平行四边形及特殊四边形提高练习常考题及培优题

WORD 完美格式编辑 专业资料整理 平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题 一 选择题 共一 选择题 共 5 小题 小题 1 如图 把大小相同的两个矩形拼成如下形状 则 FBD 是 A 等边三角形 B 等腰直角三角形 C 一般三角形 D 等腰三角形 2 如图 正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中 点 D 在 CG 上 BC CE 3 H 是 AF 的中点 那么 CH 的长是 A 3 5 B C D 2 3 如图 在矩形 ABCD 中 AB 4 BC 8 对角线 AC BD 相交于点 O 过点 O 作 OE 垂直 AC 交 AD 于点 E 则 AE 的长是 A 3B 5C 2 4 D 2 5 4 如图 在 ABC 中 CF AB 于 F BE AC 于 E M 为 BC 的中点 EF 7 BC 10 则 EFM 的周长是 WORD 完美格式编辑 专业资料整理 A 17B 21C 24D 27 5 如图 在矩形 ABCD 中 AB 6 AD 8 P 是 AD 上不与 A 和 D 重合的一个动 点 过点 P 分别作 AC 和 BD 的垂线 垂足为 E F 则 PE PF 的值为 A 10B 4 8 C 6D 5 二 填空题 共二 填空题 共 4 小题 小题 6 如图 在矩形 ABCD 中 对角线 AC 与 BD 相交于点 O AE 平分 BAD 交 BC 于点 E 若 CAE 15 则 BOE 的度数等于 7 如图 将平行四边形 ABCD 的边 DC 延长到 E 使 CE CD 连接 AE 交 BC 于 F AFC n D 当 n 时 四边形 ABEC 是矩形 8 如图 在正五边形 ABCDE 中 连接 AC AD CE CE 交 AD 于点 F 连接 BF 则线段 AC BF CD 之间的关系式是 WORD 完美格式编辑 专业资料整理 9 如图 在平面直角坐标系中 O 为原点 四边形 OABC 是矩形 A 10 0 C 0 3 点 D 是 OA 的中点 点 P 在 BC 边上运动 当 ODP 是腰长为 5 的等 腰三角形时 点 P 的坐标是 三 解答题 共三 解答题 共 31 小题 小题 10 如图 正方形 ABCD 中 AE AB 直线 DE 交 BC 于点 F 求 BEF 的度数 11 如图 梯形 ABCD 中 AD BC AB CD 对角线 AC BD 交于点 O AC BD E F G H 分别为 AB BC CD DA 的中点 1 求证 四边形 EFGH 为正方形 2 若 AD 1 BC 3 求正方形 EFGH 的边长 12 如图 点 E F 分别是正方形 ABCD 的边 CD 和 AD 的中点 BE 和 CF 交于点 P 求证 AP AB WORD 完美格式编辑 专业资料整理 13 如图 点 P 为正方形 ABCD 对角线 BD 上一点 PE BC 于 E PF DC 于 F 1 求证 PA EF 2 若正方形 ABCD 的边长为 a 求四边形 PFCE 的周长 14 如图 1 在正方形 ABCD 中 点 E 为 BC 上一点 连接 DE 把 DEC 沿 DE 折叠得到 DEF 延长 EF 交 AB 于 G 连接 DG 1 求 EDG 的度数 2 如图 2 E 为 BC 的中点 连接 BF 求证 BF DE 若正方形边长为 6 求线段 AG 的长 15 如图 在正方形 ABCD 中 F 是对角线 AC 上的一点 点 E 在 BC 的延长 线上 且 BF EF 1 求证 BF DF 2 求证 DFE 90 3 如果把正方形 ABCD 改为菱形 其他条件不变 如图 当 ABC 50 时 WORD 完美格式编辑 专业资料整理 DFE 度 16 已知正方形 ABCD 中 对角线 AC BD 相交于 O 如图 1 若 E 是 AC 上的点 过 A 作 AG BE 于 G AG BD 交于 F 求证 OE OF 如图 2 若点 E 在 AC 的延长线上 AG EB 交 EB 的延长线于 G AG 延长 DB 延长线于点 F 其它条件不变 OE OF 还成立吗 17 如图 点 P 是菱形 ABCD 中对角线 AC 上的一点 且 PE PB 1 求证 PE PD 2 求证 PDC PEB 3 若 BAD 80 连接 DE 试求 PDE 的度数 并说明理由 18 如图 正方形 ABCD 中 AB 1 点 P 是 BC 边上的任意一点 异于端点 B C 连接 AP 过 B D 两点作 BE AP 于点 E DF AP 于点 F 1 求证 EF DF BE 2 若 ADF 的周长为 求 EF 的长 WORD 完美格式编辑 专业资料整理 19 如图 正方形 ABCD 的对角线 AC BD 的交点为 O 以 O 为端点引两条互 相垂直的射线 OM ON 分别交边 AB BC 于点 E F 1 求证 0E OF 2 若正方形的边长为 4 求 EF 的最小值 20 如图 在正方形 ABCD 中 点 E 是边 AD 上任意一点 BE 的垂直平分线 FG 交对角 AC 于点 F 求证 1 BF DF 2 BF FE 21 已知 如图所示 四边形 ABCD 中 ABC ADC 90 M 是 AC 上任一点 O 是 BD 的中点 连接 MO 并延长 MO 到 N 使 