浙江省绍兴市2016年高考数学一模试卷（文科）含答案解析

浙江省绍兴市 2016 年高考数学一模试卷（文科） （解析版） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1设集合 A=x|4 0， B=1， 2， 3，则 AB=（ ） A 1， 2， 3 B 1， 2 C 1 D 2 2已知函数 f（ x） =+ ），则 f（ ） =（ ） A 1 B 1 C D 3已知 a R，则 “a 2”是 “ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4设 ， 是两个不同的平面， l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A若 l ， ，则 l B若 l ， ，则 l C若 l ， ，则 l D若 l ， ，则 l 5若存在实数 x， y 满足 ，则实数 m 的取值范围是（ ） A（ 0， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ ， ） 6设椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右焦点分别是 P 为椭圆 C 上的点，在 ，点 Q 满足 =4 ， 椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是（ ） A 0 e B e C e 1 D 0 e 或 e 1 7在 ， 别是边 中点， 交于点 G， 垂直平分线与 于点 N，且 = 2，则 （ ） A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D任意三角形 8已知函数 f（ x） =x（ x 0）， x） =f（ x）， （ x） =f（ x）， n N*，则x）在 1， 2上的最大值是（ ） A 210 1 B 212 1 C 310 1 D 332 1 二、填空题 (本大题共 7 小题，第 9,10,11,12 题每空 3 分。第 13,14,15 题每空 4 分，共 36 分） 9计算： = 10已知等差数列 前 n 项和为 ， ，则 ， 11已知函数 f（ x） = 是奇函数，则 a= ， f（ f（ 1）= 12某几何体的三视图如图所示，则该几何体的面积是 ，体积是 13已知圆 O： x2+y2=圆 C：（ x 2） 2+y2=r 0）的一个公共点 P，过 P 作与 x 轴平行的直线分别交两圆于 A， B 两点（不同于 P 点），且 r= 14设函数 f（ x） =x2+（ m R），若任意的 R， f（ f（ ）至少有一个为非负值，则实数 m 的取值范围是 15已知实数 x， y 满足 x2+，则 4（ x ） 2+（ y 1） 2+4最大值是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 4b+2a 2c （ ）求角 A 的大小； （ ）若 a= ， 面积为 ，求 b， c 的值 17已知等比数列 前 n 项和 比为 q， 0， ， 0（ n N*） （ ）求 q 的值； （ ）若 q 0，记数列 前 n 项和为 18如图，三棱锥 P ， 平面 ， C= ， D 为 点 D 作 行于 连接 1）证明： 平面 （ ）求直线 平面 成角的余弦值 19已知抛物线 4x 的准线经过抛物线 焦点 （ ）求抛物线 方程； （ ）点 M， N 分别在抛物线 ，且点 M， N 分别位于第三、第一象限若抛物线存在一点 Q，满足 + = （ O 为坐标原点），求实数 的取值范围 20已知函数 f（ x） =| |（ a 1） （ ）（ i）求函数 f（ x）的单调递增区 间； （ 函数 g（ x） =f（ x） x a 恰有三个零点，求 a 的值； （ ）记 M（ a， t）为函数 f（ x）在区间 t， t+2（ t R）上的最大值，求 M（ a， t）的最小值 2016 年浙江省绍兴市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1设集合 A=x|4 0， B=1， 2， 3，则 AB=（ ） A 1， 2， 3 B 1， 2 C 1 D 2 【分析】 化简集合 A，求出 AB 即可 【解答】 解： 集合 A=x|4 0=x| 2 x 2， B=1， 2， 3， AB=1 故选： C 【点评】 本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目 2已知函数 f（ x） =+ ），则 f（ ） =（ ） A 1 B 1 C D 【分析】 代入 x= ，利用特殊角的三角函数值即可计算求值 【解答】 解： f（ x） =+ ）， f（ ） =+ ） =1 故选： B 【点评】 本题主要考查了特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题 3已知 a R，则 “a 2”是 “ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 a 2 ， a 2 或 a 0，由此知 “a 2”是 “ ”的充分不必要条件 【解答】 解：由 “a 2”，能推导出 “ ” 由 可得 ，即得 a 2 或 a 0， “a 2”是 “ ”的充分不必要条件， 故选 A 【点评】 本题考查必 要条件、充分条件、充要条件的性质和应用，解题时要注意不等式性质的合理运用 4设 ， 是两个不同的平面， l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A若 l ， ，则 l B若 l ， ，则 l C若 l ， ，则 l D若 l ， ，则 l 【分析】 本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现 A， B， D 中由条件均可能得到 l ，即 A， B， D 三个答案均错误，只有 C 满足平面平行的性质，分析后不难得出答案 【解答】 解：若 l ， ，则 l或 l ，故 A 错误； 若 l ， ，则 l或 l ，故 B 错误； 若 l ， ，由平面平行的性质，我们可得 l ，故 C 正确； 若 l ， ，则 l 或 l ，故 D 错误； 故选 C 【点评】 判断或证明线面平行的常用方法有： 利用线面平行的定义（无公共点）； 利用线面平行的判定定理（ a， b， a ba ）； 利用面面平行的性质定理（ ，aa ）； 利用面面平行的性质（ ， a， a， a a ）线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有 直线，这是寻找线线垂直的重要依据垂直问题的证明，其一般规律是 “由已知想性质，由求证想判定 ”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来 5若存在实数 x， y 满足 ，则实数 m 的取值范围是（ ） A（ 0， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ ， ） 【分析】 作出平面区域，可得直线过定点 D（ 1， 1），斜率为 m，结合图象可得 m 的不等式组，解不等式组可得 【解答】 解：作出 所对应的区域（如图 内部，不包括边界）， 直线 m（ x+1） y=0，可化为 y=m（ x+1），过定点 D（ 1， 0），斜率为 m， 存在实数 x， y 满足 ， 则直线需与区域有公共点， ， 解得 B（ ， ）， ，解得 A（ ， ） = ， = ， m ， 故选： D 【点评】 本题考查简单线性规划，准确作图是解决问 题的关键，考查数形结合，转化思想的应用，属中档题 6设椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右焦点分别是 P 为椭圆 C 上的点，在 ，点 Q 满足 =4 ， 椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是（ ） A 0 e B e C e 1 D 0 e 或 e 1 【分析】 由题意可设 |t， |4t，运用三角形相似的判断和性质，可得 t=c，由椭圆的性质可得 a c | a+c，运用离心率公式计算即可得 到所求范围 【解答】 解：由点 Q 满足 =4 ， 设 |t， |4t， 在 ， 可得 有： = ，即 = ， 可得 t=c，由 a c | a+c， 可得 a c 4c a+c， 即为 a 5c 且 a 3c， 由 e= 可得 e 故选： B 【点评】 本题考查椭圆的离心率的范围，注意运用三角形相似的性质，以及椭圆的点到焦点的距离的最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题 7在 ， 别是边 中点， 交于点 G， 垂直平分线与 于点 N，且 = 2，则 （ ） A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D任意三角形 【分析】 根据题意可得 G 为 重心，再根据题意可得 =（ + ）=0+ = 2，化简可得 =0，即 ，从而得出结论 【解答】 解：由题意可得， G 为 重心， = = 2， = + = + = + ， =（ + ） =0+ = 2， 2 2 = 2， 即 2 = 2， 即 = 2， （ ） = =0，即 ， 直角三角形， 故选： C 【点评】 本题考查了平面向量加减运算的几何意义，平面向量数量积运算，属于中档题 8已知函数 f（ x） =x（ x 0）， x） =f（ x）， （ x） =f（ x）， n N*，则x）在 1， 2上的最大值是（ ） A 210 1 B 212 1 C 310 1 D 332 1 【分析】 易知 f（ x） =x=（ x+1） 2 1 在（ 0， +）上是增函数，且 f（ x） 0；从而依次代入化简即可 【解答】 解： f（ x） =x=（ x+1） 2 1 在（ 0， +）上是增函数，且 f（ x） 0； x） =f（ x） =x，在 1， 2上递增， 故 x） 2 1， x） f（ x） =f（ 32 1） =（ 32 1+1） 2 1=34 1， x） f（ x） =f（ 34 1） =（ 34 1+1） 2 1=38 1， x） f（ x） =f（ 38 1） =（ 38 1+1） 2 1=316 1， x） f（ x） =f（ 316 1） =（ 316 1+1） 2 1=332 1， 故选： D 【点评】 本题考查了函数的性质的判断与应用，主要是单调性的运用，同时考查整体思想的应用，考查运算能力，属于中档题 二、填空题 (本大题共 7 小题，第 9,10,11,12 题每空 3 分。