11.信息对库存影响的建模.doc

信息对库存影响的建模Ananth.V.Iyer(Krannert School of Management1310 Krannert Building, Room #541Purdue UniversityWest Lafayette, IN47907-1310(765)-494-4515)在这一章里，我们讨论供应链模型，重点研究需求信息对需求不确定性的影响以及随之而来的对要求使所期望的利润达到最大的库存水平的影响。 我们将重点放在信息对制造者和买者予期利润的不同影响方面。这允许我们研究可能要求分享信息利益的买者和供应商之间的契约性协议对供应链的影响。本章中的大部分材料是从Eppen和Iyer(1997a)、(1997b)以及Iyer和Bergen(1997)等人的工作引伸而来的。我们首先探讨在对零售商接收有关需求的当前信息以后可能的供应没有任何约束的情况下信息对生产厂商和零售商利益的影响。然后，我们将探讨一个具体的生产厂商和零售商之间的契约性协议，它规定了零售商接收到信息以后对将会得到的供应总数的约束。我们以文献述评和结论来结束本章。11.1 模型的结构研究一个零售商在时间O订货的系统。这些订货L时间单位后交货给零售商在开始于时间L的季节内出售。我们有两个等级不确定性。不确定性的第一个来源涉及关于产品固有的需求的不确定性，亦即：即使我们知道平均需求，该季节期间的需求也是具有平均值和方差,即，按正态方式分布。该模型捕获关于来到商店的人数、他们的购物癖好等等的不确定性。不确定性的第二个来源与关于在时间O的的不确定性模型有关。关于在时间O的的信息模型是具有平均值和方差,即,呈正态分布。因此，在时间O,我们的需求模型是具有平均值和方差(Berger,1985),即，呈正态分布。零售商要面对下列费用：从生产厂商那里购买产品的每单位费用C、在该季节期间未被满足的每单位需求的商誉费用、该季节结束时剩下的每单位产品的保存费用。生产厂商要经受为生产一个单位产品的每单位W的费用。零售商卖给用户的每个单位产品要产生一个每单位的总收入r。我们把零售商必须在时间O时作决策的系统称作旧系统(old system)。零售商在时间O选择一个库存等级Q，使下列的期望利润最大：因为这是标的Newsboy(报童)模型，故可以证明，这个函数在Q中是凹的，并且最佳的初始库存是： （11.1）式中：最佳服务水平(s)被定义为，Z(s)是产生S的累积概率的标准正态分布的Z值。旧系统中的联合最大期望利润是： （11.2）式中：是标准正态分布在Z(s)上的右侧线性损失函数。在旧系统中，这个季节期间卖出的期望数量()是，该式可简化为。在旧系统中，第二周期结束时剩下的期望数量是。用方程(11.1)就得到如下所示的在这个系统下的生产厂商的期望利润： (11.3)11.1.1 信息对需求的影响假定在时间O零售商开始收订有关产品销售方面的信息。在，零售商向生产厂商订购产品。生产厂商集生产单位时间以后交货的订货,供开始于时间L的季节期间内待售。据报道，L的值的范围为5至8个月。的值在2到5个月之间。我们把这个系统称作信息(info)系统。较短的订货至交货间的时间，能够使在期间内收集的有关物品销售额方面的数据用来减小正在订购物品的预测误差。在期间收集的数据被买者转换成正在考虑之中的物品需求的估计值，即。这个可以被用来生成需求的经验分布。因此，已知，则在这个季节期间需求的条件分布是,式中：和。这意味着 (Berger,1985)。在有信息的情况下，零售商的库存选择包括两步：1.观测在期间对有关物品的需求，并用它来形成正在考虑中的物品的估计量，即。用那个需求来生成经验分布。2.选择最佳库存，以便使已知经验分布情况下的期望利润达到最大值。这就意味着不同的库存水平取决于。从直观上看，零售商若是估算出一个低的，那么，他会更有可能去选择低库存水平，因为他期望这个季节里高需求的低概率。可以被证实的是，零售商订货的期望数量、相应的期望利润、期望的销售量和期望的剩下数量如下： （11.4） (11.5)我们注意到，和。因此，当前的需求信息能够使零售商减少剩下的库存，但是增加用户的满足率(fill rate)。用下列方程就得到QR下生产厂商的期望利润。 (11.6)引理1 如果，那么，信息收集就导致期望的生产厂商利益的减少，但导致期望的零售商利润的增，亦即和。证明：若，则。根据方程(11.3)和(11.6)证明：。在引理1中，我们指出，当产品的服务水平高于时，信息收集和较低的订货至交货间的时间不会在没有附加动作的情况下是Pareto的改善3。具体地说，这是对生产厂商不利的。11.2 使用服务水平的约定我们先讨论一下在利用信息的Pareto改善中服务水平约定的作用。在时间O的服务水平约定是指，较高的服务水平(s,这时ss)由零售商提供，实际的订货数量决定于所估计的需求。除非一个约定是在零售商以后要采取行动的激励因素之中，就认为它并不可信。