NO MO 连接 BN 与 ND 1 判断四边形 BNDM 的形状 并证明 2 若 M 是 AC 的中点 则四边形 BNDM 的形状又如何 说明理由 WORD 完美格式编辑 专业资料整理 22 如图 在 ABC 中 O 是边 AC 上的一动点 过点 O 作直线 MN BC 设 MN 交 BCA 的平分线于点 E 交 BCA 的外角平分线于点 F 1 求证 OE OF 2 当点 O 运动到何处时 四边形 AECF 是矩形 23 1 如图矩形 ABCD 的对角线 AC BD 交于点 O 过点 D 作 DP OC 且 DP OC 连接 CP 判断四边形 CODP 的形状并说明理由 2 如果题目中的矩形变为菱形 结论应变为什么 说明理由 3 如果题目中的矩形变为正方形 结论又应变为什么 说明理由 24 如图 1 已知 AB CD AB CD A D 1 求证 四边形 ABCD 为矩形 2 E 是 AB 边的中点 F 为 AD 边上一点 DFC 2 BCE 如图 2 若 F 为 AD 中点 DF 1 6 求 CF 的长度 如图 2 若 CE 4 CF 5 则 AF BC AF WORD 完美格式编辑 专业资料整理 25 如图 直线 a b 相交于点 A C E 分别是直线 b a 上两点且 BC a DE b 点 M N 是 EC DB 的中点 求证 MN BD 26 如图所示 在梯形 ABCD 中 AD BC B 90 AD 24cm BC 26cm 动 点 P 从点 A 出发沿 AD 方向向点 D 以 1cm s 的速度运动 动点 Q 从点 C 开始沿 着 CB 方向向点 B 以 3cm s 的速度运动 点 P Q 分别从点 A 和点 C 同时出发 当其中一点到达端点时 另一点随之停止运动 1 经过多长时间 四边形 PQCD 是平行四边形 2 经过多长时间 四边形 PQBA 是矩形 3 经过多长时间 当 PQ 不平行于 CD 时 有 PQ CD 27 如图 E F 是正方形 ABCD 的边 AD 上的两个动点 满足 AE DF 连接 CF 交 BD 于 G 连接 BE 交 AG 于 H 已知正方形 ABCD 的边长为 4cm 解决下列问 题 1 求证 BE AG WORD 完美格式编辑 专业资料整理 2 求线段 DH 的长度的最小值 28 如图 点 M 是矩形 ABCD 的边 AD 的中点 点 P 是 BC 边上一动点 PE MC PF BM 垂足为 E F 1 当矩形 ABCD 的长与宽满足什么条件时 四边形 PEMF 为矩形 猜想并证 明你的结论 2 在 1 中 当点 P 运动到什么位置时 矩形 PEMF 变为正方形 为什么 29 某校数学兴趣小组开展了一次课外活动 过程如下 如图 正方形 ABCD 中 AB 4 将三角板放在正方形 ABCD 上 使三角板的直角顶点与 D 点重 合 三角板的一边交 AB 于点 P 另一边交 BC 的延长线于点 Q 1 求证 AP CQ 2 如图 小明在图 1 的基础上作 PDQ 的平分线 DE 交 BC 于点 E 连接 PE 他发现 PE 和 QE 存在一定的数量关系 请猜测他的结论并予以证明 3 在 2 的条件下 若 AP 1 求 PE 的长 WORD 完美格式编辑 专业资料整理 30 如图 在菱形 ABCD 中 AB 4cm ADC 120 点 E F 同时由 A C 两 点出发 分别沿 AB CB 方向向点 B 匀速移动 到点 B 为止 点 E 的速度 为 1cm s 点 F 的速度为 2cm s 经过 t 秒 DEF 为等边三角形 求 t 的值 31 如图 在 Rt ABC 中 ABC 90 点 D 是 AC 的中点 作 ADB 的角平分 线 DE 交 AB 于点 E 1 求证 DE BC 2 若 AE 3 AD 5 点 P 为 BC 上的一动点 当 BP 为何值时 DEP 为等腰 三角形 请直接写出所有 BP 的值 32 已知 如图 BF BE 分别是 ABC 及其邻补角的角平分线 AE BE 垂足 为点 E AF BF 垂足为点 F EF 分别交边 AB AC 于点 M N 求证 1 四边形 AFBE 是矩形 2 BC 2MN 33 如图 在边长为 5 的菱形 ABCD 中 对角线 BD 8 点 O 是直线 BD 上的动 点 OE AB 于 E OF AD 于 F WORD 完美格式编辑 专业资料整理 1 对角线 AC 的长是 菱形 ABCD 的面积是 2 如图 1 当点 O 在对角线 BD 上运动时 OE OF 的值是否发生变化 请说 明理由 3 如图 2 当点 O 在对角线 BD 的延长线上时 OE OF 的值是否发生变化 若不变请说明理由 若变化 请直接写出 OE OF 之间的数量关系 不用明理 由 34 如图 已知 Rt ABD Rt FEC 且 B D C E 在同一直线上 连接 BF AE 1 求证 四边形 ABFE 是平行四边形 2 若 ABD 60 AB 2cm DC 4cm 将 ABD 沿着 BE 方向以 1cm s 的速度 运动 设 ABD 运动的时间为 t 在 ABD 运动过程中 试解决以下问题 1 当四边形 ABEF 是菱形时 求 t 的值 2 是否存在四边形 ABFE 是矩形的情形 如果存在 求出 t 的值 如果不存 在 请说明理由 35 已知 矩形 ABCD 中 AB 4cm BC 8cm AC 的垂直平分线 EF 分别交 AD BC 于点 E F 垂足为 O