如何在初中数学教学中培养学生的合情推理能力.doc

如何在初中数学教学中培养学生的合情推理能力内容摘要：合情推理是指根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。中学数学合情推理的教学有利于培养学生的创造能力和创新精神，符合素质教育的要求。本文从数学知识的形成过程教学、探索规律、渗透类比思想、统计推理、公理的引入和验证、数学活动过程这几方面展开阐述。关键字:合情推理 ； 归纳 ； 类比 ； 统计； 数学活动；所谓合情推理是指根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。其基本模式包括归纳模式、类比模式、统计模式等。中学数学合情推理的教学有利于培养学生的创造能力和创新精神，符合素质教育的要求。归纳与类比、一般化与特殊化是合情推理的基本方法，是中学数学合情推理教学的主要内容。一、 合情推理对学生发展的意义和必要性数学教育中注重创新教育已成为国际数学教育的主流，学生的合情推理能力与创新能力密切相关。初中阶段是学生思维发展的关键期，在全日制义务教育数学课程标准（实验稿）中，对第三个学段（初中学段）学生数学推理能力（包括论证推理和合情推理的具体要求是：具有合理选择信息解决问题的能力；学会根据问题的需要收集有用的信息；能进行合理推测、简单地归纳和大胆地猜想，并加以检验；能合理地安排解决问题的过程，可见，标准对“合情推理”的要求变多、变高。从理论上讲，这将有利于提高使用新教材学生的合情推理技能，教师们对新课标中所提的合情推理也较为重视，但实际教学中未将合情推理的教学作为重点，数学教学仍注重采用“形式化”的方式，发展学生演绎推理能力，忽视了合情推理能力的培养，影响了学生创新能力的发挥，不适应现代高科技社会、信息化社会发展对人才的需要。联系有关调查结果显示的中国学生科学测验成绩较差的现实，不能不使我们感到加强合情推理能力的培养已经到了刻不容缓的地步。因此“既教证明，又教猜想”，培养学生合情推理能力，是开发学生创造性思维的需要，是全面提高学生优秀文化素质的需要。针对以上所述的种种问题，作为一个教师，尤其是想做一名优秀教师的教师，如果不及时进行分析与思考，就会严重偏离新课程的轨道，学生既没有掌握一些必需的数学基础知识，也没能发展起相应的合情推理能力，从而直接严重影响学生的发展，影响学校的教学质量。二、在初中数学教学中培养学生合情推理能力的实施策略能力的发展不同于知识与技能的获得。能力的形成是一个缓慢的过程，有其自身的特点和规律，他不是学生“懂”了，也不是学生“学”会了，而是学生自己“悟”出了道理、规律和思考方法等。这种“悟”需要在教学活动中进行，因而教学活动必须给学生提供探索交流的实际空间，组织、引导学生经历观察、试验、猜想、证明等数学教研活动，并把合情推理能力的培养有机的融合在这样的过程中。合情推理有三种重要形式：归纳推理、类比推理和统计推理。根据这三种形式，我的实施策略是：（一）加强数学知识的形成过程教学，培养合情推理能力每一个概念的产生都有丰富的知识背景，舍弃这些背景，直接抛给学生一连串的概念教学是传统教学模式中司空见惯的做法，这种做法常常使学生感到茫然，丢掉了培养学生概括能力的极好机会。“学习的最好途径是自己去发现”，学生如能在教师创设的情境中像数学家那样去想“数学”，“经历”一遍发现、创新的过程，那么在获得概念的同时还能培养他们的创造精神。由于概念教学在整个数学教学中起着举足轻重的作用，我们应重视在数学概念教学中培养学生的合情推理能力，即让学生依据已有的材料和知识作出符合一定经验与事实的推测性想象，让学生经历数学家发现新概念的最初阶段。