我们就象这样地改变商誉费用来模拟服务上的变化。对使商誉费用转到零售商那里去的变量的约定，就是对从生产厂商的观点看是可信的较高服务水平的约定。商誉费用上的协商后的变化在生产中虽然并非是惯例性的，用契约性的东西，或者使产品的现存地点为用户更易看见，常常可能会影响商誉费用的组分。最后，我们指出，总是存在一种服务水平协议，它使零售商可以利用信息的Pareto改善。定理1 如果、以及，那么，就将增大至，式中：，s是这样的值以致使用信息的Pareto改善。证明：见附录。然而，要注意到，这种服务水平协议的作用是使得零售商的期望订货量与在旧系统中的相同。下面的引理指出，即使期望的订货量与旧系统中的相同，卖给用户的期望数量也要增加，并且剩下的期望数量也要减少，这就使零售商的处境变得更好。引理2 如果以及，则将增大至，式中：以及s的值使得,并由它得到和。证明：见附录。在本章里的这一点上，我们已经指出，在没有任何协议的情况下，利用由零售商提供的信息和考虑到生产厂商的较低的订货至交货间的时间就会生成一个不是Pareto改善的系统。我们还已经指出，存在一个Pareto改善的服务水平协议。在这一协议情况下，零售商购买与旧系统中相同的期望数量的商品，但有较高的期望利润。下面我们将探讨一种零售商的供应(在当前的信息可利用以后)受约束的协议。11.3 信息对受约束的供应协议的影响的建模我们要集中精力专门讨论备用协议。在备用协议中，用户(例如，目录公司)在目录被邮寄出以前十多个月就约定购买一定数量的物品(y)。供应商同意保存一定百分比(如P)的y物品作为备用，在邮寄目录以前，把其余(1-p)y的物品交货。目录邮寄出去后的某个具体而很短暂的时间周期以后(典型的情况为两周左右)，目录公司有机会照原始购买价买任何或全部的后备物品，但是对于不是取自后备的每一种物品，目录公司要求承担惩罚费用b。例如，Anne Klein、Finity和DKNY都向Catco公司许诺=0.2和b=0的后备协议。Andrea Jovine规定=0.33和b=0，而Liz Claiborne规定Catco情况下的协议中的=0.25和b=0.2。后备协议在数十亿美元的目录交易中是共同的。每个用户必须决定约定的数量y，然后决定多少物品，如果有的话，要取自处于本质不确定性情况下的后备，并且要决定随卖主而不断变化的合同参数。我们将创建后备协议问题的随机动态规划公式，并且用此模型导出最佳库存策略，亦即最佳约定y和作为所观测需求函数的取自后备的最佳总数。这个模型包括一种用早期销售额数据来修正需求分配的Bayesian改进结构。11.4 模型11.4.1 流程令y为这个季节的约定。在第一个周期的开始，以每单位价c将y(1-)件物品交付给了目录公司。其他的y件物品由生产厂商以后备方式保存。提供的产品以每单位为r的价格出售目录里的用户，然后，第一周期内的随机需求就发生了。目录公司在这个周期结束时，花每单位保存费用买有现货的每种物品；目录公司在第一周期里零库存应该出现的(不大可能的)事件中，每单位未满足的需求付给。我们研究没有积压而未交付的订货情况，因为如果没有库存是现存的话，则标准的策略是取消订货。第一个周期具有代表性的情况是大约两周长，它代表已经接受这个季节的约10%需求的时刻。很清楚，很小。当然，可以把的值设置为零的不会影响一般结果。因此，目录公司的开始情况或是（1）在周期1中库存未用完有单位的货品在手，或者（2）如果库存用完有O单位货品在手头。因为产品以每单位为r的价格销售，目录公司收到(如果)或ry(1-)(如果)的纯净总收入。目录公司有权从后备以每单位为c的价格买它想要的那样多的yp件物品。目录公司还要花b买保存在后备中的每单位物品，这使得它不想买了。在周期2的开始决定要从后备买多少物品本质上是一个报童问题，它所具有的复杂性包括退货、对后备量的限制以及由于不买物品而遭后备惩罚b等。需求是从决定于的概率因函数得到的随机量。在周期2结束时每单位的保存费用为，惩罚费用仍为，废弃品价值是s，式中：sc。人们可以等效地使用费用，式中：。11.4.2 需求过程我们假定，在这个季节期间的需求是由n个单纯的需求过程之一而生成的。所谓一个单纯的需求过程是指为周期1和周期2以及这个季节提供需求的概率分布的过程。另一个水平的不确定性产生于这样的事实：买者并不确信几个单纯过程中的哪个实际上生成了这些需求。因此，他(她)必须把先验概率分配这些过程。定义需求模型是一个两步过程：(1)确定一个(三或四个)单纯需求过程的集合。令、和分别为第一周期、第二周期和包括这两个周期的单纯过程i(i=1,2, ,N)的累积需求分布(CDF)。此外，令、和为这些CDF的各个概率密度函数。我们的方法把注意力限制到满足三个特性的过程上：族属一致性、随机优势和单调似然率特性。三个公共分布：()具有公共方差的正态分布，()Poisson分布和()具有一个公约数n的负二项式分布，都满足这些条件。