WORD 完美格式编辑 专业资料整理 1 如图 1 连接 AF CE 求证 四边形 AFCE 为菱形 2 如图 1 求 AF 的长 3 如图 2 动点 P Q 分别从 A C 两点同时出发 沿 AFB 和 CDE 各边匀 速运动一周 即点 P 自 A F B A 停止 点 Q 自 C D E C 停止 在运动过 程中 点 P 的速度为每秒 1cm 设运动时间为 t 秒 问在运动的过程中 以 A P C Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形吗 若有可能 请求出运动时间 t 和点 Q 的速度 若不可能 请说明理由 若点 Q 的速度为每秒 0 8cm 当 A P C Q 四点为顶点的四边形是平行四 边形时 求 t 的值 36 如图 1 E F 是正方形 ABCD 的边上两个动点 满足 AE DF 连接 CF 交 BD 于 G 连接 BE 交 AG 于点 H 1 求证 AG BE 2 如图 2 连 DH 若正方形的边长为 4 则线段 DH 长度的最小值是 37 如图 在菱形 ABCD 中 AB 2 DAB 60 点 E 时 AD 边的中点 点 M 时 AB 边上的一个动点 不与点 A 重合 延长 ME 交 CD 的延长线于点 N 连接 MD AN 1 求证 四边形 AMDN 是平行四边形 2 填空 当 AM 的值为 时 四边形 AMDN 是矩形 当 AM 的值为 时 四边形 AMDN 是菱形 38 如图 已知正方形 OABC 的边长为 4 顶点 A C 分别在 x y 轴的正半轴上 M 是 BC 的中点 点 P 0 m 是线段 oc 上的一动点 9 点 P 不与点 O C 重合 WORD 完美格式编辑 专业资料整理 0 直线 PM 交 AB 的延长线于点 D 1 求点 D 的坐标 用含 m 的代数式表示 2 若 APD 是以 AP 边为一腰的等腰三角形 求 m 的值 39 如图 在 ABC 中 ABC 90 点 D 为 AC 的中点 过点 C 作 CE BD 于 点 E 过点 A 作 BD 的平行线 交 CE 的延长线于点 F 在 AF 的延长线上截取 FG BD 连接 BG DF 1 证明 四边形 BDFG 是菱形 2 若 AC 10 CF 6 求线段 AG 的长度 40 如图 在正方形 ABCD 中 点 E 在边 AD 上 点 F 在边 BC 的延长线上 连 接 EF 与边 CD 相交于点 G 连接 BE 与对角线 AC 相交于点 H AE CF BE EG 1 求证 EF AC 2 求 BEF 大小 3 若 EB 4 则 BAE 的面积为 WORD 完美格式编辑 专业资料整理 初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培 优题优题 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 5 小题 小题 1 2012 春 炎陵县校级期中 如图 把大小相同的两个矩形拼成如下形状 则 FBD 是 A 等边三角形 B 等腰直角三角形 C 一般三角形 D 等腰三角形 分析 根据正方形性质得出 FG BC G C 90 GB CD 根据 SAS 证 FGB BCD 推出 FBG BDC BF BD 求出 DBC FBG 90 求出 FBD 的度数即可 解答 解 大小相同的两个矩形 GFEB ABCD FG BE AD BC GB EF AB CD G C ABG ABC 90 在 FGB 和 BCD 中 FGB BCD FBG BDC BF BD BDC DBC 90 DBC FBG 90 WORD 完美格式编辑 专业资料整理 FBD 180 90 90 即 FBD 是等腰直角三角形 故选 B 点评 本题考查了等腰直角三角形 全等三角形的性质和判定 正方形性质 的应用 关键是证出 FGB BCD 主要考查学生运用性质进行推理的能力 2 2015 春 江阴市期中 如图 正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中 点 D 在 CG 上 BC CE 3 H 是 AF 的中点 那么 CH 的长是 A 3 5 B C D 2 分析 根据正方形的性质求出 AB BC CE EF 3 E 90 延长 AD 交 EF 于 M 连接 AC CF 求出 AM 4 FM 2 AMF 90 根据正方形 性质求出 ACF 90 根据直角三角形斜边上的中线性质求出 CH AF 根据勾 股定理求出 AF 即可 解答 解 正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中 点 D 在 CG 上 BC CE 3 AB BC CE EF 3 E 90 延长 AD 交 EF 于 M 连接 AC CF 则 AM BC CE 4 FM EF AB 2 AMF 90 四边形 ABCD 和四边形 GCEF 是正方形 ACD GCF 45 ACF 90 H 为 AF 的中点 WORD 完美格式编辑 专业资料整理 CH AF 在 Rt AMF 中 由勾股定理得 AF 2 CH 故选 C 点评 本题考查了勾股定理 正方形的性质 直角三角形斜边上的中线的应 用 解此题的关键是能正确作出辅助线 并求出 AF 的长和得出 CH AF 有一 定的难度 3 2015 春 泗洪县校级期中 如图 在矩形 