6.8 柯西不等式与排序不等式(理).doc

第八节 柯西不等式与排序不等式*（选考内容）知识要点梳理1.经典不等式，就是指那些表示某些基本不等关系，而且经常被当作推理依据，用来推导其他不等关系的不等式，它们都是属于不等式范畴的重要数学结论.2.柯西不等式：（1）（二维形式的柯西不等式）若都是实数，则，当且仅当时，等号成立.（2）（柯西不等式的向量形式）设是两个向量，则，当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立.（3）. （二维形式的三角不等式）设，那么.（4）（一般形式的柯西不等式）设是实数，则，当且仅当或存在一个数，使得时，等号成立.3.均值不等式：对于n个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立.4.排序不等式：设，为两组实数，是的任一排列，那么即“反序和乱序和顺序和”.当且仅当或时，反序和等于顺序和.疑难点、易错点剖析1本节是选学选考内容，.教材分别介绍了四个经典不等式不等式：平均值不等式、三角不等式、柯西不等式、排序不等式，其中重点介绍柯西不等式和排序不等式.介绍两种经典不等式及其证明，通过分析和解决问题，讨论经典不等式的简单应用，提高学生运用重要数学结论进行推理论证的能力，即在理解重要数学结论的基础上，能够发现面临的具体问题与重要数学结论之间的内在联系，并善于利用这样的联系，应用重要数学结论及其所反映的数学思想方法解决具体问题.考虑到本节是高考的选考内容，因此在教学中需要注意把握问题的难度，重点放在对经典不等式的基本的、简单的运用尤其是放在柯西不等式的简单运用上，强调解决问题的通性通法，而不必过分追求个别变形技巧.2 对柯西不等式理解和认识我们可以从以下几个方面可以对柯西不等式形成一个较全面的认识.在研究方法上：遵循从特殊到一般的认识方式，首先讨论最简单的柯西不等式二维形式的柯西不等式，继续讨论三维形式的柯西不等式，进而讨论一般形式的柯西不等式.从研究内容来看：包括柯西不等式的数学含义（即所表示的不等关系）、表示方式（代数形式和向量形式）、几何意义（对二维和三维形式而言）、证明方法（不同形式选用不同的证法（略）、应用举例.所蕴含的数学思想：柯西不等式的研究过程中包含了转化与化归思想、函数与方程思想、数形结合思想、从特殊到一般的归纳思想，通过这些思想的渗透，可以提高分析问题、解决问题的能力直击考点 考点一 利用柯西不等式求最值例 1 已知，求的最小值.【思路分析】由以及的形式，联系柯西不等式，可以构造作为一个因式而解决问题.【解】根据柯西不等式，有，所以，即当且仅当，即时，取最小值【锦囊妙计】先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件，正确理解柯西不等式，掌握它的结构特点，就能更灵活地应用它.对于特定的不等式问题，用柯西不等式求解往往显得简单明了.例2.求函数的最大值.思路分析：利用不等式求极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻求不等式等号成立的条件.这个函数的解析式是两部分的和，若能化为的形式就能利用柯西不等式求其最大值.解：函数的定义域为，且.则 ，当且仅当时，等号成立，即时函数取最大值例 3 求函数的最大值.【思路分析】因为，自然会联系到三角恒等式，联想到柯西不等式的结构特征， 而这个式子恰好具有柯西不等式的结构特征，所以可以利用柯西不等式来解决.【解析】 当且仅当，即，函数有最大值【锦囊妙计】先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件，需要不断的学习与体会.【举一反三】1. （07东莞模拟） 已知都是正数，且则的最小值是 .答案: 2.已知，且，求证：解：已知的恒等式与近乎显然的三角恒等式正好具备柯西不等式的结构特征，于是可利用柯西不等式解答.因为，所以即考点二 利用柯西不等式进行证明例 4 已知都是实数，求证【思路分析】与柯西不等式的结构想比较，发现它符合柯西不等式的结构，因此可用柯西不等式来证明。【证明】根据柯西不等式，有，所以。【锦囊妙计】准确把握柯西不等式的结构特征，通过恰当变形，构造两组柯西数组是运用柯西不等式的关键所在.