欲了解更加完整的讨论，请参看Eppen和Iyer(1997a)等人的论文。(2)选择第一个周期开始时的一组先验概率，这时的每个单纯需求过程都将是实际上产生需求的过程(令是单纯需求过程i的先验概率)。11.4.3 动态规划模型令是假定在周期1的开始0物品就在手边的两个周期问题的最佳期望利润。于是，,式中，。在这个表达式中，是周期2中的最大期望利润，如果y件物品是被交付了的，是周期里的需求以及是第一个周期里的需求密度函数的话。在此公式中，实际上在第一周期里出现的所有费用和收入(除购买成本以外)在第二周期内都要被说明、计算。这一非正统的公式能使我们按一种方便方式来处理丧失的销售额情况。的最大化问题如下L：式中：式中：是的条件密度，即已知的情况下周期2里的需求。11.4.4 结果首先，我们用模型来推导最佳策略的形式。这些结果以下述定理的方式作了概括。定理2 函数在y中是凹的和在中是凹的。因而，周期1里的最佳策略就是由定义的上限订货策略，周期2里的最佳策略就是由定义的上限订货策略。证明：证明在附录中提供。增加b的值就使后备协议的值减少，从直观看，这是很吸引人的。更精确地说，似乎是，如果的话，则Catco公司应该取与的值无关的所有后备，因为买一件物品并使它成为现货，然后为不从后备取物品而接受惩罚，是比较便宜的。在这种情况下，对周期1里包含于需求中的信息是没有价值的，因而对后备协议(不是由而引起的储蓄)没有经济利益。为支持这些思想，我们首先证明下列引理。引理3 如果的话，则最佳策略是取所有的后备用于所有的值。证明：证明给在附录中。图11.1给出了后备和无后备协议对已知订货约定y情况下第二周期内库存的影响。x-轴给出了不同的值，即第一周期的需求。实线代表的值第二周期的最佳无约束库存(根据附录中的定理2)。对于无后备的情况，第二周期内可利用的库存由给出，即当我们未用光第一周期里的库存时，由具有斜率-1的直线给出。如果我们用光了第一周期内的库存，亦即的话，那么，第二周期里可利用的库存是0。对于无后备情况的可利用的库存水平用虚线表示。图11.1中的值就是值,在以下，不从后备取物品是最佳的。同样，就是值，在以上，从后备取所有物品是最佳的。箭头代表备用协议下周期二里可利用的库存。参数P影响和之间的间隙，因而影响目录公司使周期二的最佳未约束的开始库存加倍的精确程度。我们将用图11.1来证明一个公理，即，后备协议应推动一个目录公司去增加约定。对于给定的b值，如果由p定义的后备合同存在的话，则令为最佳订货约定；如果后备合同不存在的话，则令为最佳订货约定。定理3(在下面)因而说，如果极不可能出现利用在没有后备时，即，时的最佳安排在第一个周期时我们就用完库存的情况，则带有后备的最佳安排（对于任何）都是大于当不存在后备许诺时的最佳安排。我们注意到，的条件对这个问题来说算是一个温和而不甚苛刻的条件，因为这条件仅仅要求在开始要有足够的库存可以利用，以便目录公司在两周内(超过六个月的季节)不用完库存。定理3 如果，则。证明：附录里提供了证明。要注意的是，当存在诸如后备协议这样的供应约束时，买者(目录公司)将约定数量增至超过无后备协议系统中的约定数量可能是最佳的。这样的系统，在某些情况下，对供应商和买者两方面甚至会产生Pareto改进结果(Eppen和Iyer(1997b)。因而，我们已经指出了信息、需求、最佳库存水平以及供应合同之间的相互影响。11.5 文献述评有大量的讨论随机库存模型的文献，我们不想在这里一一评述这么多的文献。有用的述评性的论文包括Graves(1981)、Silver(1981)、Veinott(1966)和Wagner(1981)等人的论文。为数不多的随机库存控制模型涉及倾销物品的选择问题。例外的情况包括Fukuda(1961)的工作、Eppen和Fama的现金管理模型(1968、1969)以及Neave对这一同样课题所做的工作(1970)。我们知道有八篇论文讨论了时尚产品工作中的库存问题，但并未涉及Bayesian方法。前三篇讨论了时尚产品环境中的生产问题：Matsuo(1990)讨论了一大类族系列产品中共同性组织、安排方面的问题：Crowston(1973)和Hausman(1972)等人研究了需求信息随时间不断变化时，对于销售期短的商品如何预先生产的问题。Chang(1971)、Hausman(1969)和Hertz(1960)等人的论文集中于预测问题的研究。Ravindran(1972)研究了销售季节的持续时间是一个决策变量的问题。最后，Hausmen(1973)用妇女运动服装销售额方面的数据提出了一个用于生成需求数据的模型以及决策构架。有若干篇论文研究了如何直截了当地把观测到的数据用于库存控制决策中，但是这些论文中的工作并非以Bayesian方法为基础。实际的例子就是Blinder(1982)、Pindyck(1982)、Harpaz、Lee和Winkler(1982)以及Miuer(1986)等人的论文。