如，在同位角 、内错角、同旁内角的概念教学，传统的方法是给出“三线八角”图，然后从图中找到这三类角，并根据它们的特征直接给出定义。其实教学中可一先让学生回顾一下平面上两条相交直线形成的特殊角的复习，不仅复习它们的数量关系，还可以让学生从角的顶点与角的两边去观察对顶角与邻补角的位置关系。为下面研究同位角、内错角、同旁内角的顶点与边的位置特征作了铺垫，也为找三条相交线中的截线方法做了准备！并通过实际生活中的例子确认生活中除了要已学过的对顶角和邻补角之外，还存在不同顶点的角的关系。今年四月份我参加了“睿智大讲堂”初中数学教学观摩会，听了宁波第七中学杨慧老师的课，她在教学同位角、内错角、同旁内角的概念时，是先让学生观看2008奥运会女子四人双桨夺金的激烈场景，再隐去背景图形，出现了“三线八角”图，让学生去考虑：如果你是教练，你会关注哪些角的关系？从而使学生体会到研究这些角的关系的意义，接着引导学生思考这类角有什么特点，共同探索出这些角的位置与两条直线和第三条截线有关，在此基础上给出同位角、内错角、同旁内角的概念。这不仅使学生得到了概括能力的训练，还尝到了数学发现的滋味。正确的思维来源于对定理、公式的透彻理解，所以在讲定理、公式时，要注重它的形成过程、充分暴露思维过程，引导学生深刻地领悟定理和公式的本质特征。在教学中有目的提出一些供研究、探讨的素材，对学生进行必要的启示引导，让学生在一定的情境中独立思考，通过运算、实践或观察、分析、类比、归纳、作图等步骤，探索规律、提出猜想、形成命题，然后再设法证明获得定理。例如，“三角形的内角和定理”，可以通过剪纸法把三角形三内角拼成一个平角或通过三内角的度量测量计算出三内角的和，从而发现定理；“两数和的平方公式”可以通过多项式的乘法进行计算得出，也可以通过作图，引导学生分析图形中面积之间的关系得出。可以培养学生归纳推理能力的和内容还有很多，如：平方差公式的发现；等腰三角形的性质；平行线的性质和判定等。（二） 通过探索规律 发展学生的合情推理能力发现规律的过程是开展合情推理的过程。首先要仔细观察，认真比较，寻找问题之间的内在联系和变化趋势。归纳是提炼、总结规律的思维过程，要经历由表及里地抽取规律性内容的思维过程。这是培养学生合情推理能力的又一途径。案例（一）有理数的乘方有一张厚度为0.1毫米的纸，将它对折1次后，厚度为20.1毫米，那么（1）对折2次后，厚度为多少毫米？（2）对折3次后，厚度为多少毫米？（3）对折4次后，厚度为多少毫米？（4）对折20次后，厚度为多少毫米？（5）如果每层楼为3米高，此张纸对折20次后有多少层楼高？像这样让学生带着问题去学习，并使他们经历“折纸猜想计算”的过程，对培养学生的学习兴趣，培养学生的合情推理能力是有好处的。案例 （二） 用字母表示数（七年级上册第三章）师：举出生活中的常见标志生1：限速标志生2：禁烟标志生3：男厕所、女厕所师:为什么生活中会出现这么多的标志生4:美观、方便师：下面请同学们唱儿歌：生5：一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿，扑通一声跳下水；二只青蛙二张嘴，四只眼睛八条腿，扑通扑通两声跳下水；师：怎么越唱越不齐了，任意只青蛙怎么唱生6：任意知青蛙任意只嘴，师：唱起来有什么感觉?生7：别捏师：怎么改进生8：n只青蛙n张嘴，2n只眼睛4n条腿，扑通n声跳下水师：搭一个正方形需四根火柴。如果搭很多个，结果又会怎样呢？请同学们用准备好的火柴棒按如图的方式搭正方形，搭好后思考并回答下列问题：（1）图1的方式，搭2个正方形需要 根火柴棒，搭3个正方形需要 根火柴棒。