其中C是任意常数). 2、的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果F(x)和都是的原函数,则(为某个常数).简单地说就是,连续函数一定有原函数. 定义2 在区间I上, 函数的带有任意常数项的原函数称为(或)在区间I上的不定积分. 记作 , 其中记号称为积分号, 称为被积函数, 称为被积表达式,称为积分变量. 3、例题讲解.例1 因为是的原函数,所以.因为是的原函数, 所以 .例2. 求函数的不定积分.解：当时，(ln x)，().; 当时，ln(x)，().合并上面两式,得到 (x0). 例3. 求解 由于，所以是的一个原函数，因此.4、变式练习5、积分曲线: 函数的原函数的图形称为的积分曲线,从不定积分的定义,即可知下述关系: , 或 . 又由于是的原函数,所以或记作. 6、基本积分表（略）.例4. . 例5. . 7、不定积分的性质.性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即 . 这是因为, =f(x)+g(x).性质2 求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即 (是常数,). 例6. . . 例7. . 8.变式练习(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13)第 5 次课 2 学时课程安排：1学期，周学时 2 , 共 48学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程本次课题：第一类换元积分法教学要求：1. 掌握第一类换元积分法重 点：第一类换元积分法难 点：凑微分教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配：1. 第一类换元积分法理论 （25）2. 练习 （65）课后作业参考资料 第一类换元积分法1、 回顾旧知（1）复习13个常见积分公式（2）思考：对吗？2、第一类换元法. 设有原函数, 且可微, 那么, 根据复合函数微分法, 有 ,即 = = . 定理1 设具有原函数, 可导, 则有换元公式 . 3、讲授例题.例1 = 例2 .例3 = .例4求解 4、变式练习.） ） ） ） ） 第 6 次课 2 学时课程安排：1学期，周学时 2 , 共 48学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程本次课题：第一类换元积分法教学要求：1. 掌握第一类换元积分法重 点：第一类换元积分法难 点：凑微分教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配：1. 练习 （90）课后作业参考资料第一类换元积分法1、 复习旧知.（1）13个常见的积分公式.（2） 第一类换元积分法.2、 例题讲解（较难的积分）.例1. .例2. .例3. =ln |csc x -cot x |+C . 即 =ln |csc x -cot x |+C .例4. =ln |sec x + tan x | + C. 即 =ln |sec x + tan x | + C.3、 变式练习.1） 2）3） 4）5) 6) 7) 8)9) 10)4、 小结（1） 分项积分：利用积化和差; 分式分项;；（2） 降低幂次：利用倍角公式 , 如.（3） 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法.（4） 巧妙换元或配元第 7 次课 2 学时课程安排：1学期，周学时 2 , 共 48学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程本次课题：第二类换元积分法教学要求：1. 理解第二类换元积分法重 点：第二类换元积分法难 点：第二类换元积分法 教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配：1. 第二类换元积分法理论 （25）2. 练习 （65）课后作业参考资料 第二类换元积分法1、复习第一类换元积分法.2、第二类换元法.（1）定理1 设=是单调的、可导的函数, 并且0. 又设f 具有原函数F, 则有换元公式.其中=是=的反函数. 这是因为 . 3、例题讲解. 例1. 求(a0). 解: 设，, 那么, , 于是. 因为, , 所以.例2 求解 原式.例3 求解 为了消去根号，设，则.所以 .4、变式练习.） ） ） ） ）第 8 次课 2 学时课程安排：1学期，周学时 2 , 共 48学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程本次课题：分部积分法1教学要求：1. 掌握分部积分法重 点：分部积分法难 点：分部积分法教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配：1. 分部积分法理论 （25）2. 练习 （65）课后作业参考资料 分部积分法1、提出问题：求解（让学生试着求解）.2、分部积分公式.设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数.那么,两个函数乘积的导数公式为(uv)=uv+uv,移项得 uv=(uv)-uv. 对这个等式两边求不定积分, 得, 或,这个公式称为分部积分公式. 思路分析：严格按照“反、对、幂、三、指顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则进行分部积分的练习。 3、 例题讲解.例1 求.解 设那么于是.例2 求 解 令则.原式.例3 求解 设.则原式. 再令.则. 故原式.故.说明: 也可设为为三角函数 , 但两次所设类型必须一致 . 注：(1).(2) 应较易积分.(3) 熟悉了分部积分的步骤后，可以不明确写出，而是直接用公式来做.例5 求.解 .例6 求.解 .4、 变式练习.） ） ） ） ）第 9 次课 2 学时课程安排：1学期，周学时 2 , 共 48学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程本次课题：分部积分法教学要求：1. 会应用分部积分法求积分重 点：分部积分法难 点：分部积分法教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配：1. 习题 （90）课后作业参考资料 分部积分法1、 复习分部积分法.2、 例题讲解.例1 求. 解 因为 , 所以. 例2 求. 解 因为 , 所以 . 例3 . 解题技巧：选取及的一般方法：把被积函数视为两个函数之积，按“反对幂三指”的顺序，前者为后者为. 例4 .例5 求, 其中n为正整数.