山西省太原市2015-2016年高二上期末数学试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2015年山西省太原市高二（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1命题 “a=0，则 ”的逆否命题是（ ） A若 ，则 a=0 B若 a 0，则 0 C若 ，则 a 0 D若 0，则 a 0 2椭圆 + =1 的长轴长是（ ） A 2 B 3 C 4 D 6 3已知函数 f（ x） =x2+ f（ 0） =（ ） A 0 B 1 C 1 D 3 4 “a 1”是 “1”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5双曲线 =1 的渐近线方程是（ ） A y= 2x B y= 4x C y= x D y= x 6已知 y=f（ x）的导函数 f（ x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A f（ x）在（ 3， 1）上先增后减 B x= 2 是函数 f（ x）极小值点 C f（ x）在（ 1， 1）上是增函数 D x=1 是函数 f（ x）的极大值点 7已知双曲线的离心率 e= ，点（ 0， 5）为其一个焦点，则该双曲线的标准方程为（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 8函数 f（ x） =单调递减区间为（ ） A（ ， ） B （ 0， ） C（ ， e） D（ e， +） 9若方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 m 的取值范围为（ ） A（ ， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， +） 第 2 页（共 16 页） 10已知命题 p： x （ 0， +）， 2x 3x，命题 q： （ 0， +）， x x ，则下列命题中的真命题是（ ） A p q B p （ q） C（ p） （ q） D（ p） q 11 f（ x）， g（ x）分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x 0 时， f（ x） g（ x） +f（ x）g（ x） 0，且 g（ 3） =0，则不等式 f（ x） g（ x） 0 的解集是（ ） A（ ， 3） （ 0， 3） B（ ， 3） （ 3， +） C（ 3， 0） （ 3， +）D（ 3， 0） （ 0， 3） 12过点 M（ 2， 1）作斜率为 的直线与椭圆 + =1（ a b 0）相交于 A， B 两个不同点，若 M 是 中点，则该椭圆的离心率 e=（ ） A B C D 二、填空题：本大题 共 4 个小题，每小题 4 分 .、共 16 分 . 13抛物线 y 的焦点坐标为 14已知命题 p： R， 3 =5，则 p 为 15已知曲线 f（ x） =点 P（ f（ 处的切线与直线 y=x+1 平行，则点 P 的坐标为 16已知 f（ x） =1 存在唯一的零点 0，则实数 a 的取值范围是 三、解答题：本大题共 7 小题，共 48 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知命题 p：函数 y=增函数， q：方程 + 表示焦点在 x 轴上的椭圆，若 p （ q）为真命题，求实数 k 的取值范围 18已知函数 f（ x） =26x2+m 在 2， 2上的最大值为 3，求 f（ x）在 2， 2上的最小值 19已知点 P（ 1， 2）在抛物线 C： p 0）上 （ 1）求抛物线 C 的方程及其准线方程； （ 2）若过抛物线 C 焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 相交于 A， B 两个不同点，求 |最小值 20已知函数 f（ x） =x 2a R） （ 1）若函数 f（ x）在 x= 处取得极值，求实数 a 的值； （ 2）求证：当 a 1 时，不等式 f（ x） 0 在 1， +）恒成立 21已知函数 f（ x） =x 2a R） （ 1）若函数 f（ x）在 x= 处取得极值，求实数 a 的值； （ 2）若不等式 f（ x） 0 在 1， +）恒成立，求实数 a 的取值范围 第 3 页（共 16 页） 22已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率 e= ，点 P（ ， 1）在该椭圆上 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若点 A， B 是椭圆 C 上关于直线 y= 对称的两点，求实数 k 的取值范围 23已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率 e= ，原点到直线 + =1 的距离为 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若点 A， B 是椭圆 C 上关于直线 y= 对称的两点，求实数 k 的取值范围 第 4 页（共 16 页） 2015年山西省太原市高二（上）期 末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1命题 “a=0，则 ”的逆否命题是（ ） A若 ，则 a=0 B若 a 0，则 0 