电磁感应中的“双杆问题

.电磁感应中的“双杆问题”电磁感应中“双杆问题”是学科内部综合的问题，涉及到电磁感应、安培力、牛顿运动定律和动量定理、 动量守恒定律及能量守恒定律等。要求学生综合上述知识，认识题目所给的物理情景，找出物理量之间的关系，因此是较难的一类问题，也是近几年高考考察的热点。下面对“双杆”类问题进行分类例析1. “双杆”向相反方向做匀速运动当两杆分别向相反方向运动时，相当于两个电池正向串联。 例 两根相距d=0.20m 的平行金属长导轨固定在同一水平面内，并处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的磁感应强度b=0.2t ，导轨上面横放着两条金属细杆，构成矩形回路，每条金属细杆的电阻为r=0.25 ，回路中其余部分的电阻可不计。已知两金属细杆在平行于导轨的拉力的作用下沿导轨朝相反方向匀速平移，速度大小都是v=5.0m/s，如图所示， 不计导轨上的摩擦。（1） 求作用于每条金属细杆的拉力的大小。（2） 求两金属细杆在间距增加0.40m 的滑动过程中共产生的热量。解析：（ 1）当两金属杆都以速度v 匀速滑动时，每条金属杆中产生的感应电动势分别为：e1=e2=bdv由闭合电路的欧姆定律，回路中的电流强度大小为：因拉力与安培力平衡，作用于每根金属杆的拉力的大小为f1=f2=ibd 。由以上各式并代入数据得n（2）设两金属杆之间增加的距离为l，则两金属杆共产生的热量为，代入数据得q=1.28 10-2j。;.2. “双杆”同向运动，但一杆加速另一杆减速当两杆分别沿相同方向运动时，相当于两个电池反向串联。 例 两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为l 。导轨上面横放着两根导体棒ab 和 cd，构成矩形回路，如图所示。两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为 r，回路中其余部分的电阻可不计。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为b 。设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行。开始时，棒cd 静止，棒ab 有指向棒cd 的初速度v0。若两导体棒在运动中始终不接触，求：（1） 在运动中产生的焦耳热最多是多少。（2） 当 ab 棒的速度变为初速度的3/4 时， cd 棒的加速度是多少？解析： ab 棒向 cd 棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，于是产生感应电流。 ab 棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动，cd 棒则在安培力作用下作加速运动。在ab 棒的速度大于cd 棒的速度时，回路总有感应电流，ab 棒继续减速，cd 棒继续加速。两棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度v 作匀速运动。（1） 从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，有根据能量守恒，整个过程中产生的总热量（2） 设 ab 棒的速度变为初速度的3/4 时， cd 棒的速度为v1，则由动量守恒可知：此时回路中的感应电动势和感应电流分别为：，此时棒所受的安培力：，所以棒的加速度为由以上各式，可得。3. “双杆”中两杆都做同方向上的加速运动。“双杆” 中的一杆在外力作用下做加速运动，另一杆在安培力作用下做加速运动，最终两杆以同样加速度做匀加速直线运动。 例 7 （全国理综卷）如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度b=0.50t的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离 l=0.20m 。两根质量均为m=0.10kg 的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为r=0.50 。在t=0 时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行、大小为 0.20n 的恒力 f 作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过 t=5.0s，金属杆甲的加速度为a=1.37m/s2，问此时两金属杆的速度各为多少？