最后，有一系列论文都使用Bayesian修正而与这类工作紧密相关。这类论文有Scarf(1959)、Scarf(1960a)、Iglehart(1964)、Murray和Silver(1966)、Azoury(1984)、Azoury(1985)和Lovejoy(1990)等人的。这些论文中的每一篇都集中精力探讨一个特定种类的需求函数：指数类的Scarf(1958)、指数和全距类的Iglehart(1964)和Gamma族的Scarf(1960a)。在后面的情况中，先验分布也必须是一种特定形式的。Azoury(1984,1985)以及Lovejoy(1990)假定，如果是周期内的需求和是小于或等于A的概率的话，则，式中：是一个已知的累积密度函数，s是以前需求的充分统计数据，是一个已知函数。Murray和Silver(1966)假定每个周期中有一个Beta先验的和二项式过程。形形色色的买者供应商协议是市场营销和管理科学文献中的许多论文的研究焦点。请参看Stern和El-Ansary(1988)、Anupindi和Anella(1993)以及Kumar、Akella和Corunejols等人的论文。Bassok和Anupindi(1994)研究了基于最小订货约定的合同，而Tsay和Lovejoy(1995)研究了在预测值可能发生变化这一约束条件下的变通合同。Iyer和Bergen(1994)介绍了快速响应环境下的合同，而Moses和Seshadri(1995)研究了为管理库存和服务水平在生产厂商和零售商间的谈判问题。Fisher和Raman(1996)等人的最近论文把早期需求信息的作用编写进来了。11.6 研究的问题和结论我们在这一章里集中精力讨论了Bayesion信息模型及其对需求不确定性的影响。我们还研究了信息对买者和供应商利益的影响。应该注意到，在无任何供应约束的情况下，从供应商那里购买的期望数随着买者获得更多的需求信息而减少。从直观方面看，信息的增加能够使零售商在没有当前的需求信息时常常必须支承的安全存货量减少。然而，正如引理1所指出的那样，这样的一个系统并不是Pareto改进系统。因而，为了从信息的Pareto改进那里产生效益，我们需要有像定理1中的服务水平协议那样的契约性协议。从另一方面看，我们认为后备协议有助于所约定的数量的增加(定理3)。因此，我们建议，信息和需求间的相互作用必须从各个方面对产品的供应和需求所持的观点来加以检验。图11.1 在作出最佳控制决策以后，有后备和无后备情况在周期二里的库存。虚线是指无后备情况下第二周期的库存。箭头指的是后备情况下第二周期的库存。注释1.研究一下零售商A在预测1996年春季妇女罩衫的需求量时的经历。零售商A存贮着范围广泛的销售点(Point of Sale)数据，可以根据1000个以上的可能的属性例如，色彩、图案、侧影、织物、起了几个美名的钮扣或拉链等中的任何一个对销售点数据进行分析。因此，在1995年的夏季和秋季期间，爱赶时髦的买者会按照正在考虑之中的任何一个特定属性，例如，红色，来获取信息。买者研究在过去的一至两个月内分享同样红色的其他物品的销售额方面的数据，可以将这些数据同以前几个月中的新近销售额相比较，或者把它们与前一年里的销售额相比较。这些比较使买者能够判定红色是否代表即将来临的1996年春季的流行趋势。类似的分析是针对其他属性，包括图案、轮廓和式样等进行的。这个实例足以反映出在零售商在购买流行物品的特征。2.我们注意到，因为数据是从同样(但并不相同)的物品产生的，剩余不确定性反映了由固有的需求不确定性以及由使用同样但并不相同的物品以减少这个季节开始前的误差等两者所引起的不确定性。3.如果所涉及的两方中没有一方处境更坏以及至少其中有一方严格地说境况较好的话，则方案是Pareto改进的。4.我们将研究被零售商用作由外生的()和生产厂商同零售商间的谈判()等两个因素的组合构成的。商誉费用的外生部分()不能被协商或受生产厂商的影响，并且它包括工业标准、来自以前购买经验的用户期望以及那个范围内的一般用户的购买特性。生产厂商和零售商间的谈判生成。的这些成分合并成和的非减少函数(r)。该函数的最简单的形式是这两项之和，亦即。我们的分析常常会扩展到商誉费用的更复杂的形式中。