（2）搭10个这样的正方形需要多少根火柴棒？ （3）搭100个这样的正方形需要多少根火柴棒？你是怎样得到的？（4）如果用n表示所搭的正方形的个数，那么搭n个这样的正方形需要多少根火柴棒？与同伴进行交流。（5）根据你的计算方法，搭132个这样的正方形需要 根火柴棒。生9：我搭正方形的时候，发现第一个正方形用四根，每增加一个正方形就增加三根，由此得出：搭x个正方形需4+3（x-1）根火柴棒生10：我是先搭上面的一排和下面的一排，各用了x根火柴棒，然后再搭竖直方向了，用了（x+1）根火柴棒。这样共用了x+ x+（x+1）根火柴棒学生的数学学习过程是一个自主构建对数学知识的理解的过程。他们在探索搭10个、100个正方形所需火柴棒的 过程中，体会建立一般规律的必要性，然后通过观察、实验、归纳，探索出一般规律并用字母表示，这其实就是一个数学化的过程。在此过程中，学生体会到“为什么要学习代数”“代数式是怎样产生的 ”，通过活动去获得代数式基本含义，发展了符号感和抽象思维，有利于合作交流、猜测验证等意识的养成。（三）、通过渗透类比思想，培养学生的合情推理能力 所谓“类比发现法”，就是通过 观察和比较两个类似的数学研究对象的异同，从一个已经学过的、熟知的研究对象所具有的性质去猜想另一个研究对象所具有的类似的性质。在数学解题过程中，题目结构相同或类似，解题方法可能相同或类似，从此尝试确定解题思路。案例分式的乘除单位：平方公里森林面积陆地面积森林覆盖率芬兰as中国7a27s师：有一次，鲁班的手不慎被一片小草割破了，他发现小草叶子的边缘，布满了密集的小齿，于是便产生联想根据小草的结构发明了锯子，鲁班在这里就运用了“类比”的思想方法，“类比”也是数学学习中常用的一种重要方法，今天我们也将运用这种方法来学习分式的乘除。师：要求芬兰的森林覆盖率是中国的多少倍,怎么列式？ 生1：师：应该怎样进行计算呢？生：将它转化为乘法运算，除以一个数等于乘以这个数的倒数。师：你是怎么想到的呢？生：分式的乘除类似于分数的乘除。师：回顾分数的乘除法则并完成以下两道计算题：根据分数的乘除法则计算师：类似的法则可以推广到分式的乘除运算中去吗?为什么?生：因为字母可以表示数师：请你根据你的猜想填空:师：结合（1）,(2)两题思考:分式的乘除法法则?生归纳：分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 （1）= （2）=师：这里的字母可以代表哪些数？生：这里的字母a、b、c、d可以表示任何整式，但字母的取值不能使分母为零。在初中数学课本中还有很多内容教学时都可以锻炼学生的合情推理能力。如合并同类项（类比乘法分配律）；同底数幂的乘法法则（归纳）；同底数幂的除法（类比同底数幂的乘法）；平方差公式的发现（归纳）；分式的乘方（类比积的成乘方）；分式的基本性质（类比分数）；分式的约分、最简分式（类比分数）；分式的加减乘除、通分等（类比分数）；二次根式的加减（类比整式的加减）；二次根式的乘除法（类比整式的乘除法）；因式分解（类比因数分解）；不等式的性质（与等式的性质类比）；解一元一次不等式（类比解一元一次方程）；发现函数的性质；角的比较与线段比较类比；角的度量单位与时间的度量单位类比；角平分线的性质与线段垂直平分线的性质类比；平行四边形的性质定理的探索；特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的性质与平行四边形类比；梯形的中位线与三角形的中位线类比；三角形的外心与三角形的内心类比等。