2019_2020学年高中数学第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例练习（含解析）新人教A版.docx

3.4 生活中的优化问题举例学生用书P137(单独成册)A基础达标1某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关的统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出：yt3t236t，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是()A6时B7时C8时D9时解析：选C.yt2t36(t12)(t8)令y0，得t8或t12(舍去)，则当6t0，当8t9时，y0，所以当t8时，通过该路段所用的时间最多2把一段长为12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是()A. cm2B4 cm2C3 cm2D2 cm2解析：选D.设一段为x，则另一段为12x(0x12)，则S(x)，所以S(x).令S(x)0，得x6，当x(0，6)时，S(x)0，所以当x6时，S(x)最小所以S2(cm2)3已知生产某产品x单位的成本为C(x)5x200(元)，所得收益为R(x)10x0.01x2(元)，则生产多少单位产品才能使总利润L最大()A200B250C300D260解析：选B.总利润LR(x)C(x)5x0.01x2200，L50.02x，令L0，得x250.易知x250是唯一的极大值点因此，生产250单位的产品才能使总利润最大4某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0x390)的关系是R(x)400x，0x390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是()A150B200C250D300解析：选D.由题意可得总利润P(x)300x20 000(0x390)P(x)300，由P(x)0，得x300.当0x0；当300x390时，P(x)0，所以当x300时，P(x)最大故选D.5某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每1 m2的造价为15元，箱壁每1 m2的造价为12元，那么箱子的最低总造价为()A900元B840元C818元D816元解析：选D.设箱底一边的长度为x m，箱子的总造价为l元，根据题意得箱底面积为16(m2)，则长为x m的一边的邻边长度为 m，则l1615(23x23)1224072，l72.令l0，解得x4或x4(舍去)当0x4时，l4时，l0.故当x4时，l有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是816元6炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：)为f(x)x3x28(0x5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是_解析：原油温度的瞬时变化率为f(x)x22x(x1)21(0x5)，所以当x1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值1.答案：17内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为_解析：设圆锥高为h，底面半径为r，则R2(hR)2r2，所以r22Rhh2，所以Vr2hh(2Rhh2)Rh2h3，VRhh2.令V0得hR.当0h0；当h2R时，V0)，yx2.由y0，得x25，当x(0，25)时，y0；当x(25，)时，y0，得6x60；令S(x)0，得60x0)已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去设存款利率为x，x(0，0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为()A0.016 2B0.032 4C0.024 3D0.048 6解析：选B.依题意，存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048 6kx2，其中x(0，0.048 6)所以银行的收益是y0.048 6kx2kx3(0x0.048 6)，则y0.097 2kx3kx2.令y0，得x0.032 4或x0(舍去)当0x0；当0.032 4x0.048 6时，y0.所以当x0.032 4时，y取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益13.如图，已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y4x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽解：设AD2x(0x2)，则A(x，0)，ABy4x2，所以矩形面积为S2x(4x2)(0x2)，即S8x2x3，S86x2，令S0，解得x或x(舍去)当0x0；当x2时，S0，所以，当x时，S取得最大值，此时S最大值.即矩形的长和宽分别为，时，矩形的面积最大14(选做题)为了解决老百姓“看病贵”的问题，国家多次下调药品价格，各大药厂也在积极行动，通过技术改造来提高生产能力，降低能耗从而降低药品生产的成本某药厂有一条价值a 万元的药品生产线，经过预测和计算，得到生产成本降低y万元与技术改造投入x万元之间满足：y与(ax) 和x2的乘积成正比；当x时，ya3，并且技术改造投入比率为(0，t，t为常数且t(0，2(1)求yf(x)的解析式及定义域；(2)为了有更大的降价空间，要尽可能地降低药品的生产成本，求y的最大值及相应的x值解：(1)设yf(x)k(ax)x2，当x时，ya3，即a3k，解得k8.所以f(x)8(ax)x2.因为0t，所以函数的定义域是.(2)因为f(x)8(ax)x2，所以f(x)24x216ax，令f(x)0，则x0(舍去)或x.当0x时，f(x)0，所以f(x)在上是增函数；