参考文献Agrawal, N, and Smith, S.C., Estimation Methods for Retail Inventory Management with Unobservable Lost Sales, Working Paper, Santa Clara University, 1994.Anupindi, R., and Akella, R., An Inventory Model with Commitments, Worklng Paper, Carnegie Mellon University, GSIA, 1993.Arrow, K., Harris, T., and Marschak, J., Optimal Inventory Policy, Econometrica, Vol. 9, No. 3, .July 1951, pg 250-272.Azoury, K., Bayes Solution to Dynamic Inventory Models under Unknown Demand Distribution, Managernent Science, Vol. 31 No. 9, September 1985, pp. 1t50- 1160.Azoury, K. S., and Miller, B. L., A Comparison of the Optimal Ordering Levels of Bayesian and Non-Bayesian Inveutory Models, Management Science, Vol. 30, No. 8, August 1984, pp. 993-1003.Bassok, Y, and Anupindi, R., Analysis of Supply Contracts with Total Minimum Commitment, fIE Transactions, 1994:Berger, James O., Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis, Springer-Verlag, Second edition, New York, 1985. Blackburn, J.D., Time-Based Competition, Business One Irwin, Homewood, IL, 1991, pg 246-269.Blinder, A., Inventories and Sticky Prices: More on the Microfoundations of Macroeconomics, American Economic Review, Vol. 72, 1982, pg 332-348.Chang, S.H. and Fyffe, D. E., Estimation of Forecast Errors for Seasonal-Style-Goods Sales, Management Science, Vol 18, No.2, October 1971, ppB-89-B-96.Chung, K.L., A First Course in Probability Theory, Harcourt, Brace and World. New York, 1968.Crowston,W.B., Hausman, W. H., and Kampe, W.R., Multistage Production for Stochastic Seasonal Demand, Management Science, Vol 19, No. 8,April 1973.Eppen, G.D., and Fama, E.F., Solutions for Cash Balance and Simple Dynamic Portfolio Problems, Jonrnal of Business, January 1968.Eppen, G.D., and Fama, E.F., Cash Balance and Simple Dynamic Portfolio Problems with Proportional Costs, International Economic Review, Vol. 10, No. 2, June 1969, pg 119-133.Eppen, G.D., and Iyer, A.V.,Improved Fashion Buying Using Bayesian Up-dates, Operations Research, November-December 1997Eppen, G.D., and Iyer,A.V.,Backup Agreements in Fashion Buying - The Value of Upstream Flexibility ,Management Science, November 1997.Fisher, M.A, and Raman, A., Reducing the Cost of Demand Uncertainty Through Accurate Response to Early Sales, Operations Research, Vol. 44, No. 1, January-February 1996.Fukuda, Y., Optimal Disposal Policies, Naval Research Logistics