（四）、通过统计推理，培养学生的合情推理能力“统计与概率”中的推理（也称统计推理）属于合情推理的范畴，是一种可能性的推理，与其他推理不同的是，由统计推理的到的结论无法用逻辑的方法去检验，只有靠实践来证实。因此，“统计与概率”的教学要重视学生经历收集数据、整理数据、分析数据、做出判断和决策的全过程。如为了筹备新年的联欢晚会，问准备什么样的水果才能最受欢迎呢？为此，首先应由几个同学对全班同学喜欢什么样的水果进行调查，然后把调查所得的结果整理成数据，并进行比较，再根据处理后的数据作出决策，确定应该准备什么水果。这个过程中的推理是合情推理，其结果可能只是使大部分同学喜欢。在概率的教学中，可以通过各种实验活动，如抛掷硬币、摸球，转盘游戏等，来加深对概率的意义的理解。 （案例） 摸到红球的概率 四人一组做摸球游戏。盒子里有四个形状大小完全相同的球，其中红球3个，白球1个。 教师：每个小组都摸20次，请组长作好记录，摸球时请注意摇匀。实验借宿，组长汇报结果。各小组摸到的红球的频率有所不同：70，65，85，教师：能否认为摸到红球的频率有多大，摸到红球的可能性就有多大？ 学生：不能，因为实验次数太少，只有20次，偶然性太大。教师：那我们把全班作为一个实验体，看看会有什么结果。经统计，摸到红球的频率是74.4.教师：现在我们是否可以用这个数据来判定摸红球的可能性大小？学生：还不能，虽然与小组相比全班的实验比较准确，但毕竟还存在一定的误差。教师：如果时间允许，你们预测应该有怎样的结果？学生：摸到红球的频率会越来越接近75.我们就用这个数据来表示摸红球的可能性，也就是摸到红球的概率。分组游戏培养了学生的合作与交流的能力，增强了大家的团队意识，达到了顺利突破难点的目的。通过“实验操作记录数据分析数据得出结论”这一过程，学生不仅体会了概率的意义，理解了概率的计算方法,更重要的是培养了他们收集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力。事实上，在“统计与概率”的教学中，按照新标准的要求，我们始终是离不开收集数据、整理数据、分析数据、做出判断和预测，合情推理能力的培养很自然就渗透其中。虽然义务教育阶段“统计与概率”的内容不是很多，要求也不是很高，但对培养学生 的合情推理作用却不可低估。（五）关注公理的引入和验证，培养学生的合情推理能力公理不是证明的命题，其真实性又是长期生活、生产实践总结出来的，所以往往会忽视其产生的过程。在中学数学中公理是证明其他命题的出发点，所以，在教学中应该让学生很好的理解公理的真实性。这就要从日常生活中所熟知的实际事例或从给学生提供的实验资料等直观因素中，归纳地引进公理。 （1）从学生熟悉的事例归纳出公理。通过熟知的社会生活和生产实践中的事例来说明公理的含义和现实来源，使学生体会到公理的真实性和意义。这对于培养学生的辩证唯物主义世界观是有重要意义的。教学公理“两点确定一直线”时，可以例举以下学生熟悉的事例：木工通过木板上的两点可以弹出一条直的墨线；园林工人在人行道上植树时，只要先定出两棵树的位置，就能定出一行树所在直线的位置；射击队员将枪上的“缺口”和“准心”两点确定的一条直线，延长后对准目标，即可射击命中；等等。还可在教学中做实验：在黑板上固定一点，可以引出无限多条直线；但再固定一点，两点间的连线就只能有一条，作不出第二条直线来。在此基础上，学生就会自然地用数学中的几何语言归纳出公理“两点确定一条直线”（2）在学生实践的基础上归纳出公理，例如，让学生用三角板推移的方法作出“过直线外一点与已知直线平行的直线”；经过实践归纳出公理：“过直线外一点有一条直线与已知直线平行”；然后让学生在原图上将三角板换一个角度再作同样的