ABCD 中 AB 4 BC 8 对角线 AC BD 相交于点 O 过点 O 作 OE 垂直 AC 交 AD 于点 E 则 AE 的长是 A 3B 5C 2 4 D 2 5 分析 根据矩形的性质得出 CDE 90 AD BC 8 AB DC 4 AO OC 根据 线段垂直平分线性质得出 AE CE 在 Rt CDE 中 由勾股定理得出 CE2 CD2 DE2 代入求出即可 解答 解 在矩形 ABCD 中 AB 4 BC 8 WORD 完美格式编辑 专业资料整理 CDE 90 AD BC 8 AB DC 4 AO OC OE AC AE CE 在 Rt CDE 中 由勾股定理得 CE2 CD2 DE2 即 AE2 42 8 AE 2 解得 AE 5 故选 B 点评 本题考查了矩形的性质 勾股定理 线段垂直平分线性质的应用 解 此题的关键是得出关于 AE 的方程 4 2015 秋 无锡期中 如图 在 ABC 中 CF AB 于 F BE AC 于 E M 为 BC 的中点 EF 7 BC 10 则 EFM 的周长是 A 17B 21C 24D 27 分析 根据 CF AB 于 F BE AC 于 E M 为 BC 的中点 利用直角三角形斜 边上的中线等于斜边的一半 求出 FM 和 ME 的长 即可求解 解答 解 CF AB M 为 BC 的中点 MF 是 Rt BFC 斜边上的中线 FM BC 10 5 同理可得 ME BC 10 5 又 EF 7 EFM 的周长 EF ME FM 7 5 5 17 故选 A 点评 此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线这个知识点的理解和掌 WORD 完美格式编辑 专业资料整理 握 解答此题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 求出 FM 和 ME 的长 5 2015 春 乌兰察布校级期中 如图 在矩形 ABCD 中 AB 6 AD 8 P 是 AD 上不与 A 和 D 重合的一个动点 过点 P 分别作 AC 和 BD 的垂线 垂足为 E F 则 PE PF 的值为 A 10B 4 8 C 6D 5 分析 连接 OP 利用勾股定理列式求出 BD 再根据矩形的对角线相等且互 相平分求出 OA OD 然后根据 S AOD S AOP S DOP列方程求解即可 解答 解 如图 连接 OP AB 6 AD 8 BD 10 四边形 ABCD 是矩形 OA OD 10 5 S AOD S AOP S DOP 6 8 5 PE 5 PF 解得 PE PF 4 8 故选 B 点评 本题考查了矩形的性质 三角形的面积 熟记性质并利用三角形的面 积列出方程是解题的关键 WORD 完美格式编辑 专业资料整理 二 填空题 共二 填空题 共 4 小题 小题 6 2016 春 东平县期中 如图 在矩形 ABCD 中 对角线 AC 与 BD 相交于点 O AE 平分 BAD 交 BC 于点 E 若 CAE 15 则 BOE 的度数等于 75 分析 由矩形 ABCD 得到 OA OB 根据 AE 平分 BAD 得到等边三角形 OAB 推出 AB OB 求出 OAB OBC 的度数 根据平行线的性质和等角对 等边得到 OB BE 根据三角形的内角和定理即可求出答案 解答 解 四边形 ABCD 是矩形 AD BC AC BD OA OC OB OD BAD 90 OA OB DAE AEB AE 平分 BAD BAE DAE 45 AEB AB BE CAE 15 DAC 45 15 30 BAC 60 BAO 是等边三角形 AB OB ABO 60 OBC 90 60 30 AB OB BE BOE BEO 180 30 75 WORD 完美格式编辑 专业资料整理 故答案为 75 点评 本题主要考查了三角形的内角和定理 矩形的性质 等边三角形的性 质和判定 平行线的性质 角平分线的性质 等腰三角形的判定等知识点 解 此题的关键是求出 OBC 的度数和求 OB BE 7 2014 春 武昌区期中 如图 将平行四边形 ABCD 的边 DC 延长到 E 使 CE CD 连接 AE 交 BC 于 F AFC n D 当 n 2 时 四边形 ABEC 是矩 形 分析 首先根据四边形 ABCD 是平行四边形 得到四边形 ABEC 是平行四边形 然后证得 FC FE 利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形 ABEC 是矩 形 解答 解 当 AFC 2 D 时 四边形 ABEC 是矩形 四边形 ABCD 是平行四边形 BC AD BCE D 由题意易得 AB EC AB EC 四边形 ABEC 是平行四边形 AFC FEC BCE 当 AFC 2 D 时 则有 FEC FCE FC FE 四边形 ABEC 是矩形 故答案为 2 点评 此题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定 此题难度适中 注意 掌握数形结合思想的应用 解题的关键是了解矩形的判定定理 WORD 完美格式编辑 专业资料整理 8 2015 春 南长区期中 如图 在正五边形 ABCDE 中 连接 AC AD CE CE 交 AD 于点 F 连接 BF 则线段 AC BF CD 之间的关系式是 AC2 BF2 