【举一反三】3.已知是不全相等的正数，证明：解：欲证的不等式两边都是由这三个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序，启发我们可以用柯西不等式进行证明；如果同时考虑式子两边的结构，把看成，则不等式左右两边的结构一致，都是两个正数之积的和，可以用排序不等式证明.【证法一】根据柯西不等式，有因为是不全相等的正数，所以等式不成立，所以，即【证法二】因为是不全相等的正数，不失一般性，设，则由排序不等式知，顺序和不小于乱序和，即由于不全相等，所以等号不成立.所以考点三 均值不等式的运用例5 求函数的最小值.解：，于是当且仅当，即时，函数的最小值是.锦囊妙计： 在运用求最值时，要注意满足“一正、二定、三相等”的条件，具体地说，要注意是正变数，三个正变数之积是常数，那么当且仅当这三个正变数相等时，它们的和取得最小值，同时注意相等时的自变量的取值属于给定的范围内。本题常见的错误是：由均值不等式得，故最小值为6.事实上这种变形使方程无解，即等号不能成立，所以最小值不是6，为了保证等号成立，一般需要平均拆项. 考点四 排序不等式的运用（选做） 例 6 设是n个互不相同的正整数，求证：【思路分析】是n个互不相同的正整数，因此它们可以从小到大地排序，观察问题中的式子，可以猜想到与对应的另一列数是，由此可以联想到用排序不等式证明的思路.【解答】 设是的一个排列，且满足因为是互不相同的正整数，故又因，故由排序不等式，得 =【锦囊妙计】在证明不等式的过程中，往往将“n个互不相同的正整数”进行排序，这种排序并不失一般性，是证明中常常使用的一个技巧.本题较难之处是如何想到构造新的排列，这需要考生从正确的方向进行分析，根据分析的发展逐步想到，充分利用问题的条件，挖掘条件背后更深的内容，为使用已有经典不等式创造条件.举一反三：4.设为实数，是的任一排列，则乘积的值不会超过 .解：本题主要检测排序不等式，只要领会式子是乱序和，那么由排序不等式可知，它不会超过顺序和，即填.紧扣考纲大演练一.单项选择题1设，那么的最小值是 （ ）（A） 9 （B） 3 （C） 1 （D） 解：问题中有条件，由于常数1的特殊性，用去乘任何数或式子，都不会改变它们的值.根据需要可以应用这个条件，即有，于是就能使用柯西不等式了.，当且仅当=c时，等号成立.选（A）2（2006陕西）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（ ）（A） 2 （B） 4 （C） 6 （D） 8解：已知不等式对任意正实数恒成立，则由柯西不等式得，依题意，得，解不等式得， 2或4(舍去)，所以正实数a的最小值为4选（B）.3.（ B ）A.0，2 B.-1，1 C.-2，2 D.0，1利用柯西不等式：，选B。4.若a0，b0，则的最小值是（ C ）A. B. C. D.利用柯西不等式：，当且仅当时，有最小值。5已知正数满足，则的最大值是（ ）（A） （B） （C） （D） 解：根据题目的结构特点，联系常数1对乘法的不变性，通过构造向量，利用柯西不等式的向量形式求解，体现了经典不等式应用的广泛性.令向量，则由柯西不等式的向量形式知，即当且仅当存在实数，使得，即时，取等号.所以，的最大值为故选（A）.6(07广州二模题改编)已知，则的最小值为( )A3 B 81 C.9 D.答案：C二、填空题7. (07佛山二模)已知为正数，且满足，则的最大值是_.答案: 8(07深圳市模拟)已知实数满足，则的最小值为 ；答案：9若，则最大值是_，也可有三角换元或数形结合。10.（07广东高考仿真题）已知，则的最小值为_.答案：三、解答题11.（07广州市一模题改编）设解法一：解法二：利用柯西不等式：（ab）（）=，13（选做题）有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第个人的水桶需要分钟，假定这些各不相同.问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？解：这是一个实际问题，需要将它数学化，即转化为数学问题.若第一个接水的人需要分，接这桶水时10人所需等候的总时间是分；第二个接水的人需分，接这桶水时