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专题三：空间角向量法求空间角（教师版）一方法提炼角这一几何量在本质上是对线线、线面、面面位置关系的定量分析，其中转化的思想非常重要，三种空间角都可以化为平面角来计算，因此，可进下转化为空间向量的夹角求解。二空间角公式：线线角:异面直线所成的角a利用它们所在的向量，转化为向量的夹角q 问题，但q0，p， a(0, ，所以cosa=|cosq|=。线面角；在求平面的斜线与平面所成的角时，一般有两种思考的途径，如图，一种是按定义得POH=,，另一种是利用法向量知识，平面的法向量为 ,先求与的夹角，注意与所成角与,的关系，于是就有sin=|cos,|二面角；（1）二面角的取值范围：0， （2）二面角的向量求法： 若AB,CD分别是二面角-L-的两个面内与棱L垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角 若,分别是二面角-L-的两个面,的法向量，则向量与的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小1（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD=60，M为PC上一点，且PA/平面BDM， （1）求证：M为PC的中点； （2）求证：面ADM面PBC。解：（1）证明：连接AC，AC与BD交于G，则面PAC面BDM=MG，由PA/平面BDM，可得PA/MG 底面ABCD为菱形，G为AC的中点，MG为PAC的中位线。因此M为PC的中点。 （2）取AD中点O，连结PO，BO。PAD是正三角形，POAD，又因为平面PAD平面ABCD，所以，PO平面ABCD， 底面ABCD是菱形且BAD=60，ABD是正三角形，ADOB。OA，OB，OP两两垂直，建立空间直角坐标系 DM平面PBC，又DM平面ADM，ADM面PBC 2（本题满分12分） ABCC11B1A1D如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，,点是棱的中点.（）求证：平面；（）求二面角的余弦值.（）证明：因为侧面，均为正方形， 所以,所以平面，三棱柱是直三棱柱. 因为平面，所以，又因为，为中点，所以. B1ABCC11A1DxyzO因为,所以平面. ()解： 因为侧面，均为正方形， ，所以两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系.设，则.， 设平面的法向量为，则有， ，取，得. 又因为平面，所以平面的法向量为，11分因为二面角是钝角，所以，二面角的余弦值为. 3（本小题满分12分） 已知等腰直角三角形，其中=90， 点、分别是、的中点，现将沿着边折起到位置， 使，连结、（）求证：；（）求二面角的余弦值解：（）点分别是、的中点， . . 又， , 平面. 平面, . （）建立如图所示的空间直角坐标系则（1，0，0），（2，1，0），（0，0，1）.=（1，1，0）， =（1，0，1）, 设平面的法向量为，则 10分令，得， .显然，是平面的一个法向量=（） cos= 二面角的余弦值是. 4、（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形， 底面，, 点是的中点， ，且交于点 . （I） 求证： 平面； （II） 求二面角的余弦值大小； （III）求证：平面平面.证明（）证明：连结交于，连结. 是正方形， 是的中点. 是的中点，是的中位线. 又平面， 平面， 平面.（II）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，由故设，则 . 底面， 是平面的法向量，设平面的法向量为, , 则 即 令,则. ,二面角的余弦值为 （III）， ， 又且. 又平面 平面平面.5. （本小题满分12分）三棱锥中，,（1） 求证：面面（2） 求二面角的余弦值第5题图（1） 证明：取BC中点O，连接AO，PO，由已知BAC为直角三角形，所以可得OA=OB=OC，又知PA=PB=PC，则POAPOBPOCPOA=POB=POC=90，POOB,POOA,OBOA=O所以PO面BCD，面ABC，面PBC面ABC（2） 解：过O作OD与BC垂直，交AC于D点，如图建立坐标系Oxyz则，第5题答案图设面PAB的法向量为n1=(x,y,z)，由n1 =0，n1=0,可知n1=(1,-,1)同理可求得面PAC的法向量为n1=(3,1)cos(n1, n2)=6（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，分别是线段的中点（）求证：平面（）求二面角的大小解：（）为的中点，且，底面，底面，2分四边形为正方形，又，平面平面， ，平面6分（）建立如图所示的空间直角坐标系，,，8分设平面的法向量为n,，则取又平面的法向量为 所以，二面角的大小为 12分7.（本小题满分12分）如图，在底面为直角梯形