4CD2 分析 首先根据菱形的判定方法 判断出四边形 ABCF 是菱形 再根据菱形 的性质 即可判断出 AC BF 然后根据勾股定理 可得 OB2 OC2 BC2 据此推 得 AC2 BF2 4CD2即可 解答 解 五边形 ABCDE 是正五边形 AB CE AD BC 四边形 ABCF 是平行四边形 又 AB BC CD DE EA 四边形 ABCF 是菱形 AC BF OB2 OC2 BC2 AC 2OC BF 2OB AC2 BF2 2OC 2 2OB 2 4OC2 4OB2 4BC2 又 BC CD AC2 BF2 4CD2 故答案为 AC2 BF2 4CD2 点评 1 此题主要考查了菱形的判定和性质的应用 要熟练掌握 解答此 题的关键是要明确 菱形是在平行四边形的前提下定义的 首先它是平行四边 形 但它是特殊的平行四边形 特殊之处就是 有一组邻边相等 因而就增加 了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法 2 此题还考查了勾股定理的应用 在任何一个直角三角形中 两条直角边长 WORD 完美格式编辑 专业资料整理 的平方之和一定等于斜边长的平方 要熟练掌握 9 2015 春 株洲校级期中 如图 在平面直角坐标系中 O 为原点 四边形 OABC 是矩形 A 10 0 C 0 3 点 D 是 OA 的中点 点 P 在 BC 边上运 动 当 ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时 点 P 的坐标是 4 3 或 1 3 或 9 3 分析 先由矩形的性质求出 OD 5 分情况讨论 1 当 OP OD 5 时 根据 勾股定理求出 PC 即可得出结果 2 当 PD OD 5 时 作 PE OA 于 E 根据勾股定理求出 DE 得出 PC 即 可得出结果 作 PF OA 于 F 根据勾股定理求出 DF 得出 PC 即可得出结果 解答 解 A 10 0 C 0 3 OA 10 OC 3 四边形 OABC 是矩形 BC OA 10 AB OC 3 D 是 OA 的中点 AD OD 5 分情况讨论 1 当 OP OD 5 时 根据勾股定理得 PC 4 点 P 的坐标为 4 3 2 当 PD OD 5 时 分两种情况讨论 WORD 完美格式编辑 专业资料整理 如图 1 所示 作 PE OA 于 E 则 PED 90 DE 4 PC OE 5 4 1 点 P 的坐标为 1 3 如图 2 所示 作 PF OA 于 F 则 DF 4 PC OF 5 4 9 点 P 的坐标为 9 3 综上所述 点 P 的坐标为 4 3 或 1 3 或 9 3 故答案为 4 3 或 1 3 或 9 3 点评 本题考查了矩形的性质 坐标与图形性质 等腰三角形的性质 勾股 定理 熟练掌握矩形的性质 并能进行推理计算是解决问题的关键 三 解答题 共三 解答题 共 31 小题 小题 10 2012 春 西城区校级期中 如图 正方形 ABCD 中 AE AB 直线 DE 交 BC 于点 F 求 BEF 的度数 WORD 完美格式编辑 专业资料整理 分析 设 BAE x 根据正方形性质推出 AB AE AD 根据等腰三角形性质和 三角形的内角和定理求出 AEB 和 AED 的度数 根据平角定义求出即可 解答 解 设 BAE x 四边形 ABCD 是正方形 BAD 90 AB AD AE AB AB AE AD ABE AEB 180 BAE 90 x DAE 90 x AED ADE 180 DAE 180 90 x 45 x BEF 180 AEB AED 180 90 x 45 x 45 答 BEF 的度数是 45 点评 本题考查了三角形的内角和定理 等腰三角形性质 正方形性质的应 用 解此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来 题目比较典型 但是有 一定的难度 11 2012 秋 高淳县期中 如图 梯形 ABCD 中 AD BC AB CD 对角线 AC BD 交于点 O AC BD E F G H 分别为 AB BC CD DA 的中点 1 求证 四边形 EFGH 为正方形 2 若 AD 1 BC 3 求正方形 EFGH 的边长 WORD 完美格式编辑 专业资料整理 分析 1 先由三角形的中位线定理求出四边相等 然后由 AC BD 入手 进行正方形的判断 2 连接 EG 利用梯形的中位线定理求出 EG 的长 然后结合 1 的结论求 出 EH2 2 也即得出了正方形 EHGF 的边长 解答 1 证明 在 ABC 中 E F 分别是 AB BC 的中点 EF 同理 FG GH HE 在梯形 ABCD 中 AB DC AC BD EF FG GH HE 四边形 EFGH 为菱形 设 AC 与 EH 交于点 M 在 ABD 中 E H 分别是 AB AD 的中点 EH BD 同理 GH AC 又 AC BD BOC 90 EHG EMC BOC 90 四边形 EFGH 为正方形 2 解 连接 EG 在梯形 ABCD 中 WORD 完美格式编辑 专业资料整理 E G 分别是 AB DC 的中点 EG AD BC 1 3 2 在 Rt HEG 中 EG2 EH2 HG2 4 2EH2 EH2 2 则 EH 即四边形 EFGH 的边长为 点评 此题考查了等腰梯形的性质及三角形 梯形的中位线定理 