Quarterly, Vol. 8, No. 3, September 1961, Pg 221-227.Harpaz, G., Lee, W.Y. and Winkler, R.L., Optimal Output Decisions of a Competitive Firm,Management Science, Vol. 28, 1982, pg 589-602.Hausman, W. H., Sequential Decision Problems: A Model to Exploit Existing Forecasters,Management Science, Vol. 16. No.2, October 1969, pp 93-111.Hausman, W. H. and Peterson, R., Multiproduct Production Scheduling for Style Goods with Limited Capacity, Forecast Revisions and Terminal Delivery, Management Sclc. nee, Vol. 18. No. 7, March 1972, pp 370-383.Hausman, W.H., and Sides, R., Mail-Order Demands for Style Goods: Theory and Data Analysis, Management Science, Vol. 20. No. 2, October 1973, pp 191-202.Hertz, D. B. and Schaffir, K. H.,A Forecasting Method for Management of Seasonal Style-Goods Inventories , Operations Research, Vol. 8, 1960, pp45-52.Iglehart, D., The Dynamic Inventory Problem with Unknown Demand Distri- bution,Managemcnt Science, Vol. 10, 1964, pp. 429-440.Iyer, A.V., and Bergen, M., Quick Response in Manufacturer-Retailer Channels, Management Science, April 1997.Kumar, A., Akella, R., and Cornuejols, G., Supply Contracts Under Bounded Order Quantities, Working Paper, Carnegie Mellon University, GSIA, 1992.Lovejoy, W. S., Myopic Policies for Some Inventory MOdels with Uncertain Demand Distributions ,Management Science, Vol. 36, No. 6, June 1990, pp.724- 738.Matsuo, H.,A Stochastic Sequencing Problem for Style Goods with Forecast Revisions and Hierarchical Structure,Management Science, Vol. 36. NO. 3, March 1990, pp. 332- 347.Miller, B., Scarfs State Reduction Method, Flexibility and a Dependent Demand Inventory Model,Operations Research, Vol: 34, No. 1, Jan-Feb 1986, pp. 83-90.Morrison, D.G., and Schmittlein, D.C., ,Generalizing the NBD Model for Customer Purchases: What are the Implications and Is it Worth the Effort, Journal of Business and Economic Statistics, Vol. 6, No. 2, April 1988, pp. 145-159.Moses, M., and Seshadri, S., Policy Mechanisms for Supply Chain Co-ordination, Working Paper, Stern School of Business, New York University, 