解析：设任一时刻t 两金属杆甲、乙之间的距离为x，速度分别为v1 和 v2，经过很短的时间 t，杆甲移动距离v1 t，杆乙移动距离v2t，回路面积改变由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势回路中的电流 杆甲的运动方程由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等，方向相反，所以两杆的动量时 为 0） 等于外力f 的冲量联立以上各式解得代入数据得点评：题中感应电动势的计算也可以直接利用导体切割磁感线时产生的感应电动势公式和右手定则求解：设甲、乙速度分别为v1 和 v2，两杆切割磁感线产生的感应电动势分别为e1blv1， e2 blv2由右手定则知两电动势方向相反，故总电动势为e e2 e1bl （ v2v1 ）。分析甲、乙两杆的运动，还可以求出甲、乙两杆的最大速度差：开始时，金属杆甲在恒力f 作用下做加速运动，回路中产生感应电流，金属杆乙在安培力作用下也将做加速运动，但此时甲的加速度肯定大于乙的加速度，因此甲、乙的速度差将增大。根据法拉第电磁感应定律，感应电流将增大，同时甲、乙两杆所受安培力增大，导致乙的加速度增大，甲的加速度减小。但只要a 甲a 乙，甲、乙的速度差就会继续增大，所以当甲、乙两杆的加速度相等时，速度差最大。此后，甲、乙两杆做加速度相等的匀加速直线运动。设金属杆甲、乙的共同加速度为a，回路中感应电流最大值im 。对系统和乙杆分别应用牛顿第二定律有：f=2ma ；blim=ma 。由闭合电路欧姆定律有e=2imr ，而由以上各式可解得4. “双杆”在不等宽导轨上同向运动。“双杆” 在不等宽导轨上同向运动时，两杆所受的安培力不等大反向，所以不能利用动量守恒定律解题。 例 8 （全国理综卷）图中a1b1c1d1 和 a2b2c2d2 为在同一竖直平面内的金属导轨，处在磁感应强度为b 的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨所在平面（纸面）向里。导轨的a1b1 段与 a2b2 段是竖直的， 距离为 l1；c1d1 段与 c2d2 段也是竖直的， 距离为 l2。x1y1 与 x2y2 为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为m1 和 m2，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。两杆与导轨构成的回路的总电阻为r。f 为作用于金属杆x1y1 上的竖直向上的恒力。已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重 力的功率的大小和回路电阻上的热功率。解析：设杆向上的速度为v，因杆的运动，两杆与导轨构成的回路的面积减少，从而磁通量也减少。由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势的大小回路中的电流电流沿顺时针方向。两金属杆都要受到安培力作用，作用于杆x1y1 的安培力为方向向上，作用于杆x2y2 的安培力为方向向下，当杆作匀速运动时，根据牛顿第二定律有解以上各式得作用于两杆的重力的功率的大小 电阻上的热功率由式，可得问题 4：电磁感应中的一个重要推论安培力的冲量公式感应电流通过直导线时，直导线在磁场中要受到安培力的作用，当导线与磁场垂直时，安培力的大小为f=bli 。在时间 t 内安培力的冲量，式中 q 是通过导体截面的电量。利用该公式解答问题十分简便，下面举例说明这一点。 例 9如图所示， 在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽为l 的区域内， 有一个边长为（a那么（）al ）的正方形闭合线圈以初速v0 垂直磁场边界滑过磁场后速度变为（v vv0 ）a. 完全进入磁场中时线圈的速度大于（v0+v ） /2b. 安全进入磁场中时线圈的速度等于（v0+v ） /2c. 完全进入磁场中时线圈的速度小于（v0+v ） /2d. 以上情况a 、b 均有可能，而c解析：设线圈完全进入磁场中时的速度为vx。线圈在穿过磁场的过程中所受合外力为安培力。对于线圈进入磁场的过程，据动量定理可得：对于线圈穿出磁场的过程，据动量定理可得：由上述二式可得，即 b 选项正确。 例 10 光滑 u 型金属框架宽为l ，足够长， 其上放一质量为m 的金属棒ab，左端连接有一电容为c 的电容器，现给棒一个初速v0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图所示。求导体棒的最终速度。解析：当金属棒 ab 做切割磁力线运动时，要产生感应电动势，这样，电容器c 将被充电， ab 棒中有充电电流存在， ab 棒受到安培力的作用而减速， 当 ab 棒以稳定速度 v 匀速运动时， 有： blv=uc=q/c而对导体棒ab 利用动量定理可得：blq=mv mv0由上述二式可求得：问题 5：电磁感应中电流方向问题 例 11（广东物理卷）如图所示，用一根长为l 质量不计的细杆与一个上弧长为，下弧长为的金属线框的中点联结并悬挂于o 点，悬点正下方存在一个上弧长为、下弧长为的方向垂直纸面向里的匀强磁场，且先将线框拉开到如图所示位置，松手后让线框进入磁场，忽略空气阻力和摩擦。下列说法正确的是（）a. 