第 13,14,15 题每空 4 分，共 36 分） 9计算： = 4 【分析】 利用根式的运算性质、对数的运算性质即可得出 【解答】 解： =4 2+ = 故答案分别为： 4 ； 【点评】 本题考查了根式的运算性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 10已知等差数列 前 n 项和为 ， ，则 7 ， 80 【分析】 利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：设等差数列 前 n 项和为 ， ， a1+d=1， 4d=8， 解得 1， d=2 则 1+2 4=7， 0 （ 1） + 2=80 故答案分别为： 7； 80 【点评】 本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 11已知函数 f（ x） = 是奇函数，则 a= 1 ， f（ f（ 1） = 1 【分析】 根据函数奇偶性的定义和性质，建立方程关系即可求出 a= 1，利用分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可 【解答】 解：若函数 f（ x）是奇函数， 则 f（ 1） = f（ 1）， 即 a+2=（ 1 2） =1，则 a= 1， 则 f（ 1） =1 2= 1， f（ 1） =a+2= 1+2=1， 故答案为： 1， 1 【点评】 本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数值的计算，利用方程求出 a 的值是解决本题的关键 12某几何体的三视图如图所示，则该几何体的面积是 ，体积是 4 【分析】 由三视图知该几何体是四棱锥，由 三视图求出几何元素的长度，由位置关系和勾股定理求出各个棱长，由条件和面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积，由锥体的体积公式求出几何体的体积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，如图： 且 平面 ， 底面是一个直角梯形， D=2、 ， 取 中点 E，连接 E=2， 由勾股定理得， C= ， ， ， 几何体和表面积： S= + = ， 几何体的体积 V= 2=4， 故答案为： ； 4 【点评】 本题考查三视图求几何体的体积以及表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力 13已知圆 O： x2+y2=圆 C：（ x 2） 2+y2=r 0）的一个公共点 P，过 P 作与 x 轴平行的直线分别交两圆于 A， B 两点（不同于 P 点），且 r= 2 【分析】 根据题意，画出图形，结合图形得出点 P 的横坐标，再根据题意列出方程组，解方程组求出半径 r 的值 【解答】 解：如图所示， 圆 O： x2+y2=圆 C：（ x 2） 2+y2=r 0）的一个公共点 P， 点 P 的横坐标为 x=1； 又过点 P 作与 x 轴平行的直线分别交两圆于 A， B 两点， 设 A（ B（ 则 ； 又 =， 且 + = + = 由此解得 r=2 故答案为： 2 【点评】 本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了数形结合解题方法的问题，是综合性题目 14设函数 f（ x） =x2+（ m R），若任意的 R， f（ f（ ）至少有一个为非负值，则实数 m 的取值范围是 2 m 2 【分析】 作差可知 时， f（ ） f（ 从而化为 f（ ） =（ ） 2+m（ ） + = m+2） +m 在 ， f（ ） + ） 2+ +m（ ） 2 0 恒成立，可得 |m| 2，即可得出结论 【解答】 解： f（ ） f（ =（ ） 2+m（ ） + （ ） =2x0+m+1， 当 2x0+m+1 0，即 时， f（ ） f（ 而 f（ ） =（ ） 2+m（ ） + = m+2） +m， ， f（ ） + ） 2+ +m（ ） 2 0 恒成立， 即 4 恒成立， 故 |m| 2， 2 m 2 故答案为： 2 m 2 【点评】 本题考查了分类讨论的思想应用及作差法的应用，属于中档题 15已知实数 x， y 满足 x2+，则 4（ x ） 2+（ y 1） 2+4最大值是 