2019_2020学年高中数学第1章空间几何体1.3.2球的体积和表面积学案新人教A版必修2.docx

1.3.2球的体积和表面积学 习 目 标核 心 素 养1.了解并掌握球的体积和表面积公式.2.会用球的体积与表面积公式解决实际问题(重点)3.会解决球的组合体及三视图中球的有关问题(难点、易混点)1.通过对球的概念的学习，培养直观想象的数学素养；2.通过学习球的表面积、体积公式，培养逻辑推理、直观想象和数学运算的数学素养.1球的体积设球的半径为R，则球的体积VR32球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S4R2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍思考：球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？提示球没有底面，球的表面不能展开成平面图形1若球的过球心的圆面的周长是C，则这个球的表面积是()ABCD2C2C由2RC，得R，所以S球面4R2.2表面积为4的球的半径是_1设球的半径为R，则S4R24，得R1.3. 若一个球的体积为36，则它的表面积为_36由R336，可得R3，因此其表面积S36.4两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是_设大球的半径为R，则有R3213，R32，R.球的表面积与体积【例1】(1)已知球的表面积为64，求它的体积；(2)已知球的体积为，求它的表面积解(1)设球的半径为r，则由已知得4r264，r4.所以球的体积：Vr3.(2)设球的半径为R，由已知得R3，所以R5，所以球的表面积为：S4R2452100.求球的表面积与体积的一个关键和两个结论：(1)关键：把握住球的表面积公式S球4R2，球的体积公式V球R3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了(2)两个结论：两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方1如果两个球的体积之比为827，那么两个球的表面积之比为_49根据球的体积及表面积公式可知，两个球的体积之比等于半径之比的立方，表面积的比等于半径之比的平方，因为两个球的体积之比为827，所以两个球的半径之比为23，所以两个球的表面积的比为49. 球的截面问题【例2】(1)平面截球O的球面所得圆的半径为1. 球心O到平面的距离为，则此球的体积为()A B4C4D6B如图，设截面圆的圆心为O，M为截面圆上任一点，则OO，OM1，OM，即球的半径为，V()34.(2)已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6和8，则这两个截面间的距离为_1或7若两个平行截面在球心同侧，如图，则两个截面间的距离为1；若两个平行截面在球心异侧，如图，则两个截面间的距离为7.1有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决2注意一个直角三角形，即由球心距(球心到截面圆心的距离)、截面圆的半径、球的半径围成一个直角三角形，满足勾股定理2已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M. 若圆M的面积为3，则球O的表面积等于_16如图，圆M面积为3， 则圆M半径MB为，OA2，则球O的表面积等于42216.与球有关的切、接问题探究问题1若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其外接球半径R与三条棱长有何关系？提示2R.2棱长为a的正方体的外接球，其半径R与棱长a有何数量关系？其内切球呢？提示外接球半径Ra；内切球半径Ra.3若一球与正方体的12条棱相切，则球半径R与棱长a有何数量关系？提示Ra.【例3】(1)一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为_. (2)正方体的全面积是a2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是_(1) (2) (1)由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积为.(2)正方体内接于球，则由球及正方体都是中心对称图形知，它们的中心重合可见，正方体的对角线是球的直径设球的半径是r，则正方体的对角线长是2r.依题意，2r，即r2a2，所以S球4r24a2. 1将本例(1)变为：长方体的一个顶点处的三条棱长分别是，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是()A12B 18C36D 6A由题意可知，该长方体的体对角线即为球的直径，其长度为2，从而球的半径为，球表面积为12.2将本例(1)变为：圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为_100如图，由条件知，O1A3，OO14，所以OA5，所以球的表面积为100.常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算1球的表面积、体积基本性质是解决有关问题的重要依据，它的轴截面图形，球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法2与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图1若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的()A2倍 B4倍C8倍D16倍C设气球原来的半径为r，体积为V，则Vr3，当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为原来的238倍2某几何体的三视图如图所示，则其表面积为_3由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即43.3一个正方体的八个顶点都在体积为的球面上，则正方体的表面积为_8设球的半径为R，正方体的棱