解答本题 的关键是根据三角形的中位线定理得出 EH HG GF FE 这是本题的突破口 12 2013 秋 青岛期中 如图 点 E F 分别是正方形 ABCD 的边 CD 和 AD 的 中点 BE 和 CF 交于点 P 求证 AP AB 分析 延长 CF BA 交于点 M 先证 BCE CDF 再证 CDF AMF 得 BA MA 由直角三角形中斜边中线等于斜边的一半 可得 Rt MBP 中 AP BM 即 AP AB 解答 证明 延长 CF BA 交于点 M 点 E F 分别是正方形 ABCD 的边 CD 和 AD 的中点 BC CD BCE CDF CE DF WORD 完美格式编辑 专业资料整理 BCE CDF CBE DCF DCF BCP 90 CBE BCP 90 BPM CBE BCP 90 又 FD FA CDF MAF CFD MFA CDF AMF CD AM CD AB AB AM PA 是直角 BPM 斜边 BM 上的中线 AP BM 即 AP AB 点评 本题考查了正方形各边长相等 各内角为直角的性质 全等三角形的 判定和对应边相等的性质 直角三角形斜边中线长为斜边长一半的性质 本题 中求证 CDF AMF 是解题的关键 13 2015 春 禹州市期中 如图 点 P 为正方形 ABCD 对角线 BD 上一点 PE BC 于 E PF DC 于 F WORD 完美格式编辑 专业资料整理 1 求证 PA EF 2 若正方形 ABCD 的边长为 a 求四边形 PFCE 的周长 分析 1 连接 PC 证四边形 PFCE 是矩形 求出 EF PC 证 ABP CBP 推出 AP PC 即可 2 证 CBD 是等腰直角三角形 求出 BF PF 求出周长即可 解答 解 证明 1 连接 PC 四边形 ABCD 是正方形 AB CB ABD CBD 45 C 90 在 ABP 与 CBP 中 ABP CBP SAS PA PC PE BC PF CD PFC 90 PEC 90 又 C 90 四边形 PFCE 是矩形 EF PC WORD 完美格式编辑 专业资料整理 PA EF 2 由 1 知四边形 PFCE 是矩形 PE CF PF CE 又 CBD 45 PEB 90 BE PE 又 BC a 矩形 PFCE 的周长为 2 PE EC 2 BE EC 2BC 2a 点评 本题主要考查正方形的性质 全等三角形的性质和判定等知识点的连 接和掌握 能证出 AP PC 是解此题的关键 14 2015 秋 福建校级期中 如图 1 在正方形 ABCD 中 点 E 为 BC 上一点 连接 DE 把 DEC 沿 DE 折叠得到 DEF 延长 EF 交 AB 于 G 连接 DG 1 求 EDG 的度数 2 如图 2 E 为 BC 的中点 连接 BF 求证 BF DE 若正方形边长为 6 求线段 AG 的长 分析 1 由正方形的性质可得 DC DA A B C ADC 90 由折叠 的性质得出 DFE C DC DF 1 2 再求出 DFG A DA DF 然后由 HL 证明 Rt DGA Rt DGF 由全等三角形对应角相等得出 3 4 得出 2 3 45 即可 2 由折叠的性质和线段中点的定义可得 CE EF BE DEF DEC 再由三 角形的外角性质得出 5 DEC 然后利用同位角相等 两直线平行证明即可 设 AG x 表示出 GF BG 根据点 E 是 BC 的中点求出 BE EF 从而得到 GE WORD 完美格式编辑 专业资料整理 的长度 再利用勾股定理列出方程求解即可 解答 1 解 如图 1 所示 四边形 ABCD 是正方形 DC DA A B C ADC 90 DEC 沿 DE 折叠得到 DEF DFE C DC DF 1 2 DFG A 90 DA DF 在 Rt DGA 和 Rt DGF 中 Rt DGA Rt DGF HL 3 4 EDG 3 2 ADF FDC ADF FDC 90 45 2 证明 如图 2 所示 DEC 沿 DE 折叠得到 DEF E 为 BC 的中点 CE EF BE DEF DEC 5 6 FEC 5 6 DEF DEC 5 6 2 5 2 DEC 即 5 DEC BF DE WORD 完美格式编辑 专业资料整理 解 设 AG x 则 GF x BG 6 x 正方形边长为 6 E 为 BC 的中点 CE EF BE 6 3 GE EF GF 3 x 在 Rt GBE 中 根据勾股定理得 6 x 2 32 3 x 2 解得 x 2 即线段 AG 的长为 2 点评 本题考查了正方形的性质 全等三角形的判定与性质 等腰直角三角 形的判定与性质 勾股定理 翻折变换的性质 熟练掌握正方形的性质 并能 进行推理论证与计算是解决问题的关键 15 2016 春 召陵区期中 如图 在正方形 ABCD 中 F 是对角线 AC 上的一 点 点 E 在 BC 的延长线上 且 BF EF 1 求证 BF DF 2 求证 DFE 90 3 如果把正方形 ABCD 改为菱形 其他条件不变 如图 当 ABC 50 时 DFE 50 度 WORD 完美格式编辑 专业资料整理 分析 1 根据正方形的四条边都相等可得 BC DC 对角线平分一组对角可 得 BCF DCF 然后利用 边角边 证明即可 2 易证 FBE FEB 又因为 FBE FDC 所以可证明 FEB FDC 进而 可证明 DFE 90 3 根据全等三角形对应角相等可得 