1995.Murray, G. R., Jr. and Silver, E.A.,A Bayesian Analysis of the Style Goods Inventory Problem,Management Science, Vol. 12, No. 11, July 1966, pp. 785-797.Neave, E.H.,The Stochastic Cash Balance Problem with Fixed Costs for Increases and Decreases,Management Science, Vol. 16, March 1970, pg 472- 490.Pindycj, R., Adjustment Costs, Uncertainty and the Behavior of the Firm,Americ, Economic Review, Vol. 72, 1982, pg 415-427.Ravindran, A.,Management of Seasonal style-Goods Inventories, Operations Research, Vol. 20, No. 2, March-April 1972, pp. 265-275.Scarf, H., Some Remarks on Bayes Solutions to the Inventory Problem,Naval Research Logistics Quarterly, Vol. 7, 1958, pg 591-596.Scarf, H., Bayes Solutions of the Statistical Inventory Problem,Annals of Mathematical Statistics, Vol. 30, 1959, pg 490-508.Stern, L.W., and E1-Ansary, A.I., Marketing Channels, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J. 07632, 1988.Tsay, A., and Lovejoy, W.S., Supply Chain Control with Quantity Flexibility, Working Paper, Santa Clara University, Santa Clara, CA. 95053, 1995.Veinott, A.F.Jr, The Status of Mathematical Inventory Theory ,Management Science, Vol. 12, No. 11, July 1966, pg 745-777.11.7 附录定理1 如果,和的话，则将增至，式中：和s，亦即利用信息pareto改进。证明：为了维护生产厂商的期望利润，我们要求。我们将info情况下的服务水平从s变到s，亦即，式中：是标准正态分布的累积密度函数，,(注意，)。我们将改变成，使，实现在零售商处的这种新的服务水平。我们必须证明：在这种服务水平s和信息使用下的零售商的期望利润是否比旧系统中的要大一些。证明：从方程(11.2)和(11.4)，我们必须证明，此式简化成证明，式中：，其中，是标准正态分布的概率密度函数。要注意的是，证明对所有的(因为)，就足够了。要证明。此外，从Chung(1968)，我们知道，对所有的。因而，对所有的，我们有和。在info和服务水平s情况下的零售商的期望利润大于或等于旧系统情况下的零售商利润。因此，使用信息就是服务水平从s变到s时的Pareto改进。引理2：如果和的话，则增大至，式中以及s是这样的值，即,于是得到和。证明：为了证明，我们必须证明。这就意味着。从定理1(注意，)可知，这显然是成立的。因此，。因为我们知道，故我们看到。定理2 函数在y中是凹的和在中是凹的。因而，周期1里的最佳策略就是由定义的订货量达到策略，并且，周期2里的最佳策略就是由定义的上限订货策略。证明：这一证明用一种稍稍不同于对典型的动态控制问题所用的方式来进行。在第一周期里约定的总数就确定了我们可以在第二周期里购买商品的上限这件事意味着知道：(1)在需求出现在周期1里以后的现有库存和(2)周期1里的需求不足以确定周期里的最佳策略。证明按四步进行：第1步：在11.4.3节中定义，我们首先证明了这个函数，再加上两个线性项，对每个，在中是凹的；第2步：我们用这一事实来推导周期2的最佳策略；第3步：然后我们用最佳策略的这种形式来证明：对所有的在y里是凹的(注意：这个y是在周期1开始时所约定的总数)；第4步：根据这个事实、11.4.3节中的表达式以及凹函数的凸组合是凹的这一事实，我们得出结论：是凹的。最佳策略的形式就直接可以得到了。第1步：对求导数就得到：对第二次求导数就得到：该式显而易见的是0，这就表明，该函数