22+4 【分析】 利用圆的参数方程，结合 配方法，即可求出 4（ x ） 2+（ y 1） 2+4最大值 【解答】 解：由题意，设 x=2y=2 则 t=2x+y=4 +） 2 ， 2 4（ x ） 2+（ y 1） 2+4xy+4x 2y+2=（ 2x+y） 2 2（ 2x+y） +2=（ t 1） 2+1 t= 2 时， 4（ x ） 2+（ y 1） 2+4最大值是 22+4 故答案为： 22+4 【点评】 本题考查 4（ x ） 2+（ y 1） 2+4最大值，考查圆的参数方程，考查配方法的运用，正确变形是关键 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 4b+2a 2c （ ）求角 A 的大小； （ ）若 a= ， 面积为 ，求 b， c 的值 【分析】 （ I）由 ， 4b+2a 2c可得： 2a 2b+2a 2c化简再利用余弦定理即可得出 （ a= 及（ I）可得： b2+，又 S 得 ，解得 b，c 【解答】 解：（ I）在 ， ， 4b+2a 2c 2a 2b+2a 2c化为 2c b， =2c b，化为： a2=b2+ ， A （ 0， ）， A= （ a= 及（ I）可得： b2+，又 S ，化为 解得 b= ， c=2 或 b=2 ， c= 【点评】 本题考查了余弦定理、倍角公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 17已知等比数列 前 n 项和 比为 q， 0， ， 0（ n N*） （ ）求 q 的值； （ ）若 q 0，记数列 前 n 项和为 【分析】 （ I）由 ， 0（ n N*），可得 =2， 1+q+q2+=40，解出即可得出 （ q 0， 0，可得 q= 2， ， 2） n 1， ，再利用等比数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：（ I） ， 0（ n N*）， =2， 1+q+q2+=40， 可得： 1+=20，解得 q= 2 （ q 0， 0， q= 2， ， 2） n 1， = ， 数列 （ 2） n 1的 前 n 项和 =1+（ 2） +（ 2） 2+（ 2） n 1= = ； 数列 22n 1的前 n 项和 =2+23+22n 1= = 数列 前 n 项和为 = 【点评】 本 题考查了等比数列的通项公式及其前 n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 18如图，三棱锥 P ， 平面 ， C= ， D 为 点 D 作 行于 连接 1）证明： 平面 （ ）求直线 平面 成角的余弦值 【分析】 （ I）以 A 为原点建系，求出 ， ， 的坐标，通过计算 =0， =0得出 是得出 平面 （ 出平面 法向量 ，则直线 平面 成角的正弦值等于 | |，利用同角三角函数得到关系得出线面角的余弦值 【解答】 解：（ I）以 A 为坐标原点，以 坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则 A（ 0， 0， 0）， B（ ， 0， 0）， C（ 0， ， 0）， P（ 0， 0， 1）， Q（ ， ， 1） =（ ， ， 1）， =（ ， ， 0）， =（ ， 0， 1） =0， =0 又 平面 平面 P=B， 平面 （ =（ ， 0， 0）， =（ ， ， 1）， 设平面 法向量为 =（ x， y， z），则 ， ，令 z=1，得 =（ 0， ， 1） = 2， | |= ， | |=2， = = ， 设直线 平面 成角为 ，则 |= ， 直线 平面 成角的余弦值为 【点评】 本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题 19已知抛物线 4x 的准线经过抛物线 焦点 （ ）求抛物线 方程； （ ）点 M， N 分别在抛物线 ，且点 M， N 分别位于第三、第一象限若抛物线存在一点 Q，满足 + = （ O 为坐标原点），求实数 的取值范围 【分析】 （ I）求出抛物线 准线方程和抛物线 焦点，将焦点坐标带诶准线方程得出 p，即可得出抛物线的方程； （ M（ ， N（ ， 根据 + = 求出 Q 的坐标，代入抛物线 方程得出 关于 函数，利用基本不等式求出 的范围 【解答】 解：（ I）抛物线 准线方程为： x=1， 抛物线 交点坐标为（ ， 0）， ，解得 p=2 抛物线 方程为： x （ M（ ， N（ ， （ 0， 0） + = ， = =（ ， Q（ ， ） Q 在抛物线 x 上， ， = =1 20， 0 1 1 2 【点评】 本题考 查了抛物线的性质，向量的线性运算，基本不等式的应用，属于中档题 20已知函数 f（ x） =| |（ a 1） （ ）（ i）求函数 f（ x）的单调递增区间； （ 函数 g（ x） =f（ x） x a 恰有三个零点，求 a 的值； （ ）记 M（ a， t）为函数 f（ x）在区间 t， t+2（ t R）上的最大