CBF CDF 根据等边对等角可得 CBF E 然后求出 DFE DCE 再根据两直线平行 同位角相等可得 DCE ABC 从而得解 解答 1 证明 在正方形 ABCD 中 BC DC BCF DCF 45 在 BCF 和 DCF 中 BCF DCF SAS BF DF 2 证明 BF EF FBE FEB 又 FBE FDC FEB FDC 又 DGF EGC DFG ECG 90 即 DFE 90 3 证明 由 1 知 BCF DCF WORD 完美格式编辑 专业资料整理 CBF CDF EE FB CBF E DGF EGC 对顶角相等 180 DGF CDF 180 EGC E 即 DFE DCE AB CD DCE ABC DFE ABC 50 故答案为 50 点评 本题考查了正方形的性质 全等三角形的判定与性质 菱形的性质 等边对等角的性质 熟记正方形的性质确定出 BCF DCF 是解题的关键 16 2015 秋 泗县期中 已知正方形 ABCD 中 对角线 AC BD 相交于 O 如图 1 若 E 是 AC 上的点 过 A 作 AG BE 于 G AG BD 交于 F 求证 OE OF 如图 2 若点 E 在 AC 的延长线上 AG EB 交 EB 的延长线于 G AG 延长 DB 延长线于点 F 其它条件不变 OE OF 还成立吗 分析 由正方形的性质得出 OA OB AC BD 得出 BOE AOF 90 由 角的互余关系得出 OBE OAF 由 ASA 证明 BOE AOF 得出对应边相等 即可 由正方形的性质得出 OA OB AC BD 得出 BOE AOF 90 由角的互余 关系得出 OBE OAF 由 ASA 证明 BOE AOF 得出对应边相等即可 WORD 完美格式编辑 专业资料整理 解答 证明 四边形 ABCD 是正方形 OA OB AC BD BOE AOF 90 OEB OBE 90 AG BE AGE 90 OEB OAF 90 OBE OAF 在 BOE 和 AOF 中 BOE AOF ASA OE OF 解 OE OF 还成立 理由如下 四边形 ABCD 是正方形 OA OB AC BD BOE AOF 90 OEB OBE 90 AG BE AGE 90 OEB OAF 90 OBE OAF 在 BOE 和 AOF 中 WORD 完美格式编辑 专业资料整理 BOE AOF ASA OE OF 点评 本题考查了正方形的性质 全等三角形的判定与性质 熟练掌握正方 形的性质 并能进行推理论证是解决问题的关键 17 2016 春 邳州市期中 如图 点 P 是菱形 ABCD 中对角线 AC 上的一点 且 PE PB 1 求证 PE PD 2 求证 PDC PEB 3 若 BAD 80 连接 DE 试求 PDE 的度数 并说明理由 分析 1 由菱形的性质得出 AB BC CD AD AB CD DCP BCP 由 SAS 证明 CDP CBP 得出 PB PD 再由 PE PB 即可得出结论 2 由等腰三角形的性质得出 PBC PEB 由全等三角形的性质得出 PDC PBC 即可得出 PDC PEB 3 由四边形内角和定理得出 DPE 100 由等腰三角形的性质和三角形内角 和定理即可得出结果 解答 1 解 四边形 ABCD 是菱形 AB BC CD AD AB CD DCP BCP 在 DCP 和 BCP 中 CDP CBP SAS WORD 完美格式编辑 专业资料整理 PB PD PE PB PE PD 2 证明 PE PB PBC PEB CDP CBP PDC PBC PDC PEB 3 解 如图所示 PDE 40 理由如下 在四边形 DPEC 中 DPE 360 PDC PEC DCB 360 PEB PEC DCB 360 180 80 100 PE PD PDE PED 40 点评 本题考查了菱形的性质 全等三角形的判定与性质 等腰三角形的性 质 熟练掌握菱形的性质 证明三角形全等是解决问题的关键 18 2016 春 昆山市期中 如图 正方形 ABCD 中 AB 1 点 P 是 BC 边上的 任意一点 异于端点 B C 连接 AP 过 B D 两点作 BE AP 于点 E DF AP 于点 F WORD 完美格式编辑 专业资料整理 1 求证 EF DF BE 2 若 ADF 的周长为 求 EF 的长 分析 1 由正方形的性质得出 AD AB 证出 DAF ABE 由 AAS 证明 ADF BAE 得出 AF BE DF AE 即可得出结论 2 设 DF a AF b EF DF AF a b 0 由已知条件得出 DF AF 即 a b 由勾股定理得出 a2 b2 1 再由完全平方公式得出 a b 即可 解答 1 证明 BE AP DF AP DFA AEB 90 ABE BAE 90 四边形 ABCD 为正方形 AD AB DAB 90 DAF BAE DAF ABE 在 ADF 和 BAE 中 ADF BAE AAS AF BE DF AE EF AE AF DF BE 2 解 设 DF a AF b EF DF AF a b 0 ADF 的周长为 AD 1 DF AF WORD 完美格式编辑 专业资料整理 即 a b 由勾股定理得 DF2 AF2 AD2 即 a2 b2 1 a b 2 2 a2 b2 a b 2 2 a b 即 EF 点评 本题考查了正方形的性质 