2019_2020学年高中数学第3章导数应用11.1导数与函数的单调性学案北师大版.docx

1. 1导数与函数的单调性学 习 目 标核 心 素 养1掌握函数的单调性与导数的关系2能利用导数研究函数的单调性(重难点)3会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其它函数的单调区间(重点)1借助图象认识函数的单调性与导数的关系，提升学生的直观想象的核心素养2通过利用导数研究函数的单调性的学习，培养学生的数学抽象和数学运算的核心素养.1函数的单调性与其导数正负的关系一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f(x)0单调递增f(x)0，且f(a)0，则在(a，b)内有()Af(x)0Bf(x)0.2已知函数yf(x)的图像是下列四个图象之一，且其导函数yf(x)的图像如图所示，则该函数的图像是()B由f(x)图像可知，f(x)0，函数单调递增，且开始和结尾增长速度慢，故应选B.3已知函数f(x)x2x，则函数f(x)的单调增区间是()A(，1)和(0，)B(0，)C(1,0)和(1，) D(1，)D法一：f(x)x2x(x1)2，对应的抛物线开口向上，对称轴为直线x1，可知函数f(x)的单调增区间是(1，)法二：f(x)x1，令f(x)0，解得x1故函数f(x)的单调增区间是(1，)单调性与导数的关系【例1】(1)函数yf(x)的图像如图所示，给出以下说法：函数yf(x)的定义域是1,5；函数yf(x)的值域是(，02,4；函数yf(x)在定义域内是增函数；函数yf(x)在定义域内的导数f(x)0.其中正确的序号是()ABC D(2)设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图像如图所示，则导函数yf(x)的图像可能为()ABCD思路探究：研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图像在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致(1)A(2)D(1)由图像可知，函数的定义域为1,5，值域为(，02,4，故正确，选A.(2)由函数的图像可知：当x0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.1利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多，只需判断导数在该区间内的正负即可2通过图像研究函数单调性的方法(1)观察原函数的图像重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；(2)观察导函数的图像重在找出导函数图像与x轴的交点，分析导数的正负1(1)设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不正确的是()ABCD(2)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图像可能是()(1)D(2)D(1)A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则yf(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则yf(x)应为减函数，也不符合(2)根据函数的导数的正负与单调性的关系，对照图像可知，答案应选D.利用导数求函数的单调区间【例2】求函数f(x)x(a0)的单调区间思路探究：求出导数f(x)，分a0和a0求得单调增区间，由f(x)0时，令f(x)10，解得x或x；令f(x)10，解得x0或0x；当a0恒成立，所以当a0时，f(x)的单调递增区间为(，)和(，)；单调递减区间为(，0)和(0，)当a0(或f(x)0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f(x)0，可得x1即函数f(x)exex，xR的单调增区间为(1，)，选D.(2)函数的定义域为(0，)，又f(x)1，由f(x)10，得0x1，所以函数f(x)ln xx的单调递增区间是(0,1)，选B.已知函数的单调性求参数的取值范围探究问题1函数f(x)x3ax2bxc，其中a，b，c为实数，当a23b0时，f(x)的单调性如何？提示求函数的导函数f(x)3x22axb，导函数对应方程f(x)0的4(a23b)0恒成立，故f(x)是增函数2函数单调性的充要条件如何？提示(1)在某个区间内，f(x)0(f(x)1，所以3x23.所以a3，即a的取值范围是(，3(2)令y0，得x2.若a0，则x2恒成立，即y0恒成立，此时，函数yx3axb在R上是增函数，与题意不符若a0，令y0，得x或x.因为(1，)是函数的一个单调递增区间，所以1，即a3.1将本例(1)改为“若函数y在(1，)上不单调”，则a的取值范围又如何？解y3x2a，当a0，函数在(1，)上单调递增，不符合题意当a0时，函数y在(1，)上不单调，即y3x2a0在区间(1，)上有根由3x2a0可得x或x(舍去)依题意，有1，a3，a的取值范围是(3，)2本例(1)中函数改为f(x)x3ax23x.区间“(1，)”改为“1，)，a的取值范围如何？解由f(x)x3ax23x得f(x)3x22ax3，f(x)在x1，)上是增函数，3x22ax30，.令g(x)，x1，)，g(x)0，即g(x)在1，)上单调递增，g(x)g(1)0，a的取值范围为a0.1解答本题注意可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f(x)0(或f(x)0)在(a，b)上恒成立，且f(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.2已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数取值范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f(x)0(f(x)0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立3已知函数f(x)2ax34x23x1在R上是增函数，求实数a的取值范围解f(x)6ax28x3.f(x)在R上是增函数，f(x)0在R上恒成立，即6ax28x30在R上恒成立，解得a.经检验，当a时，只有个别点使f(x)0，符合题意故实数a的取值范围为.1函数的单调性与导数符号的关系设函数yf(x)在区间(a，b)内可导，(1)如果在(a，b)内，f(x)0，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间；(2)如果在(a，b)内，f(x)0或f(x)0可得函数f(x)的单调增区间，解不等式f(x)0，则函数f(x)在定义域上单调递增()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大()答案(1)(2)(3)2已知函数f(x)ln x，则有()Af(2)f(e)f(3)Bf(e)f(2)f(3)Cf(3)f(e)f(2)Df(e)f(3)f(2)A因为在定义域(0，)上f(x)0，所以f(x)在(0，)上是增函数，所以有f(2)f(e)f(3)故选A.3函数f(x)2x39x212x1的单调减区间是_(1,2)f(x)6x218x12，令f(x)0，即6x218x120，解得1x24已知函数f(x)x3ax1(1)是否存在a，使f(x)的单调减区间是(1,1)；