金属线框进入磁场时感应电流的方向为：a b c dab. 金属线框离开磁场时感应电流的方向为：a d c bac. 金属线框dc 边进入磁场与ab 边离开磁场的速度大小总是相等d. 金属线框最终将在磁场内做简谐运动分析：金属线框进入磁场时，由于电磁感应，产生电流，根据楞次定律判断电流的方向为：ad c b a。金属线框离开磁场时由于电磁感应，产生电流，根据楞次定律判断电流的方向为ab c da 。根据能量转化和守恒，可知，金属线框dc 边进入磁场与ab 边离开磁场的速度大小不相等。如此往复摆动，最终金属线框在匀强磁场内摆动，由于，单摆做简谐运动的条件是摆角小于等于10 度，故最终在磁场内做简谐运动。答案为d。小结：本题考查了感应电动势的产生条件，感应电流方向的判定，物体做简谐运动的条件，这些是高中学生必须掌握的基础知识。感应电动势产生的条件只要穿过回路的磁通量发生变化，回路中就产生感应电动势，若电路闭合则有感应电流产生。因此弄清引起磁通量的变化因素是关键， 感应电流的方向判定可用楞次定律与右手定则，在应用楞次定律时要把握好步骤：先明确回路中原磁场的方向及磁通量的变化情况，再依楞次定律确定感应电流的磁场方向，然后根据安培定则确定感应电流的方向。线圈在运动过程中的能量分析及线框最终的运 动状态的确定为此题增大了难度。练习： 四川卷 如图所示，接有灯泡l 的平行金属导轨水平放置在匀强磁场中，一导体杆与两导轨良好接触并做往复运动，其运动情况与弹簧振子做简谐运动的情况相同。图中o位置对应于弹簧振子的平衡位置，p、q 两位置对应于弹簧振子的最大位移处。若两导轨的电阻不计，则（）a. 杆由 o 到 p 的过程中，电路中电流变大b. 杆由 p 到 q 的过程中，电路中电流一直变大c. 杆通过 o 处时，电路中电流方向将发生改变d. 杆通过 o 处时，电路中电流最大解答： d问题 6：电磁感应中的多级感应问题 例 12 如图所示， ab、cd 金属棒均处于匀强磁场中，cd 原静止，当ab 向右运动时，cd 如何运动（导体电阻不计）（）a. 若 ab 向右匀速运动，cd 静止；b. 若 ab 向右匀加速运动，cd 向右运动；c. 若 ab 向右匀减速运动，cd 向左运动分析：这是多级电磁感应问题，ab 相当于一个电源，右线圈相当于负载；左线圈相当于电源， cd 相当于负载。ab 运动为因，切割磁感线产生感应电流为果，电流流过右线圈为因，右线圈中形成磁场为果，右线圈磁场的磁感线通过左线圈，磁场变化时为因，左线圈中产生感应电流为果，感应电流流过cd 为因， cd 在左磁场中受安培力作用而运动为果。故a 、b 、c 均正确。小结： 分析电磁感应现象中的多级感应问题，要正确处理好因果关系，步步为营， 紧扣闭合回路及回路中的磁通量的变化这一关键，对于线圈问题还应注意线圈的绕向。练习：在匀强磁场中放一电阻不计的平行金属导轨，导轨跟大线圈相接，如图所示。导轨上放一根导线ab，磁力线垂直于导轨所在平面。欲使所包围的小闭合线圈产生顺时针方向的感应电流，则导线的运动可能是（）a.向右运动b. 加速向右运动c. 减速向右运动d. 加速向左运动分析：此题可用逆向思维的方法分析。欲使n 产生顺时针方向的感应电流，感应电流在中的磁场方向垂直纸面向里，由楞次定律可知，有两种情况：一是中有顺时针方向的逐渐减小的电流，其在中的磁场方向亦向里，且磁通量在减小；二是中有逆时针方向的逐渐增大的电流，其在中的磁场方向为向外，且磁通量在增大，对于前者，应使ab 减速向右运动；对于后者，应使ab 加速向左运动，故cd 正确。问题 7：电磁感应中的动力学问题 例 13 （上海）如图所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距1m，导轨平面与水平面成 =370 角，下端连接阻值为r 的电阻。匀强磁场的方向与导轨平面垂直。质量为0.2kg、电阻不计的导体棒放在两导轨上，棒与导轨垂直并且接触良好，它们间的动摩擦因数为0.25。（1） 金属棒沿导轨由静止开始下滑时的加速度大小。（2） 当金属棒下滑速度达到稳定时，电阻r 消耗的功率为8w ，求该速度的大小。（ 3）在上问中，若r=2 ，金属棒中电流方向由a 到b，求磁感应强度的大小与方向。（g=10m/s2 ， sin370=0.6 ，cos370=0.8 ）分析：（1）金属棒开始下滑时初速度为零，根据牛顿第二定律有：代入数据得：（ 2）设金属棒达到稳定时，速度为v ，所受安培力为f，棒在沿导轨方向受力平衡，则此时金属棒克服安培力做功的功率等于电路中电阻r 消耗的电功率v=（3）设电路中电流强度为i ，两导轨间金属棒的长度为l ，磁场的感应强度为b，则 i=，p=i2r ，由以上两式得b=磁场的方向垂直导轨平面向上。小结：此题为电磁感应知识与力学、电路知识的综合问题，此类题目常以导轨运动为背景，解决此类题的关键是对金属导体作出正确的受力分析，并通过运动状态的动态分析来寻找过程的临界状态，得出速度、加速度的极值条件，找到解题的突破口，然后综合运用力学及电 学规律分析和解决实际问题。练习：（重庆卷）两根相距为l 的足够