全等三角形的判定与性质 勾股定理等知 识 熟练掌握正方形的性质 由勾股定理得出 a 与 b 的关系式是解决问题 2 的关键 19 2015 春 繁昌县期中 如图 正方形 ABCD 的对角线 AC BD 的交点为 O 以 O 为端点引两条互相垂直的射线 OM ON 分别交边 AB BC 于点 E F 1 求证 0E OF 2 若正方形的边长为 4 求 EF 的最小值 分析 1 根据正方形的性质可得 EAO FBO 45 OA OB 再根据同角 的余角相等可得 AOE BOE 然后利用 角边角 证明 AOE 和 BOF 全等 根据全等三角形对应边相等即可得证 2 根据等腰直角三角形 EOF 当 OE 最小时 再根据勾股定理得出 EF 的最 小值 解答 解 1 四边形 ABCD 是正方形 OA OB AOB 90 EAO FBO 45 AOE BOE 90 WORD 完美格式编辑 专业资料整理 OE OF BOF BOE 90 AOE BOF 在 AOE 与 BOF 中 AOE BOF ASA OE OF 2 由 1 可知 EOF 是等腰直角三角形 EOF 是直角 当 OE 最小时 EF 的值最小 OA OB OE AB 点 E 是 AB 的中点 OE AB AB 4 OE 2 EF 即 EF 的最小值是 2 点评 本题考查了正方形的性质 解决此类问题的关键是正确的利用旋转不 变量 正确作出辅助线是关键 20 2016 春 江宁区期中 如图 在正方形 ABCD 中 点 E 是边 AD 上任意一 点 BE 的垂直平分线 FG 交对角 AC 于点 F 求证 1 BF DF 2 BF FE WORD 完美格式编辑 专业资料整理 分析 1 由正方形的性质得出 AB AD BAF DAF 45 由 SAS 证明 BAF DAF 得出对应边相等即可 2 由线段垂直平分线的性质得出 BF EF 证出 EF DF 得出 FDE FED 再 由全等三角形的性质证出 ABF FED 由邻补角关系得出 FED FEA 180 证出 ABF FEA 180 由四边形内角和得出 BAE BFE 180 求出 BFE 90 即可 解答 证明 如图所示 1 四边形 ABCD 是正方形 AB AD BAF DAF 45 BAE 90 在 BAF 和 DAF 中 BAF DAF SAS BF DF 2 BE 的垂直平分线 FG 交对角 AC 于点 F BF EF BF DF EF DF FDE FED BAF DAF ABF FDE ABF FED WORD 完美格式编辑 专业资料整理 FED FEA 180 ABF FEA 180 BAE BFE 180 BFE 90 BF FE 点评 本题考查了正方形的性质 全等三角形的判定与性质 等腰三角形的 判定与性质 四边形内角和定理等知识 熟练掌握正方形的性质 证明三角形 全等是解决问题的关键 21 2015 春 台州校级期中 已知 如图所示 四边形 ABCD 中 ABC ADC 90 M 是 AC 上任一点 O 是 BD 的中点 连接 MO 并延长 MO 到 N 使 NO MO 连接 BN 与 ND 1 判断四边形 BNDM 的形状 并证明 2 若 M 是 AC 的中点 则四边形 BNDM 的形状又如何 说明理由 分析 1 由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论 2 由直角三角形斜边上 1 的中线性质得出 BM AC DM AC 得出 BM DM 即可得出结论 解答 1 解 四边形 BNDM 是平行四边形 理由如下 WORD 完美格式编辑 专业资料整理 O 是 BD 的中点 OB OD NO MO 四边形 BNDM 是平行四边形 2 解 四边形 BNDM 是菱形 理由如下 ABC ADC 90 M 是 AC 的中点 BM AC DM AC BM DM 四边形 BNDM 是菱形 点评 本题考查了平行四边形的判定方法 直角三角形斜边上的中线性质 菱形的判定方法 熟练掌握平行四边形和菱形的判定方法 并能进行推理论证 是解决问题的关键 22 2016 春 柘城县期中 如图 在 ABC 中 O 是边 AC 上的一动点 过点 O 作直线 MN BC 设 MN 交 BCA 的平分线于点 E 交 BCA 的外角平分线于 点 F 1 求证 OE OF 2 当点 O 运动到何处时 四边形 AECF 是矩形 分析 1 根据 MN BC CE 平分 ACB CF 平分 ACD 及等角对等边即可 证得 OE OF 2 根据矩形的性质可知 对角线且互相平分 即 AO CO OE OF 故当点 O 运动到 AC 的中点时 四边形 AECF 是矩形 解答 1 证明 MN BC CE 平分 ACB CF 平分 ACD WORD 完美格式编辑 专业资料整理 BCE ACE OEC OCF FCD OFC OE OC OC OF OE OF 2 解 当 O 运动到 AC 中点时 四边形 AECF 是矩形 AO CO OE OF 四边形 AECF 是平行四边形 ECA ACF BCD ECF 90 四边形 AECF 是矩形 点评 此题主要考查了矩形的判定 关键是掌握有一个角为直角的平行四边 形是矩形 23 2015 春 北京校级期中 1 如图矩形 ABCD 的对角线 AC BD 交于点 O 过点 D 作 DP OC 且 DP OC 连接 CP 判断四边形 CODP 的形状并说明理 由 2 如果题目中