C若 ，则 a 0 D若 0，则 a 0 【考点】 四种命题间的逆否关系 【分析】 根据互为逆否的两命题是条件和结论先逆后否来解答 【解答】 解：因为原命题是 “a=0，则 ”， 所以其逆否命题为 “若 0，则 a 0”， 故选 D 2椭圆 + =1 的长轴长是（ ） A 2 B 3 C 4 D 6 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 直接利用椭圆的标准方程求解实轴长即可 【解答】 解：椭圆 + =1 的实轴长是： 2a=6 故选： D 3已知函数 f（ x） =x2+ f（ 0） =（ ） A 0 B 1 C 1 D 3 【考点】 导数的运算 【分析】 求函数的导数，利用代入法进行求解即可 【解答】 解：函数的导数 f（ x） =2x+ 则 f（ 0） =， 故选： C 4 “a 1”是 “1”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由 1 解得 1 a 1，即可判断出结论 【解答】 解：由 1 解得 1 a 1， “a 1”是 “1”的既不充分也不必要条件 故选： D 第 5 页（共 16 页） 5双曲线 =1 的渐近线方程是（ ） A y= 2x B y= 4x C y= x D y= x 【考点】 双曲线的标准方程 【分析】 利用双曲线的简单性质直接求解 【解答】 解：双曲线 =1 的渐近线方为 ， 整理，得 y= 故选： C 6已知 y=f（ x）的导函数 f（ x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A f（ x）在（ 3， 1）上先增后减 B x= 2 是函数 f（ x）极小值点 C f（ x）在（ 1， 1）上是增函数 D x=1 是函数 f（ x）的极大值点 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 本小题考查导数的运用；根据导数值与 0 的关系判断各个选项即可 【解答】 解：由图象得： 3 x 2 时， f（ x） 0， 2 x 1 时， f（ x） 0， f（ x）在（ 3， 2）递增，在（ 2， 1）递减， 故选： A 7已知双曲线的离心率 e= ，点（ 0， 5）为其一个焦点，则该双曲线的标准方程为（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设双曲线的方程为 =1（ a， b 0），运用离心率公式和 a， b， c 的关系，解方程可得 a=3， b=4，进而得到所求双曲线的方程 【解答】 解：设双 曲线的方程为 =1（ a， b 0）， 第 6 页（共 16 页） 由题意可得 e= = ， c=5， 可得 a=3， b= =4， 即有双曲线的标准方程为 =1 故选： D 8函数 f（ x） =单调递减区间为（ ） A（ ， ） B（ 0， ） C（ ， e） D（ e， +） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数小于等于 0 求出 x 的范围，写出区间形式即得到函数 y=单调递减区间 【解答】 解：函数的定义域为 x 0 y= 令 0 得 0 x ， 函数 y=单调递减区间是（ 0， ）， 故选： B 9若方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 m 的取值范围为（ ） A（ ， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， +） 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 由题意可得 m 1 3 m 0，解不等式即可得到所求范围 【解答】 解： 方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 可得 m 1 3 m 0， 解得 2 m 3 故选： C 10已知命题 p： x （ 0， +）， 2x 3x，命题 q： （ 0， +）， x x ，则下列命题中的真命题是（ ） A p q B p （ q） C（ p） （ q） D（ p） q 【考点】 复合命题的真假 【分析】 根据 x （ 0， +）， 2x 3x，是真命题，再根据复合命题之间的判定方法即可判断出真假 【解答】 解：命题 p： x （ 0， +）， 2x 3x，是假命题，例如取 x=2 不成立； 第 7 页（共 16 页） 命题 q： x （ 0， +）， 2x 3x，因此命题 q 是假命题， 只有（ p） （ q）是真命题 故选： C 11 f（ x）， g（ x）分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x 0 时， f（ x） g（ x） +f（ x）g（ x） 0，且 g（ 3） =0，则不等式 f（ x） g（ x） 0 的解集是（ ） A（ ， 3） （ 0， 3） B（ ， 3） （ 3， +） C（ 3， 0） （ 3， +）D（ 3， 0） （ 0， 3） 【考点】 利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质 【分析】 构造函数 h（ x） =f（ x） g（ x），利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集 【解答】 解：令 h（ x） =f（ x） g（ x），则 h（ x） =f（ x） g（ x） = f（ x） g（ x） =h（ x），因此函数 h（ x）在 R 上是奇函数 当 x 0 时， h（ x） =f（ x） g（ x） +f（ x） g（ x） 0， h（ x）在 x 0 时单调递增， 故函数 h（ x）在 R 上单调递增 h（ 3） =f（ 3） g（ 3） =0， h（ x） =f（ x） g（ x） 0=h（ 3）， x 3 当 x 0 时，函数 h（ x）在 R 上是奇函数，可知： h（ x）在（ 0， +）上单调递增，且 h（ 3） = h（ 3） =0， h（ x） 0，的解集为（ 0， 3） 不等式 f（ x） g（ x） 0 的解集是（ ， 3） （ 0， 3） 故选： A 12过点 M（ 2， 1）作斜率为 的直线与椭圆 + =1（ a b 0）相交于 A， B 两个不同点，若 M 是 中点，则该椭圆的离心率 e=（ ） A B C D 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 利用点差法，结合 M 是线段 中点，斜率为 = = ，即可求出椭圆的离心率 【解答】 解：设 A（ B（ 则 x1+， y1+ 2， A， B 两个不同点代入椭圆方程，可得 + =1， + =1， 作差整理可得 + =0， 斜率为 = = ， 第 8 页（共 16 页） a=2b， c= = b， e= = 故选： C 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 4 分 .、共 16 分 . 13抛物线 y 的焦点坐标为 （ 0， 1） 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 由抛物线 y 的焦点在 y 轴上，开口向上，且 2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标 【解答】 解：抛物线 y 的焦点在 y 轴上，开口向上，且 2p=4， 抛物线 y 的焦点坐标为（ 0， 1） 故答案为：（ 0， 1） 14已知命题 p： R， 3 =5，则 p 为 x R， 3x5 【考点】 命题的否定 【分析】 由特称命题的否定方法可得结论 【解答】 解：由特称命题的否定可知： p： x R， 3x 5， 故答案为： x R， 3x 5 15已知曲线 f（ x） =点 P（ f（ 处的切线与直线 y=x+1 平行，则点 P 的坐标为 （ 0， 0） 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出 f（ x）的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得 x+1=e x 的解，运用单调性可得方程的解，进而得到 P 的坐标 【解答】 解： f（ x） =导数为 f（ x） =（ x+1） 可得切线的斜率为（ ） 由切线与直线 y=x+1 平行，可得 （ ） ， 即有 x+1=e x 的解， 由 y=x+1 e x，在 R 上递增，且 x=0 时， y=0 即有 ， 则 P 的坐标为（ 0， 0） 故答案为：（ 0， 0） 16已知 f（ x） =1 存在唯一的零 点 0，则实数 a 的取值范围是 （， 2） 【考点】 利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理 第 9 页（共 16 页） 【分析】 讨论 a 的取值范围，求函数的导数判断函数的极值，根据函数极值和单调性之间的关系进行求解即可 【解答】 解：（ i）当 a=0 时， f（ x） = 3，令 f（ x） =0，解得 x= ，函数 f（ x）有两个零点，舍去 （ a 0 时， f（ x） =3x=3x+ ），令 f（ x） =0，解得 x=0 或 当 a 0 时， 0，当 x 或 x 0， f（ x） 0，此时函数 f（ x）单调递减；当 0 x 时， f（ x） 0，此时函数 f（ x）单调递增 故 x= 是函数 f（ x）的极大值点， 0 是函数 f（ x）的极小值点 函数 f（ x） =1 存在唯一的零点 0，则 f（ ） = + 1= 1 0， 即 4 得 a 2（舍）或 a 2 当 a 0 时， 0，当 x 或 x 0 时， f（ x） 0，此时函数 f（ x）单调递增； 当 x 0 时， f（ x） 0，此时函数 f（ x）单调递减 x= 是函数 f（ x）的极大值点， 0 是函数 f（ x）的极小值点 f（ 0） = 1 0， 函数 f（ x）在（ 0， +）上存在一个零点，此时不满足条件 综上可得：实数 a 的取值范围是（ ， 2） 故答案为：（ ， 2） 第 10 页（共 16 页） 三、解答题：本大题共 7 小题，共 48 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知命题 p：函数 y=增函数， q：方程 + 表示焦点在 x 轴上的椭圆，若 p （ q）为真命题，求实数 k 的取值范围 【考点】 复合命题的真假 【分析】 命题 p：函数 y=增函数，利用一次函数的单调性可得 k 0命题 q：方程+ 表示焦点在 x 轴上的 椭圆，可得 k 1由于 p （ q）为真命题，可得 p 为真命题，q 为假命题即可得出 【解答】 解：命题 p：函数 y=增函数， k 0 命题 q：方程 + 表示焦点在 x 轴上的椭圆， k 1 p （ q）为真命题， p 为真命题， q 为假命题 ，解得 0 k 1 实数 