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工程流体力学推导题集锦一、推求流线的微分方程方向相同某瞬时在流线上任取一点，位于点的流体质点速度为，其分量为，在流线上取无穷小线段，其在三个坐标轴上的投影为，由空间几何关系及有方向相同：（流线微分方程）二、推求流体静平衡微分方程在静止流体中取如图所示微小六面体。设其中心点的密度为，压强为，所受质量力为。由于压强分布是空间坐标的连续函数：，那么点上的静压强为：（泰勒级数展开，略去小项）以方向为例，列力平衡方程式：表面力：质量力：根据有同理，考虑y，z方向，可得：上式即为流体平衡微分方程三、推导圆管层流、和的计算公式与圆管同轴取微元柱体，。受到切应力和压力，由均匀流动的力平衡方程：对于层流有，代入整理可得积分并代入条件时，得过流断面上半径为处取宽度为的微元环形面积。通过该面积的流量为由此可得通过整个过流断面流量由以上可求得流体作恒定层流时的平均流速为（比较可得）所以， 因此对于圆管层流，易得其水头损失为令，则 四推导直角坐标系中的连续性微分方程在空间流场中取一固定的平行六面体微小空间，边长为，所取坐标如图所示。中心为点，该点速度为，密度为，计算在时间内流入、流出该六面体的流体质量。首先讨论沿方向的质量变化。由于速度和密度是坐标的连续函数，因此由而流入的质量为：由面流出的质量为因此，在时间内，自垂直于轴的两个面流出、流入的流体质量差为：同样道理可得时间内，分别垂直于轴的平面流出、流入的流体质量差为：因此，在时间内流出、流入整个六面体的流体质量差为对于可压缩流体，在时间内，密度也将发生变化，流体密度的变化同样引起六面体内流体质量的改变。以表示质量随时间的增量，设时刻流体密度为，时刻流体密度为，则 由质量守恒条件知 （注意正负号）故有整理得即为直角坐标系下的连续性微分方程五由粘性流体微小流束的伯努利方程推导出总流的伯努利方程。如图：1-1和2-2断面为两个缓变的过流断面，任取一个微小流束，当粘性流体恒定流动且质量力只有重力作用时，对微小流束的1-1和2-2断面伯努利方程，得单位重力流体的总能量：单位时间内流过微小流束过流断面1-1和2-2流体的总能量为：单位时间内总流流经过流断面1-1和2-2流体的总能量为前面讲过在缓变过流断面上，所有各点压强分布遵循静压强的分布规律：，因此在所取的过流断面为缓变流动的条件下，积分 （1）若以平均流速计算单位时间内通过过流断面的流体动能： （2）单位时间内流体克服摩擦阻力消耗的能量中，为一无规律变化的值，但可令 （3）将（1）（2）（3）代入上式，并且已知不可压流体，流量连续，得：等式两边同除，得到重力作用下不可压缩粘性流体恒定总流的伯努利方程：六推导静止流体对平面壁的作用力计算公式为一块面积为的任意形状的平板，与液体表面呈角放置，液体内部的压强取相对压强。作用在微分面积上的压力：作
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