k 的取值范围是 0 k 1 18已知函数 f（ x） =26x2+m 在 2， 2上的最大值为 3，求 f（ x）在 2， 2上的最小值 【考点】 二次函数的性质 【分析】 求导并判断导数的正负，从而确定单调区间；由最大值建立方程求出 m 的值，进而求出最小值 【解答】 解： f（ x） =612x，令 f（ x） =0，则 x=0 或 x=2， x （ ， 0） 0 （ 0， 2） 2 （ 2， +） f（ x） 正 0 负 0 正 f（ x） 递增 极大值 递减 极小值 递增 f（ x）在 2， 0上单调递增，在（ 0， 2上单调递减， f（ x） f（ 0） =m=3， 即 f（ x） =26， 又 f（ 2） = 37， f（ 2） = 5， f（ x） f（ 2） = 37 19已知点 P（ 1， 2）在抛物线 C： p 0）上 （ 1）求抛物线 C 的方程及其准线方程； 第 11 页（共 16 页） （ 2）若过抛物线 C 焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 相交于 A， B 两个不同点，求 |最小值 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 （ 1）根据点 P（ 1， 2）在抛物线 C： p 0）上，可得 p 值，即可求抛物线 C 的方程及其准线方程； （ 2）设直线 l 的方程为： x+1=0，代入 x，整理得， 4=0，利用韦达定理和抛物线的定义知 |4（ ） 4，由此能求出 |最小值 【解答】 解： 点 P（ 1， 2）在抛物线 C： p 0）上， 2p=4，解得： p=2， 抛物线 C 的方程为 x，准线方程为 x= 1； （ 2）设直线 l 的方程为： x+1=0， 代入 x，整理得， 4=0 设 A（ B（ 则 上述关于 y 的方程的两个不同实根，所以 y1+ 4m 根据抛物线的定义知： |x1+=（ 1 +（ 1 =4（ ） |4（ ） 4， 当且仅当 m=0 时， |最小值 4 20已知函数 f（ x） =x 2a R） （ 1）若函数 f（ x）在 x= 处取得极值，求实数 a 的值； （ 2）求证：当 a 1 时，不等式 f（ x） 0 在 1， +）恒成立 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值 【分析】 （ 1）求出函数的导数，根据 f（ ） =0，解出验证即可；（ 2）求出函数的导数，通过 a 的范围，确定导函数的符号，求出函数 f（ x）的单调性，从而判断 f（ x）的范围 【解答】 解：（ 1） f（ x）的定义域是（ 0， +）， f（ x） =1+ ， f（ ） =1+4（ 2a 1） 4a=0，解得： a= ， a= 时， f（ x） = ， f（ x）在（ 0， ）递增，在（ ， 1）递减， f（ x）在 x= 处取得极值， 故 a= 符合题意； （ 2） f（ x） =1+ = ， 第 12 页（共 16 页） 当 a 1 时，则 2a 1 1， f（ x） 0 在（ 1， +）恒成立， 函数 f（ x）递增， f（ x） f（ 1） =2（ 1 a） 0 21已知函数 f（ x） =x 2a R） （ 1）若函数 f（ x）在 x= 处取得极值，求实数 a 的值； （ 2）若不等式 f（ x） 0 在 1， +）恒成立 ，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 【分析】 （ 1）求出函数的导数，根据 f（ ） =0，解出验证即可； （ 2）依题意有： x，） 0 从而求出 f（ x）的导数，令 f（ x） =0，得： a 1， ，通过讨论 当 2a 1 1 即 a 1 时 当 2a 1 1 即 a 1 时，进而求出 a 的范围 【解答】 解：（ 1） f（ x）的定义域是（ 0， +）， f（ x） =1+ ， f（ ） =1+4（ 2a 1） 4a=0，解得： a= ， a= 时， f（ x） = ， f（ x）在（ 0， ）递增，在（ ， 1）递减， f（ x）在 x= 处取得极值， 故 a= 符合题意； （ 2）依题意有： x，） 0 f（ x） = ， 令 f（ x） =0， 得： a 1， ， 当 2a 1 1 即 a 1 时， 函数 f（ x） 0 在 1， +）恒成立， 则 f（ x）在 1， +）单调递增， 于是 x） =f（ 1） =2 2a 0， 解得： a 1； 当 2a 1 1 即 a 1 时， 函数 f（ x）在 1， 2a 1单调递减，在 2a 1， +）单调递增， 第 13 页（共 16 页） 于是 x） =f（ 2a 1） f（ 1） =2 2a 0，不合题意， 综上所述：实数 a 的取值范围是 a 1 22已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率 e= ，点 P（ ， 1）在该椭圆上 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若点 A， B 是椭圆 C 上关于直线 y= 对称的两点，求实数 k 的取值范围 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）根据离心率公式和点满足椭圆方程，结合 b2=可求得椭圆 C 的方程； （ 2）设 A（ B（ 中点（ 直线 y= 且 k 0，恒过（ 0， 1），点 B， A 在椭圆上，化简可得 = 1， 中点在 y= 上，解得 用